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专题四 一次方程（组）
考情分析
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
一次方程（组）及其解法 1.一元一次方程的解法 ☆☆ 在本专题中，一次方程（组）的解法和含参问题常以填空题和选择题的形式考查，一次方程（组）的应用一般与不等式和函数结合，重点考查方案设计等实际问题
2.二元一次方程组的解法 ☆☆☆ 3.二元一次方程组的含参问题 ☆☆ 一次方程（组）的实际应用 4.一元一次方程的实际应用 ☆☆ 5.二元一次方程组的实际应用 ☆☆☆ 讲解一：
一元一次方程及其解法
知识复习
一、等式的性质
类别 具体内容 表示
性质1
性质2
性质3
等式两边加（减）同一个数（式子），结果仍相等
等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等
等式两边同时乘方（开方），结果仍相等
知识复习
二、一元一次方程的定义：只含有一个未知数（一元），未知数的次数都
是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程
1.方程：含有未知数的等式
2.未知数的系数不为0
知识复习
三、一元一次方程的解法
使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步骤如下：
①去分母
具体做法
变形依据
注意事项
在方程两边同乘各分母的最小公倍数.当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数
等式的性质2
（1）不要漏乘不含分母的项
（2）分子是一个多项式，去分母后加上括号
知识复习
三、一元一次方程的解法
②去括号
具体做法
变形依据
注意事项
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
分配律，去括号法则
不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
知识复习
三、一元一次方程的解法
③移项
具体做法
变形依据
注意事项
把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧
移项法则（等式的性质1）
移项要变号，不移项不要变号
知识复习
三、一元一次方程的解法
④合并同类项
具体做法
变形依据
注意事项
合并同类项法则
（1）系数相加
（2）字母及指数不变
知识复习
三、一元一次方程的解法
⑤系数化为1
具体做法
变形依据
注意事项
等式的性质2
（1）除数不为0
（2）不要把分子分母颠倒
命题形式1 一次方程（组）及其解法
【解析】
C
命题形式1 一次方程（组）及其解法
【解析】
C
命题形式1 一次方程（组）及其解法
【解析】
1
命题形式1 一次方程（组）及其解法
【解析】
讲解二：
二元一次方程（组）及其解法
知识复习
一、二元一次方程（组）的相关概念
二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组
共含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组
二元一次方程组的解
二元一次方程组中两个方程的公共解
三元一次方程
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
三元一次方程组
共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组
知识复习
一、二元一次方程（组）的相关概念
1.在二（三）元一次方程中，未知数的系数都不等为0.
3.在二（三）元一次方程组中，一共含有两（三）个未知数，并非每个方程都必须含有两（三）个未知数.
知识复习
二、二（三）元一次方程组的解法：基本思路是消元
代入消元法
将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数
加减消元法
①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数（相同）时，把两个方程相加（相减）消去其中一个未知数；
②当系数既不互为相反数也不相同时，需先将两个方程适当变形（将一组未知数的系数的绝对值化为相同）后，再通过相加（相减）消去其中一个未知数
知识复习
二、二（三）元一次方程组的解法：基本思路是消元
1.书写方程组的解时，通常用“{”把各个未知数的值合写在一起.
2.检验一组数是否为方程组的解时，只需将这组数同时代入方程组即可.
命题形式2 二元一次方程组的解法
【解析】
命题形式2 二元一次方程组的解法
【解析】
命题形式2 二元一次方程组的解法
【解析】
命题形式3 二元一次方程组的含参问题
D
【解析】
命题形式3 二元一次方程组的含参问题
D
【解析】
命题形式3 二元一次方程组的含参问题
D
【解析】
命题形式3 二元一次方程组的含参问题
1
【解析】
讲解三：
利用一次方程（组）解决生活实际问题
知识复习
一、配套问题
1.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
2.生产配套问题中的基本相等关系：加工（或生产）的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比.
3.调配问题中的基本相等关系：指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人（或物）数+乙人（或物）数=总人（或物）数.
知识复习
一、配套问题
【注意】
知识复习
二、工程问题
2.找相等关系的方法与形成问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个设元，那么就从第三个量找相等关系列方程.
【注意】
当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，统称把总工作量
看做整体1.
知识复习
三、销售问题
1.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率.
2.相关的相等关系
【注意】
当售价相同，盈利率与亏损率也相同时，其结果一定是亏损，因为盈利商品的
进价一定小于售价，亏损商品的进价一定大于售价，而盈利的钱数=盈利商品
的进价×盈利率，亏损的钱数=亏损商品的进价×亏损率，故亏损的钱数大于
盈利的钱数.
知识复习
四、积分问题
在比赛积分问题中，基本相等关系有：参赛场数=胜场数+负场数+平均数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【注意】
（1）比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.
