专题一 实数——2024届中考数学一轮复习进阶讲义
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
实数的相关概念 1.正负数的意义 ☆ 本专题重点考查实数的相关概念，多以选择题和填空题的形式出现，要求学生理解并掌握相关概念，解答题多考查实数的混合运算，要求学生熟练运用实数的运算法则，体现了数学运算的核心素养
2.实数的分类 ☆☆
3.数轴、相反数、绝对值和倒数 ☆☆☆
4.科学记数法 ☆☆☆
5.（算术）平方根和立方根 ☆☆
实数的运算 6.实数大小的比较 ☆☆
7.二次根式的性质 ☆☆
8.二次根式的运算 ☆☆☆
9.实数的混合运算 ☆☆☆☆
讲解一：实数及其分类
一、有理数的定义：整数和分数统称为有理数.
1.整数：正整数、0、负整数统称为整数，如5，等.
2.分数：正分数、负分数统称为分数，如，等.
3.有限小数和无限小数都是有理数
二、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数.
1.无理数和有理数的和、差一定是无理数.
2.无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果一定是无理数.
3.判断一个数是否为无理数，主要看其结果，而不是其形式，如，等都不是无理数
三、实数的分类：有理数和无理数统称为实数.
按实数的定义分类：，
按实数的性质分类：
【注意】
1.不一定是负数，如是正数；
2.分数都是有理数；
3.常见的4种无理数形式：
4.0的意义：①0既不是正数，也不是负数
②0乘任何数都等于0
③0除以任何非零数都等于0
④0是任何自然数（0除外）的倍数
⑤0不能当除数，不能当分母，不能当比的后项
⑥相反数等于本身的数
⑦0减去任何数等于这个数的相反数
⑧0的任何非零次幂都等于0
⑨任何非零数的0次幂都等于1
⑩0的算术平方根、平方根、立方根都等于0
命题形式1 正负数的意义
1.【2023.广东】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作( )
A.元 B.0元 C.+5元 D.+10元
答案：A
解析：如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作，故选A.
2.【2023.吉林】月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下应记作( )
A. B. C. D.
答案：B
命题形式2 实数的分类
3.【2023.湖北荆州】在实数，，，中，无理数是( )
A. B. C. D.3.14
答案：B
4.【2023.湖南长沙】下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C.-1 D.0
答案：B
解析：A.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.-1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意.故选B.
讲解二：数轴、相反数、绝对值和倒数
一、数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
1.正方向：从原点向右（向上）的方向.
2.原点、正方向和单位长度为数轴的三要素，三者缺一不可.
3.数轴上两个点表示的数，右边（上边）的数总比左边（下边）的数大，即正数>0>负数.
4.实数与数轴上的点是一一对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.
5.数轴上两点间的距离：
二、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如2与互为相反数.
1.实数互为相反数.
2.的相反数是；0的相反数是0.
3.数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
三、绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.
1.绝对值具有非负性，即.
2.求绝对值的方法：
3.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若，则或
4.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
四、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，如3与互为倒数.
1.0没有倒数，倒数等于本身的数是
2.互为倒数的两个数符号相同
命题形式3 数轴、相反数、绝对值和倒数
5.【2023.重庆A】8的相反数是( )
A. B.8 C. D.
答案：A
6.【2023.贵州】5的绝对值是( )
A. B.5 C.-5 D.
答案：B
7.【2023.山东烟台】的倒数是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据倒数的定义得：的倒数是，
8.【2023.山东菏泽】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由数轴可知，，，，，，，，，故选项A，B，D中的式子错误，选项C中的式子正确.故选C.
9.【2023.陕西A】如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等.则点B表示的数是_________.
答案：
解析：点B与点A位于原点的两侧,且与原点的距离相等,A,B互为相反数,点A表示,点B表示,故答案为:.
讲解三：科学记数法与近似数
一、科学记数法：把一个数表示成的形式（其中），叫做科学记数法.用科学记数法表示一个数一般分为三步：
步骤 具体操作方法
①确定 ，且整数位数为1
②确定 小数点左移的位数
③表示
【注意】当原数带有计数单位或计量单位时，可以先进行转化，如1万=，1亿=，等.
二、近似数：与准确数很接近但存在一定偏差的数叫做近似数，如.
1.近似数的精确度的表述方法：
①用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等；
②用小数表示，如精确到0.1，精确到0.01等；
③对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg，精确到1m等.
例：（精确到0.1/十分位）；
（精确到0.01/百分位）；
（精确到0.001/千分位）；
（精确到0.0001/万分位）
2.取近似数的方法：通常用四舍五入法
【注意】取近似数的方法是四舍五入法，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似数的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似数小数点后末位数字是0时千万不能省略不写.
命题形式4 科学记数法
10.【2023.北京】截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：,故选B.
11.【2023.山西】山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为( )
A.千瓦时 B.千瓦时
C.千瓦时 D.千瓦时
答案：C
解析：1464亿.
12.【2023.河北】光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于.下列正确的是( )
A. B.
C.是一个12位数 D.是一个13位数
答案：D
讲解四：（算术）平方根与立方根
（算术）平方根与立方根
类别 算术平方根 平方根 立方根
定义 ，叫做的算术平方根 ，叫做的平方根 ，叫做的立方根
表示
的取值范围 任何数
个数 1 2 1
性质 互为相反数 与同号
1.算术平方根是它本身的数有0和1
2.平方根是它本身的数只有0
3.立方根是它本身的数有0和±1
命题形式5 （算术）平方根和立方根
13.【2023.湖北荆州】若，则___________.
答案：2
解析：，，，，，.
