2023-2024学年河南省郑州市宇华实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河南省郑州市宇华实验学校高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合与之间的关系是( )
A. B. C. D.
2.已知，为自然对数的底数，比较，，的大小( )
A. B. C. D.
3.设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值是( )
A. B. C. D.
4.某校校庆日为每年月日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的( )
A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长
6.已知直线：，：，若，则实数( )
A. B. C. 或 D.
7.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
8.千年宝地，一马当先年月日时分，吉利银河宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共万人的热情参与为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔公里设置一个饮水站志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给，两个饮水站中间设置一个用水站志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者，共个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则( )
A. 圆锥的母线长为
B. 圆锥的表面积为
C. 圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
D. 若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为
11.已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是：，则下列说法正确
的是( )
A. 所有项的系数之和为 B. 所有项的系数之和为
C. 含的项的系数为 D. 含的项的系数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是函数的零点，则 ______．
13.已知复数满足为虚数单位，在复平面内，复数对应的点为，且满足不等式，则点构成的平面图形的面积为______．
14.过双曲线．的右焦点的直线分别在第一、第二象限交的两条渐近线于，两点，且若，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为若，且的图象关于直线对称．
求函数的单调增区间；
求函数在区间上的最值．
16.本小题分
已知两个定点，，如果动点满足．
求点的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；
若直线：分别与点的轨迹和圆都有公共点，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，点在边上，．
若，，，求；
若是锐角三角形，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，分别是，的中点，平面经过点，，与棱交于点．
试用所学知识确定在棱上的位置；
若，，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知双曲线：的右焦点，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线的右支交于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值；
在的条件下，若点是点关于原点的对称点，求面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，集合；
当时，集合；
又，所以．
故选：．
分和两种情况讨论，可得集合，的关系．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由三角函数线可知，不等式，
所以，又函数为增函数，为减函数，
所以，所以，
综上，．
故选：．
由常见的不等式可比较和的大小；利用幂函数和指数函数的单调性及中间量可比较，和的大小，进而得出答案．
本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了转化思想，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时，函数单调递增，函数取值范围为，
当时，函数单调递减，函数取值范围为，
当时，函数单调递增，函数取值范围为，
作出函数的图象与直线，
如图，
观察图象知，当时，函数的图象与直线有个交点．
故选：．
分析函数的性质，作出函数图象，借助图象求出的范围．
本题主要考查了由函数零点个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：记吹南风为事件，下雨为事件，
因为，
所以既吹南风又下雨的概率为：．
故选：．
根据概率的加法公式即可求解．
本题考查了概率加法公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
对选项A：得到的函数为，错误；
对选项B：得到的函数为，错误；
对选项C：得到的函数为，错误；
对选项D：得到的函数为，正确．
故选：．
变换，根据三角函数平移和伸缩变换依次判断每个选项，对比即可得到答案．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移和伸缩变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，
解得：或，
当时，：，：，两直线平行，满足题意，
当时，：，：，两直线重合，舍，
所以．
故选：．
根据直线平行公式求出参数的值，验证是否重合．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量及其应用，异面直线所成的角余弦值的计算等知识，属于基础题．
建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可．
【解答】
解：以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，故共有饮水站个，用水站个，分别设为，，
其中任取个饮用水服务点安排给甲、乙，共有种不同的安排方法，
甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的时，可以分别取一个饮水站和一个用水站安排给甲、乙共有，
再减去其中甲、乙相邻的情况，相邻时，共有，，，，，种情况，
故甲队和乙队服务类型不同且服务点相邻的安排方法为，
即满足甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的安排方法有种，
由古典概型可知，．
故选：．