（2）在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确.
（3）所谓比赛中的积分问题是指一种题目类型，其问题情境不一定是比赛.
知识复习
五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系
（2）设：恰当地设未知数
（3）列：依据题中的等量关系列方程组
（4）解：解方程组，求出未知数的值
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义
（6）答：写所答
知识复习
五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤
【注意】
找等量关系的方法
（1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
（2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
（3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
（4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
A
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
D
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
【解析】
命题形式5 二元一次方程组的实际应用
【解析】
C
命题形式5 二元一次方程组的实际应用
【解析】
B
命题形式5 二元一次方程组的实际应用
【解析】
谢谢观看专题四 一次方程（组）——2024届中考数学一轮复习进阶讲义
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
一次方程（组）及其解法 1.一元一次方程的解法 ☆☆ 在本专题中，一次方程（组）的解法和含参问题常以填空题和选择题的形式考查，一次方程（组）的应用一般与不等式和函数结合，重点考查方案设计等实际问题
2.二元一次方程组的解法 ☆☆☆
3.二元一次方程组的含参问题 ☆☆
一次方程（组）的实际应用 4.一元一次方程的实际应用 ☆☆
5.二元一次方程组的实际应用 ☆☆☆
讲解一：一元一次方程及其解法
一、等式的性质
类别 具体内容 表示
性质1 等式两边加（减）同一个数（式子），结果仍相等 如果，那么
性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果，那么或
性质3 等式两边同时乘方（开方），结果仍相等 如果，那么或
二、一元一次方程的定义：只含有一个未知数（一元），未知数的次数都是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程.
1.方程：含有未知数的等式
2.未知数的系数不为0.
三、一元一次方程的解法
使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步骤如下：
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数.当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数 等式的性质2 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个多项式，去分母后加上括号
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则（等式的性质1） 移项要变号，不移项不要变号
合并同类项 把方程化为（其中）的形式 合并同类项法则 （1）系数相加 （2）字母及指数不变
系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 等式的性质2 （1）除数不为0 （2）不要把分子分母颠倒
命题形式1 一次方程（组）及其解法
1.【2023.海南】若代数式的值为7，则x等于( )
A.9 B. C.5 D.
答案：C
解析：代数式的值为7，
，解得，故选C.
2.若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：关于x的一元一次方程的解为，
关于y的一元一次方程的解为，
解得，故选C.
3.【2023.湖南怀化】定义新运算：，其中a，b，c，d为实数.例如：.如果，那么__________.
答案：1
解析：，，即，解得.
4.解方程：
（1）；
（2）
答案：（1）
（2）
解析：（1），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得x=5；
（2），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得.
讲解二：二元一次方程（组）及其解法
一、二元一次方程（组）的相关概念
类别 定义
二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组
二元一次方程组的解 二元一次方程组中两个方程的公共解
三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程
三元一次方程组 共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组
1.在二（三）元一次方程中，未知数的系数都不等为0.
2.含有未知数的项的次数都是1，不是未知数的指数都是1，如不是二元一次方程.
3.在二（三）元一次方程组中，一共含有两（三）个未知数，并非每个方程都必须含有两（三）个未知数.
二、二（三）元一次方程组的解法
解二（三）元一次方程组的基本思路是消元.
类别 具体内容
代入消元法 将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数
加减消元法 ①当方程组中同一个未知数的系数互为相反数（相同）时，把两个方程相加（相减）消去其中一个未知数； ②当系数既不互为相反数也不相同时，需先将两个方程适当变形（将一组未知数的系数的绝对值化为相同）后，再通过相加（相减）消去其中一个未知数
1.书写方程组的解时，通常用“{”把各个未知数的值合写在一起.
2.检验一组数是否为方程组的解时，只需将这组数同时代入方程组即可.
命题形式2 二元一次方程组的解法
5.【2023.江苏徐州】解方程组
解析：整理，得
，得③，
，得，解得，
将代入①，得，
故原方程组的解为
6.【2023.湖南常德】解方程组：
解析：，得，③
，得，解得.
将代入①，得，解得，
故是原方程组的解.
7.【2023.江苏连云港】解方程组：
答案：
解析：①+②，得，解得.
将代入①，得，解得.
原方程组的解为
命题形式3 二元一次方程组的含参问题
8.【2023.四川南充】关于x，y的方程组的解满足，则的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案：D
解析：由，得，.，，，.
9.已知关于x，y的方程组，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为( )
A. B.1 C.或3 D.或
答案：D
解析：，
①+②得，
解得，
x为整数，m为整数，
，
m的值为或.故选D.