14.下列各式中，运算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.，故该选项是错误的；
B.，故该选项是错误的；
C.，故该选项是错误的；
D.，故该选项是正确的；故选D.
讲解五：二次根式
一、二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式.被开方数不含分母且不含能开得尽的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式.
1.二次根式有意义的条件：.
2.表示的意义是非负数的算术平方根.
二、二次根式的性质
1.
2.
3.
4.
5.
三、二次根式的运算法则
类别 法则 举例
乘法
除法
加减法 ①化简成最简二次根式 ②合并同类二次根式
1.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，如与是同类二次根式.
2.判断两个根式是否是同类二次根式时，先要把它们化为最简二次根式.
3.合并同类二次根式与合并同类项类似，“系数”相加，被开方数不变.
命题形式6 二次根式的性质
15.【2023.山东济宁】若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.且
答案：D
解析：对于，根据二次根式有意义的条件可知.因分式的分母为，故，故，x的取值范围为且.
命题形式7 二次根式的运算
16.【2023.河北】若，，则( )
A.2 B.4 C. D.
答案：A
解析：.当，时，原式.
17.【2023.重庆A】估计的值应在( )
A.7和8之间 B.8和9之间
C.9和10之间 D.10和11之间
答案：B
解析：，，.故选B.
18.【2023.湖北荆州】已知，则与k最接近的整数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：B
解析：，，，与k最接近的整数是3.
19.【2023.甘肃兰州】计算：.
解析：原式
.
讲解六：实数的运算
一、实数的加减
加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
1.有理数加法运算的步骤：一定（符号）、二求（加数的绝对值）、三和差（判断绝对值相加还是相减）.
2.减去一个数等于加上这个数的相反数，即，所以有理数的加减混合运算可统称为加法运算.
二、实数的乘除
乘法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
1.任何数与0相乘，都得0.
2.几个不为0的数相乘，积的符号遵循“奇负偶正”的原则.
3.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即
三、实数的乘方
求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”.
2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
四、实数的混合运算
实数的混合运算的顺序：先乘方，在乘除，最后加减；如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算，从左到右进行.
五、运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
在用交换律交换加数（因数）的位置时，要连同其符号一同交换.
六、实数的比较大小
方法 具体内容
数轴比较法 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大
作差比较法 任意数：
绝对值比较法 任意负数绝对值大的数反而小
平方比较法 任意正数：； 任意负数：
作商比较法 任意正数：； 任意负数：； 任意数：（均不为0）
倒数比较法 任意同号的数：
命题形式8 实数大小的比较
20.【2023.江苏扬州】已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意可知，，，，.a，b，c均为正数，.
21.【2023.河南】下列各数中最小的数是( )
A. B.0 C.1 D.
答案：A
命题形式9 实数的混合运算
22.【2023.浙江丽水】计算:.
解析：原式.
23.【2023.云南】计算：.
解析：原式.
24.【2023.山东济宁】计算：.
解析：原式
.
25.【2023.江苏苏州】计算：.
解析：原式
.
26.【2023.北京】计算：.
解析：原式专题一 实数——2024届中考数学一轮复习进阶训练
1.下列说法中，正确的是( )
A.2与互为倒数 B.2与互为相反数
C.0的相反数是0 D.2的绝对值是
2.如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是( )
A.8的立方根
B.
C.5的算术平方根
D.
3.的相反数是( )
A． B． C． D．
4.下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
5.化简的结果为( )
A. B.﹣ C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.定义运算：若，则，例如，则.运用以上定义，计算：( )
A. B.2 C.1 D.4
8.在下列计算中,正确的是( )
A. B. C. D.
9.江西这片红土圣地，到处传颂着革命先烈可歌可泣的英雄故事.近26万人，这是江西有名有姓的革命烈士的总人数，在烽火连天的峥嵘岁月，他们用鲜血和生命铸就了伟大的井冈山精神、苏区精神、长征精神，孕育了融人民族血脉和灵魂的红色基因.26万用科学记数法表示为___________.
10.已知a、b、c在数轴上的位置如所示，则_____________0，_____________0，_____________0.
11.若实数x，y满足，则的值为_________.
12.的绝对值是______.
13.计算：
（1）；
（2）.
14.计算：
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.2与互为相反数，故选项A不正确；
B.2与互为倒数，故选项B不正确；
C.0的相反数是0，故选项C正确；
D.2的绝对值是2，故选项D不正确.
故选：C.
2.答案：D
解析：8的立方根为2，故A选项不符合题意；
，，所以；
因为7的算术平方根为，且，故C选项不符合题意；
，，故D选项符合题意.
故选：D.
3.答案：C
解析:的相反数是，故选C.
4.答案：A
解析：A.，故本选项符合题意；
B.（无意义），故本选项不符合题意；
C.，而，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选A.
5.答案：D
解析：由题意得：，且，
，
.
故选：D.
6.答案：D
解析：A.，原式错误；
B.，原式错误；
C.，原式错误；
D.，正确；
故选：D.
7.答案：A
解析：，，
，，
，
.
故选：A.
8.答案：A
解析：A、,正确,符合题意;
B、,原计算错误,不符合题意;
C、,原计算错误,不符合题意;
D、,原计算错误,不符合题意.
故选: A.
9.答案：
解析：26万，
故答案为：.
10.答案：<；>；<
解析：根据题意，得：
，，，.
可得：，，，.
可得：.
故答案为：<；>；<.
11.答案：
解析：，
，，
即，，
.
12.答案：
解析：，
，
.
故答案为.
13.解析：（1）
.
（2）
.
14.解析：原式
.
(
第
1
页 共
六
页
)
