专题三 分式——2024届中考数学一轮复习进阶训练
1.若分式有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A.代数式是分式
B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C.分式的值为0，则x的值为
D.分式是最简分式
3.化简，正确结果是( )
A. B. C. D.
4.若________，则________上的分式是( )
A. B. C. D.
5.已知分式，，其中，则A与B的关系是( )
A. B. C. D.
6.若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为( )
A.不相等 B.相等 C.前者较大 D.后者较大
7.已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是( )
A.2 B. C. D.-2
8.对于题目：“先化简再求值：，其中m是方程的根.”甲化简的结果是，求值结果是；乙化简的结果是，求值结果是.下列判断正确的是( )
A.甲的两个结果都正确
B.乙的两个结果都正确
C.甲的化简结果错误，求值结果正确
D.甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
9.若分式的值为零，则x的值是_______.
10.代数式化简的结果是，则整数_________.当时，_________（填“>”“<”“=”）.
11.若，则分式_____.
12.小伟不小心弄污了练习本上一道题，这道题是：“化简：”，其中“▲”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“▲”处的式子为_________.
13.先化简，再求值：，其中.
14.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：，，则和都是“和谐分式”.
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①；②；③；④.
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
答案以及解析
1.答案：B
解析：分式有意义，则，即，故选B.
2.答案：D
解析：A.代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意；
B.分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意；
C.分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意；
D.分式是最简分式，故该选项正确，符合题意；
故选：D.
3.答案：D
解析：，故选D.
4.答案：A
解析：_______，
________上的分式是：.
故选A.
5.答案：B
解析：
，
而，
，故选B.
6.答案：A
解析：
，
故二者不相等；
当时，，前者较大；
当时，，后者较大.
故选A.
7.答案：B
解析：a，b是一元二次方程的两根
，，
，
.故选B.
8.答案：D
解析：
，
m是方程的根.
，
原式.故选D.
9.答案：
解析：由题意得：得，且，
解得：，
故答案为：.
10.答案：或；>
解析：根据题意得：
；
，
，即，
，
，
，即，
.
故答案为：，>.
11.答案：1
解析：原分式，
，
.
故答案为：1.
12.答案：或
解析：根据题意得：，
则“▲”处的式子为或，
故答案是：或.
13.答案：，
解析：
原式.
14.答案：（1）①③④
（2）
（3），时，该式的值为整数
解析：（1）①，是和谐分式；
②，不是分式，不是和谐分式；
③，是和谐分式；
④，是和谐分式；
故答案为：①③④.
（2）；
故答案为：.
（3）
，
当或时，分式的值为整数，
此时或或1或，
又分式有意义时、1、、，
.
(
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专题三 分式
考情分析
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
分式及其性质 1.分式有意义的条件 ☆☆ 本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查分式的基本性质和分式的运算，体现了数学运算的核心素养
2.分式值为0的条件 ☆ 分式的运算 3.分式的化简求值 ☆☆☆ 讲解一：
分式
知识复习
一、分式的定义：
3.分式与整式的区别是分母中是否含有字母.
知识复习
二、分式的基本性质
知识复习
二、分式的基本性质
2.分式的基本性质是约分与通分的理论依据.
【规律方法】
不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数分两种情况：
（1）对于各项系数为小数的分式，分子、分母要同时乘相应的倍数.
（2）对于各项系数是分数的分式，要将分子和分母同乘分数分母的最小公倍数.
知识复习
二、分式的基本性质
【易错点津】
（2）应用分式的基本性质时，要避免犯只乘（或除以）分子（或分母）的错误.
命题形式1 根据分式有意义的条件求字母的取值范围
【解析】
D
命题形式2 根据分式的值为0的条件求字母的值
A
【解析】
命题形式2 根据分式的值为0的条件求字母的值
【解析】
讲解二：
分式的约分与通分
知识复习
一、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
1.当分子、分母为多项式时，先分解因式在约分
2.约分要彻底，使分式的分子和分母没有公因式，约分的结果是最简分式或整式.
知识复习
一、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
步骤 举例
①定公因式
②约公因式
知识复习
二、分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母
的分式，叫做分式的通分
1.确定最简公分母的步骤
各分式分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作分母，这样的分母叫做最简公分母.