10.两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出乙同学因把c写错了解得则的值为( )
A.3 B.0 C.1 D.7
答案：D
解析：把代入方程组得把代入，得
，即，联立得
解得由，得，则.故选D.
11.已知关于x，y的二元一次方程组则的值是__________.
答案：1
解析：
①-②×2，得，
解得，
把代入②，得
，
解得，
故.
讲解三：利用一次方程（组）解决生活实际问题
一、配套问题
1.在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
2.生产配套问题中的基本相等关系：加工（或生产）的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比.
3.调配问题中的基本相等关系：指从甲处调一些人（或物）到乙处，使之符合一定的数量关系，或从第三方调入一些人（或物）到甲、乙两处，使之符合一定的数量关系，其基本相等关系为：甲人（或物）数+乙人（或物）数=总人（或物）数.
【注意】
生产配套问题的关键是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出现，则生产总量的比例等于一套的比例；若配套的方式给出数量，如件A产品与件B产品配套，则相等关系是“A产品的件数=B产品的件数”
二、工程问题
1.基本关系式：，，.
2.找相等关系的方法与形成问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，从另一个设元，那么就从第三个量找相等关系列方程.
【注意】
1.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，统称把总工作量看做整体1.
2.常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和
三、销售问题
1.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量：进价、标价、售价、折扣、利润、利润率.
2.相关的相等关系
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【注意】
当售价相同，盈利率与亏损率也相同时，其结果一定是亏损，因为盈利商品的进价一定小于售价，亏损商品的进价一定大于售价，而盈利的钱数=盈利商品的进价×盈利率，亏损的钱数=亏损商品的进价×亏损率，故亏损的钱数大于盈利的钱数.
四、积分问题
在比赛积分问题中，基本相等关系有：参赛场数=胜场数+负场数+平均数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
【注意】
（1）比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.
（2）在积分规则中，一般规律为：胜场积分>平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确.
（3）所谓比赛中的积分问题是指一种题目类型，其问题情境不一定是比赛.
五、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系
（2）设：恰当地设未知数
（3）列：依据题中的等量关系列方程组
（4）解：解方程组，求出未知数的值
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义
（6）答：写所答
【注意】
找等量关系的方法
（1）抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
（2）根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
（3）挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
（4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系
命题形式4 一元一次方程组的实际应用
12.【2023.四川成都】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何 其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺 设木长x尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：分析如下：
题干信息 绳长/尺
用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺
故可列方程为，即.
13.【2023.江苏连云港】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意可知，快马所行的路程和慢马所行的路程相等，故可列方程为.故选D.
14.【2023.北京】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.
某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
答案：边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
解析：天头长与地头长的比为，
可设天头长为，地头6x cm长为4x cm，
边的宽为x cm.
由题意，得，
解得，
.
答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
15.【2023.安徽】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
答案：40元，50元
解析：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，则乙地该商品的销售单价为元.
根据题意，得，
解得，
则.
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元.
16.【2023.河南】某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由.
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围.
答案：（1）活动一更合算
（2）400元
（3）或时，活动二更合算
解析：（1）选择活动一更合算.
理由：
选择活动一需付款：（元），
选择活动二需付款：（元）.
，选择活动一更合算.
（2）设一件这种健身器材的原价为x元.
当时，选择活动一和选择活动二的付款金额不会相等.
当时，根据题意，得，解得.
答：一件这种健身器材的原价为400元.
（3）易知.分两种情况讨论：
①若，易知当时，选择活动二比选择活动一更合算.
②若，选择活动一，购买价格为0.8a元，选择活动二，购买价格为元，
令，解得，
故当时，选择活动二比选择活动一更合算.
综上，当或时，选择活动二比选择活动一更合算.
17.【2023.河北】某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1 -2
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值.
答案：（1）珍珍第一局的得分为6分
（2）
解析：（1）根据题意，得（分），
故珍珍第一局的得分为6分.
（2）第二局得分比第一局提高了13分，
第二局的得分为（分）.
根据题意，得，
解得.
18.【2023.山东临沂】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金.
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
答案：（1）这台M型平板电脑的价值为2100元
（2）她应获得元的报酬
解析：（1）设这台M型平板电脑的价值为x元，
由题意，得，
解得.
答：这台M型平板电脑的价值为2100元.
（2）由题意，得（元）.
答：她应获得元的报酬.
命题形式5 二元一次方程组的实际应用
19.【2023.湖南衡阳】《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔.依题意，可列方程组为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：已知有x只鸡，y只兔，根据“上有三十五头”，可得；根据“下有九十四足”，一只鸡有两足，一只兔有四足，可得.故可列方程组为故选C.
20.【2023.四川达州】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(‘两’为我国古代货币单位)；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何.”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得，根据“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可得.故选B.
