2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年河南省郑州十一中高一（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.正方形的边长为，则( )
A. B. C. D.
3.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为( )
A. B. C. D.
4.在锐角中，角、、所对应的边分别为，，，若，则角等于( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则( )
A.
B.
C.
D.
7.如图在平行四边形中，对角线与交于点，且，则( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列结论正确的为( )
A. 正四棱柱是长方体的一类
B. 四面体最多有四个钝角三角形
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，满足，则
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，请判断下列命题正确的是( )
A. 周长为 B.
C. 的外接圆半径为 D. 中线的长为
12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数满足，则 ．
14.已知平面向量，，若，则______．
15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
16.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体，如图所示，已知正四面体的棱长为，若一个正方体能够在勒洛四面体中随意转动，则正方体的棱长的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求为何实数时，复数是：
实数；
纯虚数；
虚数．
18.本小题分
设向量，，其中．
若，求的值；
若，的夹角为锐角，求的取值范围．
19.本小题分
中，角，，的对边分别是，，．．
求；
若，的面积为，判断此三角形的形状．
20.本小题分
如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
21.本小题分
在；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，，，分别是角，，的对边，已知_____．
求角的大小；
若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．
22.本小题分
仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离参考数据：，
求流星发射点近似高度；
在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
直接计算即可．
【解答】
解：原式．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，属于基础题．
可画出图形，根据向量数乘的几何意义和向量加法的平行四边形法则即可得出答案．
【解答】
解：如图，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征．注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
【解答】
解：当截面平行于正方体的一个侧面时得，
当截面过正方体的体对角面时得，
当截面不平行于任何侧面和对角面时得，
但无论如何都不能截出，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：把利用正弦定理化简得：，
，为锐角，
，
则．
故选：．
已知等式利用正弦定理化简，根据不为求出的值，由为锐角确定出的度数即可．
此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．
根据平面向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：，，
，
，，
解得．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，
由余弦定理得：，
即，而，
解得，
由斜二测画图法知：，，
在中，，
所以．
故选：．
在直观图中，利用余弦定理求出，再由斜二测画图法求出及，借助勾股定理求解作答．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的加减法，属简单题．
由平面向量的加减法即可求解．
【解答】
解：
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：中，由余弦定理得，，且的面积为，
由，得，化简得；
又，，
所以，解得或不合题意，舍去；
所以，
由，且，，
则，
所以，所以，
所以．
故选：．
由已知结合余弦定理及三角形面积公式可得及的关系，然后结合同角平方关系可求，再由正弦定理及和差角公式进行化简可求
本题主要考查了余弦定理，同角基本关系，和差角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于项，由平面向量加法的平行四边形法则得，故A正确；
对于项，，故B错误；
对于项，，故C正确
对于项，，故D正确．
故选ACD．
根据向量的加法法则可逐一判断．
本题考查向量的加法法则，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题真假的判断，涉及了空间几何体的结构特征的应用，复数的运算以及复数定义的理解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
利用正四棱柱的定义即可判断选项A，由特殊例子即可判断选项B，由复数的相等的定义以及复数模的运算即可判断选项C，由特殊例子即可判断选项D．
【解答】
解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；
如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；
设，，因为，即，
所以，．
故
，
因为，，所以，
则，故选项C正确；
若，，则，但是，故选项D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：现有满足：：：：，
所以：：：：，
设，，，
利用余弦定理，
由于，
所以故B正确；
利用，
所以，整理得，解得．
所以：，，，
所以的周长为，故A错误；
利用正弦定理，，故C正确；
如图所示：
利用正弦定理，解得，所以，
利用余弦定理：，
解得，故D错误．
故选：．
直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用判断的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以选项不正确．
故选：．
根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算即可．
本题主要考查柱体侧面积的计算，锥体侧面积的计算，球的表面积的计算等知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的模的求法，考查运算求解能力，是基础题．
利用复数的模的性质直接求解．
【解答】
解：复数满足，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，，若，
则，得．
，
则．
故答案为：．
由已知利用向量共线的坐标运算求得，再由向量的坐标加法运算及向量模的计算公式求解．
本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．
【解答】
解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：若正方体能在勒洛四面体中任意转动，则正方体的外接球能够放入勒洛四面体，
因此，求正方体的棱长最大值，即求其外接球半径最大值，也即勒洛四面体能够容纳的最大球的半径，
此时该球与勒洛四面体的四个曲面均相切，该球的球心即为正四面体的中心，
设是底面的中心，是四面体的中心，外接球半径为，是高，
如图．
，
由，得，解得，
设为正方体的外接球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心，
易知该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线，且，
因此，此即正方体外接球半径的最大值，此时正方体的棱长的最大值为．
故答案为：．
利用正方体的外接球的性质，将问题等价转化为，求解外接球半径的最大值问题，根据正四面体的几何性质确定球心的位置，结合球的性质，可得答案．
本题主要考查几何体的外接球问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：当为实数时，
则，解得或；
当为纯虚数时，
则，解得；
当为虚数时，
则，解得且，
故的取值范围为．
【解析】结合实数的定义，即可求解；
结合纯虚数的定义，即可求解；
结合虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，
所以，
因此，
即，．
由，得，所以，
当，平行时，，则或，
显然时，，同向，夹角不为锐角，所以，
故的取值范围是．
【解析】根据已知条件，结合向量模公式，即可求解；
结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
因为，
所以，
所以，即；
，
所以，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
又因为，
所以，
，
是正三角形．
【解析】利用正弦定理，把边化为角，运用两角和的公式进行化简；
由的结果结合预先定理求出，两边，从而判断三角形的形状．
本题考查了利用正、余弦定理解三角形，属于容易题．
20.【答案】解：在梯形中，，，且，，，
，
，
．
以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
组合体上底面积，
旋转体的表面积．
又由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
【解析】本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥与圆柱结构特征的应用，圆锥与圆柱的表面积公式以及体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．先判断出以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，分析圆锥与圆锥的基本量，然后利用圆锥和圆柱的表面积公式以及体积公式求解即可．
21.【答案】解：若选，
由正弦定理可得，
即，又，所以，即，
因为，所以；
若选，即，
即，
所以，即，所以，即，
因为，所以；
解：依题意，，
所以，
因为、、三点共线，故设，
同理、、三点共线，故设，
所以，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又为锐角三角形，
当为锐角，则，即，
即，即，即，所以，
当为锐角，则，即，
即，即，即，即，所以，
综上可得，
又，则，
因为，所以，而在上单调递减，所以，
即，即，所以，则．
【解析】若选利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．
本题考查了正弦定理和平面向量的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，则，所以为等边三角形，所以．
又因为，
所以，所以，所以，，，
在中，由正弦定理：，得，解得，
在中，由余弦定理：
，
所以，
所以公里．
公里，所以流星发射点近似高度为公里，远远大于对流层最高近似高度公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”言之有理即可．
【解析】由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得；
由求出的值可得流星发射点近似高度为公里，远远大于对流层最高近似高度公里，从而可得结论．
本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
第1页，共1页