知识复习
步骤 具体操作方法 举例
若分母是多项式，先把每个分母分解因式，再按上述步骤确定最简公分母
取各分母系数的最小
公倍数
取分式分母中的所有字母
取各个字母的最高指数
①定系数
②定字母
③定指数
④写最简公分母
分母系数的最小公倍数：2
知识复习
2.通分的步骤
步骤 举例
①定最简公分母
②化异分母为最简公分母
命题形式3 分式的通分、约分
【解析】
命题形式3 分式的通分、约分
【解析】
命题形式3 分式的通分、约分
D
讲解三：
分式的运算
知识复习
一、分式的加减
类别 法则 举例
分式的加减运算结果能约分的要约分，化为最简分式或整式
分母不变，把分子相加减
先通分，变为同分母的分式，
再加减
知识复习
一、分式的加减
【规律方法】
（1）一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看成是分母为1的“分式”进行通分，这样不易出错.
知识复习
二、分式的乘除和乘方
类别 法则 表示
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
分式的乘方要把分子、分母分别乘方
乘法
除法
乘方
知识复习
二、分式的乘除和乘方【拓展延伸】
根据分式乘法法则有：
①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘；
②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘；
③分式的乘法实际就是约分，所以计算结果如果能约分，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式.
知识复习
三、分式的混合运算
分式混合运算顺序与分数混合运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
【规律方法】
（1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减.
（2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算的技巧性.
【易错点津】
分式的混合运算的结果必须化为最简分式或整式.
命题形式4 分式的运算
A
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
B
命题形式4 分式的运算
【解析】
1
命题形式4 分式的运算
【解析】
C
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
【解析】
A
命题形式4 分式的运算
【解析】
命题形式4 分式的运算
②
命题形式4 分式的运算
③
命题形式4 分式的运算
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命题点 命题形式 命题热度 命题特点
分式及其性质 1.分式有意义的条件 ☆☆ 本专题多以选择题和填空题的形式出现，重点考查分式的基本性质和分式的运算，体现了数学运算的核心素养
2.分式值为0的条件 ☆
分式的运算 3.分式的化简求值 ☆☆☆
讲解一：分式及其性质
一、分式的定义：如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式.
1.分式有意义的条件：分母不能为0，即.
2.分式的值为0的条件：且.
3.分式与整式的区别是分母中是否含有字母.
4.对于分式，若分式的值为正，则同号；若分式的值为负，则异号；若分式的值为1，则且；若分式的值为，则且.
二、分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即
1.分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即.
2.分式的基本性质是约分与通分的理论依据.
【规律方法】
不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数分两种情况：
（1）对于各项系数为小数的分式，分子、分母要同时乘相应的倍数.
（2）对于各项系数是分数的分式，要将分子和分母同乘分数分母的最小公倍数.
【易错点津】
（1）在分式的基本性质中，是隐含的已知条件，而则是附加的限制条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调这个前提条件.
（2）应用分式的基本性质时，要避免犯只乘（或除以）分子（或分母）的错误.
（3）若分式的分子或分母是多项式，则运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式.
命题形式1 根据分式有意义的条件求字母的取值范围
1.【2023.山东济宁】若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.且
答案：D
解析：对于，根据二次根式有意义的条件可知.因分式的分母为，故，故，x的取值范围为且.
命题形式2 根据分式的值为0的条件求字母的值
2.如果分式的值是零，则x的取值是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意可得且，
解得.故选A.
3.若分式的值为0，则y的值为____________.
答案：
解析：分式的值为0，
且，
即且，
.
故答案为：.
讲解二：分式的约分与通分
一、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
1.当分子、分母为多项式时，先分解因式在约分
2.约分要彻底，使分式的分子和分母没有公因式，约分的结果是最简分式或整式.
3.判断一个式子是否为分式应在约分前进行判断，如是分式不是整式.
