2023-2024学年天津市和平区汇文中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市和平区汇文中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 向量的模是正实数
B. 共线向量一定是相等向量
C. 方向相反的两个向量一定是共线向量
D. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2.已知为坐标原点，点，，是线段的中点，那么向量的坐标是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中不能化简为的是( )
A. B.
C. D.
4.在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.已知复数为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
7.在中，为的中点，为的中点，设，，以向量、为基底，则可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
9.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，设向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.是虚数单位，复数
11.若，，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为______．
12.在平行四边形中，，则 ______．
13.在中，，，，则 ______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______．
15.如图，是等边三角形，边长为，是平面上任意一点则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
17.本小题分
已知向量，，．
求；
若，求实数的值．
18.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
Ⅰ如果，求的值；
Ⅱ如果，求的值．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，，令，．
用表示，，；
若，且，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，因为，不是正实数，故A错误；
对于，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；
对于，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；
对于，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．
故选：．
由向量的概念逐一判定即可得结论．
本题主要考查向量的概念，向量的模，共线向量的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为坐标原点，点，，是线段的中点，
由中点坐标公式可得，所以．
故选：．
由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解．
本题考查中点坐标公式以及向量的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：；
；
；
，显然由得不出；
不能化简为的式子是．
故选：．
根据向量加法及减法的几何意义即可化简各选项的式子，从而找出正确选项．
考查向量加法及减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，由知不一定等于．
4.【答案】
【解析】解：因为在中，，，，
所以由正定理得：，
由于，
所以．
故选：．
根据正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，且与的夹角为，
，
，
故选：．
根据向量的数量积运算以及运算法则，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积的性质与运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：为纯虚数，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为为的中点，
则，
因为为的中点，
则．
所以，
，，
则．
故选：．
利用向量的加减法运算法则，化简求解即可．
本题考查向量的四则运算，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：向量，，，
，，
，，
故，．
故选：．
先求出，再利用向量的夹角公式求解．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了向量的夹角公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
故选：．
由向量平行的坐标表示可得，再由余弦定理计算即可．
本题考查向量平行的坐标表示和余弦定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，，向量与向量的夹角为，
则在方向上的投影为，
故答案为：．
由平面向量数量积运算，结合投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影的运算，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为四边形为平行四边形，则，
，则．
故答案为：．
根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，，，
可得，解得，
又，所以，
则．
故答案为：．
由三角形面积，求得角的正弦值，进而求得其余弦值，利用数量积定义进行计算即可．
本题考查三角形面积，考查平面向量数量积计算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为的内角，，的对边分别为，，，，，，
所以，
又因为，
则．
故答案为：．
由已知利用余弦定理可求的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：取等边的中心，
记，
则，
又，
，
所以
，
当时，上式取最小值，
因为等边的边长为，所以
，
所以，
因此，当点满足时，最小，其最小值为．
故答案为：．
根据三角形中心的性质，结合平面向量数量积的运算性质、正弦定理进行求解即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
16.【答案】解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
【解析】利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得．
利用复数除法及复数的分类求出即得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
17.【答案】解：向量，，．
；
，
，
若，则，
解得实数．
【解析】利用向量坐标运算法则直接求解；
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：，，，
；
，
；
，
．
【解析】根据平面向量的数量积的定义即可求解；
根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
19.【答案】本小题满分分
Ⅰ解：由余弦定理，分
得，
解得分
Ⅱ解：方法一由，，得分
由正弦定理，得分
所以．
因为，
所以分
分
方法二由，，得分
由余弦定理，
得，
解得，或舍分
由正弦定理，得分
【解析】Ⅰ由余弦定理，能求出的值．
Ⅱ法一：由，求出由正弦定理求出，进而求出，由，得，由此能求出结果．
法二：由，求出由余弦定理求出，再由正弦定理能求出的值．
本题考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20.【答案】解：因为，，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以．
由知，
又，
所以，
即，
解得，
所以．
【解析】利用平面向量的四则运算法则求解即可；
利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积与夹角，属于中档题．
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