由题意可知个饮用水服务点种有个饮水站，个用水站，分别计算随意安排甲乙参与和满足服务类型不同且服务点不相邻要求的方法种数，根据古典概型求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，，
且，，
，，
，
又，
，
，
由得，
故选：．
依题意可得，由，，从而可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查转化与化归思想及运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，则以为圆心，为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，
由，解得，所以圆锥的母线长为，选项A错误；
圆锥的表面积，选项B正确；
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，选项C错误；
如图为圆锥沿的侧面展开图，连接，则为等腰三角形，
所以蚂蚁爬行的最短距离为，选项D正确．
故选：．
由题意可求出圆锥的母线长判断选项A；
由此可求得圆锥的表面积判断选项B；
由侧面展开图扇形的形状可判断选项C；
由侧面展开图的扇形求最短距离判断选项D．
本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由二项式的展开式中的通项公式为，
它第项与第项的二项式系数之比是：，
：：，求得，
故通项公式为．
令，求得，故的系数为，
令代入；
故所有项的系数之和为；
故选：．
先由题意利用二项式系数的性质求得的值，可得通项公式，在通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，可得的系数．再令可得所有项的系数和．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：令，可得，
即，
，，
即，两边取自然对数可得，
又是单调函数，
故，即．
可得，即，
故．
故答案为：．
令，一步步整理得到，再结合是单调函数，可得，进一步整理即可求得结论．
本题主要考查函数零点，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】．
【解析】解：，．
，点构成的平面图形为一个圆环，其中大圆是以为圆心，为半径的圆，
小圆是以为圆心，为半径的圆，
点构成的平面图形的面积为．
故答案为：．
根据复数的除法运算可得，根据复数的几何意义可判断点的轨迹为圆环，即可由圆的面积公式求解．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示：
令，于是有，
由双曲线和两条渐近线的对称性可得：，
因为，
所以，
即，
在直角三角形中，
设，，
根据勾股定理可得：
，，，，或舍去，
即，，
在直角三角形中，
，
由勾股定理可知：
，
因为，
所以，
，
，，，或舍去，
由．
故答案为：．
根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可．
本题考查了双曲线的性质，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．
15.【答案】解：，
由函数的最小正周期满足，得，解得，
又因为函数图象关于直线对称，所以，
所以，，所以，所以，
由，，得，，
函数的单调增区间为，．
因为，
所以，，
由，
当或时，，当时，．
【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，然后通过对称性和周期得到，然后求解单调区间．
由的取值范围，求出的取值范围，然后根据正弦函数的性质求解函数的值域即可．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
16.【答案】解：设的坐标，
因为，，动点满足．
所以，
整理可得：，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径；
，解得，
直线与圆相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径；
，解得，
综上所述，直线：分别与点的轨迹和圆都有公共点，实数的取值范围为
【解析】设的坐标，由与的关系可得的轨迹方程；
分别求出两圆与直线的相切相交时的的范围，进而求出直线从两圆之间通过时的范围．
本题考查求点的轨迹方程的方法及直线与圆相切或相切的性质，属于中档题．
17.【答案】解：根据余弦定理，在中，
，
则，所以，
则，
在中，
，
所以；
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，
设，，又，则，
则，，，
则，，，，
由是锐角三角形，可得，
即，解得，
故．
【解析】由题设，结合余弦定理即可求解；
建立平面直角坐标系，利用向量夹角为锐角，得数量积大于，即可求得取值范围．
本题考查三角形中的几何计算，考查余弦定理，属中档题．
18.【答案】解：如图，分别延长，交于点，
连接交于点，
根据题意易知为的中点，又为的中点，
，且，
∽，
，
为棱上靠近的三等分点；
取的中点，连接，则，
又平面平面，且，为中点，
，又平面平面，
底面，又，，
，
故以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
又为中点，且为棱上靠近的三等分点，
可得，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
与平面所成角的正弦值为：
，．
【解析】分别延长，交于点，连接交于点，再根据题意易证为棱上靠近的三等分点；
建系，利用向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量法求解线面角问题，向量夹角公式的应用，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：由题意可得，渐近线的斜率为，
可得，即，因为，解得，，
所以双曲线的方程为：；
；
证明：显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，，
设，，
令，可得，即，
联立，整理可得：，
成立，且，，
因为直线与双曲线的右支有两个交点，
所以，可得，
且，可得，
所以，
因为，，即，，
可得，，
所以，
即为定值；
由知，，，
，
到直线的距离，
所以，
设，，，可得，即，
所以，
设，在单调递减，所以，
所以．
【解析】由题意可得的值，再由渐近线的方程，可得的关系，再由，，之间的关系，可得，的值，进而可得双曲线的方程；
由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程，令，可得的坐标，由向量的关系，可得，的表达式，进而可得的表达式，联立直线的方程与双曲线的方程，可得两根之和及两根之积，代入的代数式，整理可证得其值为定值；
由题意及可得的坐标，求出弦长的表达式，及到直线的距离，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，可得三角形面积的取值范围．
本题考查双曲线的方程的求法及直线与双曲线的综合应用，三角形面积的求法，换元法的应用，属于中档题．
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