约分一般分为两步，下表以分式的约分为例：
步骤 举例
①定公因式 分子与分母的公因式：
②约公因式 原式=
二、分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
1.确定最简公分母的步骤
各分式分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作分母，这样的分母叫做最简公分母.确定最简公分母一般分为四个步骤，下表以分式和为例：
步骤 具体操作方法 举例
①定系数 取各分母系数的最小公倍数 分母系数的最小公倍数：2
②定字母 取分式分母中的所有字母 分母的所有字母：
③定指数 取各个字母的最高指数 的最高指数：2，的最高指数：2，的最高指数：1
④写最简公分母 最简公分母：
若分母是多项式，先把每个分母分解因式，再按上述步骤确定最简公分母.
2.通分的步骤
通分一般分为两步，下表以为例：
步骤 举例
①定最简公分母 最简公分母：
②化异分母为最简公分母 原式
命题形式3 分式的通分，约分
4.回答下列问题：
（1）约分：.
（2）约分：.
（3）通分：与.
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3），.
5.下列结论中，正确的是( )
A.x为任何实数时，分式总有意义
B.当时，分式的值为0
C.和的最简公分母是
D.将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变
答案：D
解析：A.当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
B.当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；
C.和的最简公分母是，选项错误，不符合题意；
D.将分式中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；故选D.
讲解三：分式的运算
一、分式的加减
类别 法则 表示
同分母 分母不变，把分子相加减
异分母 先通分，变为同分母的分式，再加减
分式的加减运算结果能约分的要约分，化为最简分式或整式
【规律方法】
（1）一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看成是分母为1的“分式”进行通分，这样不易出错.
（2）当两个分式的分母互为相反数时，应运用符号法则：等性质变为同分母的分式.
二、分式的乘除和乘方
类别 法则 表示
乘法 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
除法 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
乘方 分式的乘方要把分子、分母分别乘方
【拓展延伸】
根据分式乘法法则有：
①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘；
②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘；
③分式的乘法实际就是约分，所以计算结果如果能约分，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式.
三、分式的混合运算：分式混合运算顺序与分数混合运算顺序类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
【规律方法】
（1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减.
（2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算的技巧性.
【易错点津】
分式的混合运算的结果必须化为最简分式或整式.
命题形式4 分式的运算
6.【2023.河北】化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：.
7.【2023.湖北随州】先化简，再求值：，其中.
答案：原式
解析：原式.
当时，原式.
8.【2023.吉林】下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整.
例：先化简，再求值：，其中. 解：原式 ……
答案：；原式
解析：.
补充剩余过程如下：
.
当时，原式.
9.【2023.湖南衡阳】已知，则代数式的值为________.
答案：
解析：原式.
，.
10.【2023.河南】化简的结果是( )
A.0 B.1 C.a D.
答案：B
解析：原式.故选B.
11.【2023.福建】已知，且，则的值为_________.
答案：1
解析：将整理，得，，.
12.【2023.天津】计算的结果等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：原式.
13.【2023.陕西A】化简：.
答案：
解析：原式
.
14.【2023.江苏宿迁】先化简，再求值：，其中．
解析：
，
当时，原式．
15.【2023.北京】已知，求代数式的值．
解析：原式.
，，
原式.
16.【2023.湖南怀化】先化简，再从-1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值.
解析：原式
.
当a取1，2时，分式没有意义，
故a可取或0.
若，则原式.
若，则原式.
17.【2023.湖南常德】先化简，再求值：，其中.
解析：原式
.
当时，原式.
18.【2023.四川成都】若，则代数式的值为___________.
答案：
解析：原式.，，原式.
19.【2023.山东菏泽】先化简，再求值：，其中x，y满足.
解析：原式
.
由，得，
原式.
20.【2023.福建】先化简，再求值：，其中.
解析：原式
.
当时，原式.
21.【2023.湖北荆州】先化简，再求值：，其中，.
解析：
.
，，
原式.
22.【2023.湖北武汉】已知，计算的值是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案：A
解析：原式.
，，原式.
23.【2023.山东烟台】先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数.
解析：
.
，.
又a是正整数，，，，
，原式.
24.【2023.江西】化简.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 …
解：原式 …
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.
(1)②；③
(2)按甲同学的解法化简：
原式
.
按乙同学的解法化简：
原式
.
