2023-2024学年广东省深圳市桃源居中澳实验学校高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市桃源居中澳实验学校高一（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )
A. B. 、是单位向量，则
C. 若，则 D. 任一非零向量都可以平行移动
2.在中，( )
A. B. C. D.
3.如图所示，点为正六边形的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的个数是( )
；；．
A. B. C. D.
6.已知等边三角形的边长为，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
9.在中，，若，线段与交于点，则( )
A. B. C. D.
10.已知平面向量，的夹角为，且，，在中，，，为中点，则( )
A. B. C. D.
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
12.已知向量满足，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知向量，，若，则正数的值为______．
14.已知向量满足，，，则 ______．
15.在中，，点满足，若，则的值为______．
16.已知是平面内所有向量的一组基底，且，若，则______．
17.在中，是边的中点，，过点的直线交直线，分别于，两点，且，则 ______．
18.如图，正方形中，，是线段上的动点且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
20.本小题分
设，是不共线的两个非零向量．
若，，，求证：，，三点共线．
若，，，且，，三点共线，求的值．
21.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，且，
求的大小；
若，求的面积．
22.本小题分
已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，记其面积为，则有．
求；
若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于项，因为，所以，故A项正确；
对于项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：．
运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在中，
．
故选：．
根据平面向量的加减法运算计算即可．
本题考查平面向量的加减法运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与不共线，可作为基底向量，
故选：．
可作为基底的一对向量，则两向量不能共线，根据图形是否共线进行判断．
本题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：平面向量，，
则，，
，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的加减数乘运算，清楚零向量的表示为，而不是，属于基础题．
进行向量的加减数乘运算即可判断每个运算的正误，从而得出正确运算的个数．
【解答】
解：，该运算正确；
，该运算正确；
，是零向量，不是，该运算错误；
运算正确的个数为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用向量的数量积公式求解即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：中，，
由正弦定理可得：，可得，
所以，
所以．
故选：．
由正弦定理可得的值，可得的值，再由两角和的正弦可得的值．
本题考查正弦定理的应用及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
由投影向量的定义计算即可求得．
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，三点共线，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
由平面向量基本定理得，解得，
所以．
故选：．
由平面向量的线性运算和平面向量的基本定理计算即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：平面向量，的夹角为，且，，
，
由为边的中点，
，
，
；
故选：．
由已知中平面向量，的夹角为，且，，，再由为边的中点，，利用平方法可求出，进而得到答案．
本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由正弦定理可得，
因为，故可得，
因为，所以，
所以，可得，故，
又，可得，即，
因为，可得，
所以，则的形状是直角三角形．
故选：．
由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得，进而可求得的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求的值，利用三角形内角和定理可求的值，即可判断三角形形状．
本题考查三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
则可设，，，
则，
又因为，
所以，
所以又可设的坐标为，
所以，
因此，所以最大值为．
故选：．
由平面向量的数量积与夹角可得，设，，，由题可得的坐标，再由模的求法和三角函数的最值即可求得．
本题考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积与夹角，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，解得舍去或．
故答案为：．
根据向量垂直的坐标形式可得的方程，故可得正数的值．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知向量满足，，，
则，
则．
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以
．
所以．
故答案为：．
根据向量的加减运算求解即可．
本题考查了平面向量的加减运算问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
若，
，
，得，
．
故答案为：．
利用平面向量基本定理表示出与的关系．
本题考查平面向量基本运算，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：由题意，，
由，，三点共线，
可得，
则有，即，
消去，可得．
故答案为：．
由平面向量基本定理，根据，，三点共线的性质列式求值．
本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．
18.【答案】
【解析】解：由于正方形中，，是线段上的动点且，则，
由于，，三点共线，
故，故，
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：．
直接利用向量的线性运算和基本不等式的运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：，，，
；
，
；
，
．
【解析】根据平面向量的数量积的定义即可求解；
根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
20.【答案】证明：，，
，，，三点共线．
解：，
，，三点共线，存在实数使得，
，又，是不共线的两个非零向量．
，解得．
【解析】，，可得，即可证明，，三点共线．
，根据，，三点共线，可得存在实数使得，即可得出．
本题考查了向量共线定理、向量相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21.【答案】解：因为，可得，
即，
在三角形中，，可得为锐角，所以，
解得；
因为，，
由正弦定理可得：，
所以，
由余弦定理，，即，
联立方程组整理得，，
解得或舍．
所以．
【解析】由三角恒等变换及锐角的范围，可得角的大小；
由正弦定理及余弦定理可得边的大小，由三角形的面积公式计算面积．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意，
又易知，
得，
根据余弦定理可得，
可得，
又，
所以；
由余弦定理可得，
又，可得，
由基本不等式可得，解得，当且仅当时等号成立，
由，可得的最大值是，当且仅当时，等号成立．
【解析】利用余弦定理和三角形面积公式可得，解得；
根据基本不等式和余弦定理，解不等式即可求得的最大值为．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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