2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.新型冠状病毒呈圆形或者椭圆形，最大直径约米，该数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4.已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
5.某射击爱好者的次射击成绩单位：环依次为：，，，，，，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是
6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上则的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点，给出下列结论：；；∽；其中正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，对角线，相交于点，，，若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：______．
10.若关于的不等式组无解，则的取值范围是______．
11.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______．
12.已知平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为以为位似中心，作平行四边形的位似图形平行四边形，位似图形与原图形的位似比为：，点的对应点为点，则点的坐标为______写出一个即可
13.如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图象经过点和的中点，则的值是 ．
14.如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂年电脑型显卡的成本是元个，年与年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，年型电脑显卡的成本降低到元个．
求这两年型电脑显卡成本平均下降的百分率；
公司电商销售平台以高于成本价的价格购进型电脑显卡，以元个销售时，平均每天可销售个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发观，单价每降低元，每天可多售出个，如果每天要保持盈利元，试求单价应降低多少元？
四、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的根．
18.本小题分
如图，在中，为上一点，且．
求证：∽．
若，，求的长．
19.本小题分
在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高结果保留根号
20.本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
21.本小题分
如图，直线与双曲线交于点和点，过点作轴，垂足为．
求直线和双曲线的解析式；
连接，求的面积；
在轴上找一点，使的值最大，请直接写出满足条件的点的坐标．
22.本小题分
如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点．
求证：是的切线；
求的长．
23.本小题分
【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，，连接，请直接写出的值．
【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．
24.本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点点在抛物线上，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式和，的值；
如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标；
如图，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用科学记数法的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定，确定和的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
有两个不相等的实数根．
故选：．
计算判别式的值即可判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】解：、出现了次，出现的次数最多，该组成绩的众数是，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是，故本选项不符合题意；
C、该组成绩，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差，故本选项不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6.【答案】
【解析】解：延长至格点，连接，如图，
由题意得：
，，，
，
，
．
故选：．
延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，，
，故正确；
，
，
，
又，
∽，故正确；
，
，
，
，
，
，故错误，正确；
故选：．
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，故正确；通过证明，再根据，可证∽，故正确；由相似三角形的性质可得，故错误，正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．
过点作于，由含角的直角三角形的性质及勾股定理可求解，的长，结合平行四边形的性质可得的长，进而求得，的长，设，则，利用勾股定理可求得与的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值范围，即可判断函数的图象．
【解答】
解：过点作于，
，，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
设，，则，
，
，
抛物线开口方向向上，顶点坐标为，与轴的交点为，
，
当时，
故符合解析式的图象为：
故选：．
9.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用平方差公式求解即可求得答案．
此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意能借助于平方差公式求解是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
，
由旋转的性质可知，的面积的面积，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积，
扇形的面积
，
故答案为：．
根据，，和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到的面积的面积，得到阴影部分的面积扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
12.【答案】或
【解析】解：平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，
，
以为位似中心，点的对应点为点，位似图形与原图形的位似比为：，
点的坐标为：或即或．
故答案为：或．
利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点坐标．
此题主要考查了位似变换以及平行四边形的性质，正确得出点坐标是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：过点作轴，轴；过点作轴．
根据题意可知，，
设，
四边形的面积为，
，
为的中点，轴，轴，
为的中位线，
，，
四边形的面积为，
，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
根据反比例函数的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
14.【答案】
【解析】解：把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
，
．
故答案为：．
由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，，得到规律，即可求得．
本题考查了规律型：图形的变化类，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】解：设这两年型电脑显卡成本平均下降的百分率为，
依题意，得．
解得，不合题意，舍去．
答：平均下降率为．
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：．
整理，得．
解得，．
为了增加销量，
，
答：单价应降低元．
【解析】设平均下降率为，利用年该类电脑显卡的出厂价年该类电脑显卡的出厂价下降率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设单价应降低元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】解：
．
【解析】先计算绝对值、乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：
，
是方程的根，
或不合题意舍去，
则原式．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由为已知方程的根，得到，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：在、中，
，，
∽；
解：∽，
：：，
，
，，
，
．
【解析】根据两角对应相等，两三角形相似即可证明∽；
根据相似三角形的对应边成比例得出：：，即，将数值代入计算即可求出的长．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简叙为两角对应相等，两三角形相似；
相似三角形的对应边成比例．
19.【答案】解：作于点，根据题意可得是矩形，
，
斜坡的坡度：，坡底的长为米，
米，
米，
设米，
在中，，
，
米，
，，
米，
在直角中，，
，
则米．
答：的高度是米．
【解析】作于点，设米，在直角中利用三角函数用表示出的长，在直角中表示出的长，然后根据即可列方程求得的值，进而求得的长．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：
把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：
把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：反比例函数过点，
，
反比例函数的表达式为：，
将点代入上式并解得：，
故点，
将点、的坐标代入得，
解得，
故直线的表达式为：；
轴，垂足为，
，
在中，令，则，
一次函数图象与轴的交点为，
，
；
过点作轴的对称点，连接交轴于点，为最大，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的表达式为：，
令，则，
故点的坐标为．
【解析】通过反比例函数过点，求出反比例函数的表达式，进而求出点的坐标，进而利用待定系数法求得一次函数的解析式；
求得直线与轴的交点，利用即可求解；
证明为最大，即可求出点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，其中利用点的对称性确定点的位置是本题的难点，题目体现了方程思想，综合性较强．
22.【答案】证明：，，，
，
，
∽，
，
，
，
即，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作于点，
，，弦，
，
，
≌，
，即平分，
，即为等腰三角形，
，，
，，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】根据题意可得，，以此推出∽，根据相似三角形的性质可得，以此得到，即可证明是的切线；
过点作于点，根据题意可证明≌，以此得到平分，则，，再根据，以此即可求解．
本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．
23.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
解：，，
∽，
，，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
．
【解析】证明≌，从而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
24.【答案】解：将代入，
，
，
，
当时，，
解得或舍，
，
在直线上，
，
解得，
；
作轴交于，且点坐标为，
点横坐标为，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；
作轴交于于，过点作轴交于，
，
由∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
当时，的最大值是．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可求解；
作轴交于，可求，，通过证明∽，利用，求的值即可求点坐标；
作轴交于于，过点作轴交于，通过证明∽，求出，，再由∽，求出，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
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