2023-2024学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，网格纸上小正方形的边长为，，分别是的边，的中点，则( )
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
3.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球”这句话说的便是杠杆原理，即“动力动力臂阻力阻力臂”现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D. 以上选项都有可能
6.已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.若，且，则当取最大值时，的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若实数、、使得对任意的实数恒成立，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 集合的真子集个数为
B. 若点是的重心，则
C. 设，则
D. 函数，为偶函数的充要条件为，
10.已知函数，，将其图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 方程在上有个根
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数的图象关于直线
11.已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是( )
A. 当时， B.
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知点是内部一点，并且满足的面积为，的面积为，则 ______．
14.已知，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
Ⅰ用向量，表示；
Ⅱ设向量，，求的值．
16.本小题分
已知，其中．
求的值；
求的值；
设，且，求的值．
17.本小题分
已知．
求函数的定义域和奇偶性；
写出的单调性只需写出结果即可；
设，若，总，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，点，，，分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
证明：；
求的最大值；
求四边形面积的最小值．
19.本小题分
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
求证：；
对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若，试比较与的大小关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的解法，元素与集合的关系和集合与集合的关系，属于基础题．
先求解集合，，再利用元素与集合的关系和集合与集合的关系判断即可．
【解答】
解：或，
，
，，．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：因为网格纸上小正方形的边长为，
所以由勾股定理可得，
又，分别是的边，的中点，
所以是的中位线，
所以，即，
故选：．
由已知可得是的中位线得到，再结合勾股定理可得到正确答案．
本题考查平面向量基本定理，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以，
所以．
故选：．
根据三角函数的定义及两角差的正切公式即可求解．
本题考查了正切函数的定义，两角差的正切公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
所以．
故选：．
由三角函数的诱导公式化简，由对数函数的运算和单调性得到，再比较即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，．
由杠杆原理得，，解得，，
则，当且仅当取等号．
又，故．
故选：．
设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可．
本题主要考查了不等式及基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为定义在上的奇函数，所以，
又对任意的，都有，即，即，
所以是以为周期的周期函数，
所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
又，
而当时，，
所以．
故．
故选：．
结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解即可．
本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，且，
，
当且仅当时取等号，
令，
由得：，
，
即的最大值为，当且仅当时取到，
此时，．
故选：．
，平方后结合题意利用基本不等式可求得的最大值为，当且仅当时取到，从而可求得答案．
本题考查了两角和与差的三角函数及三角函数最值的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，其中，，
由得，，
，
由已知条件，上式对任意恒成立，故必有，
若，则，由得，，由得，
若，由得，与矛盾，，，解得，
．
故选：．
化简得，其中，然后由根据两角和的正弦公式可得出，该式对任意实数恒成立，从而得出，解出，，即可得出的值．
本题考查了辅助角公式，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：：一共有四个元素，故真子集个数为个，故A错误；
：如图，
延长交于点，延长至点，使，连接，，
由三角形全等易知四边形是平行四边形，则有，
又点是的重心，所以，又，
所以，故B正确；
：若，则，故C错误；
：此时有，所以，
展开可得，
即恒成立，所以，，故D正确．
故选：．
由集合性质得到集合中的元素，再由真子集个数确定A错误；作出图形，由向量的加减法法则得到B正确；取特殊值验证C错误；利用偶函数的性质和余弦诱导公式和两角和的余弦展开式以及正弦函数的取值结合起来可判断D正确．
本题主要考查命题真假的判断，考查函数的相关知识，向量的应用，集合的概念，属于中档题，也是易错题．
10.【答案】
【解析】解：由的图象知，，，可得．
再根据五点法作图，可得，即，
故有．
再根据把的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象．
所以函数的，故A正确．
由方程，得，在，，故有两个根，所以不正确．
因为，所以在区间上，单调递减，故C正确．
因为函数，可知关于直线对称，故D正确．
故选：．
由图象的顶点坐标函数的最大值求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结．
本题主要考查根据函数的部分图象求函数的解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，设，作单位圆，与轴交于，
则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，
由三角函数的定义可知，，，设扇形的面积为，
则，即，故，
当时，有不等式，故A正确；
对于选项B，画出且且与的函数图象，
如图可以看出，故，故B不正确；
对于选项C，的最小正周期为，由图象可知，所以，故C正确；
对于选项D，由，，推出，
因为，
所以，，，，
而，
但，且在为增函数，
故，
故，故D正确．
故选：．
对于选项，作单位圆，利用面积得到；
对于，选项，画出且且与的函数图象，利用数形结合判断即可；
对于选项，由，，推出，根据零点范围可得符号判断．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，
可得，
可得．
故答案为：．
利用平方关系和二倍角公式计算即可得出结果．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以
取的中点，则．
，即为中线的中点，如图所示，
则的面积为，的面积为，
，
，
．
所以．
故答案为：．
利用，确定点的位置，再结合三角形面积关系求解．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故，
即，
即，
所以
．
故答案为：．
利用三角函数的诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角的三角函数关系化简可得，最后利用三角恒等变换化简求出结果即可．
本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和差的余弦公式及同角的三角函数关系，属中档题．
15.【答案】解：Ⅰ在中，为中线上一点，，
；
Ⅱ由，
，，三点共线，
，
．
【解析】本题考查向量的加法运算，中线向量，共线向量基本定理，是中档题．
Ⅰ直接根据向量中线的性质以求解即可；
Ⅱ直接根据三点共线，且起点相同对应的结论求解即可．
16.【答案】解：由，
得，
解得．
由知，，
则
．
因为，，
所以．
因为，
所以，，
所以，
所以，
因为，
所以．
【解析】根据已知条及两角和的正切公式即可求解；
根据的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解；
根据已知条件及的结论，利用同角三角函数的平方关系及凑角法，结合两角差的正弦公式即可求解．
本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和差的余弦公式及同角的三角函数关系，属中档题．
17.【答案】解：由对数函数的真数大于零可得，
又恒成立，所以函数的定义域为；
，
所以为奇函数．
在上单调递增．
当时，，，
所以，
又，所以，
由题意可知，
当，有，
所以，解得，
当，有，
所以，解得，
综上，或，即的取值范围是．
【解析】由对数函数的性质可得定义域，再由奇函数的性质和对数函数的运算可得函数为奇函数；
由复合函数的单调性和对数函数的单调性可得的单调性；
由对数的运算先求出当时；再由正弦函数的值域求出当时，分和时构造符合条件的不等式组，解出即可．
本题主要考查函数的性质，函数恒成立问题，考查运算求解能力，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题知：，，
所以．
由，当且仅当时，即时取等号，
所以，即的最大值为；
因为，
令，
因为，
所以，
所以，
所以
所以，
令，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为．
【解析】由已知先表示，，结合同角基本关系即可证明；
由已知结合同角平方关系及基本不等式即可求解；
先表示四边形的面积，然后结合换元法及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：．
解：依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，
令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，
于是，，
因此，，
显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是．
解：，．
依题意，，
，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，
所以．
【解析】利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可证明；
根据给定条件，化简不等式，通过分离参数并构造函数并求出最值即得；
作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数的新定义，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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