21.【2023.吉林】2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元；如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元.分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格.
答案：每箱A种鱼700元，每箱B种鱼300元
解析：设每箱A种鱼x元，每箱B种鱼y元，
根据题意，得
解得
答：每箱A种鱼700元，每箱B种鱼300元.专题四 一次方程（组）——2024届中考数学一轮复习进阶训练
1.关于x的方程的解的情况如下：当时，方程有唯一解；当，时，方程无解；当，时，方程有无数解.若关于x的方程有无数解，则的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.以上答案都不对
2.相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他摆宴席请客，他看到还有几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”来了的客人听了，心想难道我们是不该来的，于是有三分之一的客人走了，他一看十分着急，又说：“不该走的倒走了”剩下的人一听，是我们该走啊!又有剩下的五分之三的人离开了，他着急地一拍大腿，连说：“我说的不是他们”于是最后剩下的四个人也都告辞走了，聪明的你能知道开始来了几位客人吗？( )
A.20位 B.19位 C.15位 D.11位
3.已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为( )
A. B. C. D.
4.规定，如.若x，y同时满足，，则x，y的值为( )
A. B. C. D.
5.若，，则的值为( )
A.4 B. C. D.
6.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是( )
A. B. C. D.
7.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方.图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点处，比大.设和的度数分别为和，可列方程组为( )
A. B. C. D.
9.元旦期间，丹尼斯为了促销商品，特推出两种消费券：A券：满80元减20元；B券：满100元减30元，即一次购物大于等于80元、100元，付款时分别减20元、30元.小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款170元，则所购商品的标价是_____元.
10.若关于x，y的方程组的解满足，则m的值是________.
11.《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来.某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为_____里小时.
12.我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为_____.
13.“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用1120元购买20个体育用品，备选体育用品及单价如表：
备用体育用品 足球 篮球 排球
单价（元） 80 60 40
（1）若1120元全部用来购买足球和排球共20个，求足球和排球各买多少个？
（2）若学校先用一部分资金购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余20元，求m的值.
14.古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇.唐县中学高一年级同学开启了期盼已久的清北研学活动，下面是王老师和小华、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元.”
小华：“高二年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到清北参观，一天的租金共计5100元.”
小萱：“如果高一年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”.
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的高一年级师生共有( )人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案 哪一种租车最省钱
答案以及解析
1.答案：B
解析：，
，
因为关于的方程有无数解，
所以，，
解得，，
所以.
故选B.
2.答案：C
解析：设开始来了x位客人，
根据题意得，
解得，
开始来了15位客人，
故选：C.
3.答案：C
解析：由题意得解得
因为方程组与方程组的
解相同，所以把代入方程组得
解得故选C.
4.答案：C
解析：因为，，所以由②得，③把③代入①，得，
解得.把代入③，得，
所以故选C.
5.答案：A
解析：因为，
所以，
因为，
所以，
联立方程组可得
解方程组可得，
所以，
故选：A.
6.答案：B
解析：根据题意得故选B.
7.答案：D
解析：因为每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，所以左下角的数为，所以最中间的数为或，右下角的数为或，所以可列方程组解得所以
，故选D.
8.答案：D
解析：由折叠可知.由正方形性质知，所以.又因为比，所以.故可列方程组为故选为D.
9.答案：110或95
解析：设所购商品的标价是x元.
当时，，
解得：；
当时，，
解得：.
所购商品的标价是95或110元.
故答案为：95或110.
10.答案：
解析：得，解得，所以，解得.
11.答案：40
解析：戴宗顺风行走的速度为：（里小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里小时），
设戴宗的速度为x里小时，风速为y里小时，
由题意得：，
解得：，
设戴宗的速度为40里小时，
答：戴宗的速度为40里小时.
故答案为：40.
12.答案：
解析：设甲有羊x只，乙有羊y只.
“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，
；
“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，
.
联立两方程组成方程组.
故答案为：.
13.答案：（1）购买足球8个，排球12个
（2）m的值为10
解析：（1）设购买足球x个，则购买排球个，
依题意得：，
解得：，
.
答：购买足球8个，排球12个.
（2）我市某校计划用1120元购买20个体育用品，购买了m个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，
购买足球和排球的数量均为个.
依题意得：
解得：.
答：m的值为10.
14.答案：（1）420
（2）客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元
（3）共有3种租车方案，租车方案1最省钱
解析：（1）根据题意得：，解得：，
(人)
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据题意得：
解得：.
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
（3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，
根据题意得：，
∴.
又∵m，n均为自然数，
∴或 或
∴共有3种租车方案，
方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为（元）；
方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为（元）；
方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为（元）.
∵，
∴租车方案1最省钱.
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