专题十二 图形的初步认识——2024届中考数学一轮复习进阶讲义
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
线段与角 1.直线和线段 ☆ 本专题在中考中的考查难度不大，其中线段与角、相交线与平行线主要以选择题和填空题的形式出现，要求学生理解基本几何图形的有关知识，并且具备一定的应用意识，体现了数形结合的思想
2.角的换算 ☆
3.余角和补角 ☆
4.角平分线 ☆☆
相交线与平行线 5.相交线 ☆
6.平行线 ☆☆☆
命题与定理 7.命题与定理 ☆
讲解一：线段与角
直线与线段
基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）； （2）两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）
两点间的距离 连接两点间的线段的长度.图中线段的长度为，两点间的距离
线段的和与差 在线段上取一点，则有： ；；
线段的中点 点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点，几何语言：
垂线 （1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.图中点与直线上各点连接的所有线段中，最短，点到直线的距离是的长度
角与角平分线
量角器的使用 量角器的中心与角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一边对齐，做到两对齐后角的另一边与刻度线对应的度数
度、分、秒的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=
余角和补角 互余 互为余角
应用：同角（等角）的余角相等
互补 互为补角
应用：同角（等角）的补角相等
角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
命题形式1 直线和线段
1．【2022.广西柳州】如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
答案：B
解析：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选B．
2．【2023.宁夏】如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．
答案：
解析：∵点是的中点，线段，
∴，
∴点表示的数是：；
故答案为：．
命题形式2 余角和补角
3．【2023.湖南】《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
答案：//．
解析：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
命题形式3 角平分线
4．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
答案：C
解析：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C
讲解二：相交线与平行线
相交线与平行线
对顶角 性质：对顶角相等.如与，与，与，与
邻补角 性质：互为邻补角的两个角之和等于180°.如与，与，与等
三线八角 （1）同位角：与，与，与，与. （2）内错角：与，与. （3）同旁内角：与，与
基本事实 （平行公理） 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的判定和性质 （1）同位角相等两直线平行.如图； （2）内错角相等两直线平行.如图，； （3）同旁内角互补两直线平行.如图，
两平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离
性质：两条平行线之间的距离处处相等
同位角、内错角和同旁内角的识别
角的名称 位置特征 图示 结构特征
同位角 在截线同侧，同在两条被截线的同旁（相同位置） 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）
内错角 在截线两侧（交错），且在两条被截线之间 形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）
同旁内角 在截线同侧，且在两条被截线之间 形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）
平行线中的拐点模型
类别 辅助线作法 图示 结论
铅笔模型 过点E作
锯齿模型 过点C作
牛角模型 过点P作
锄头模型 --
命题形式4 相交线
5．【2022.青海】数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
答案：D
解析：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
6．【2023.青海】如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵，
∴，
故选：A．
7．【2023.河南】如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
命题形式5 平行线
8．【2023.山东临沂】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
答案：C
解析：∵在同一平面内，过直线外一点作的垂线，即，
又∵过作的垂线，即，
∴，
∴直线与的位置关系是平行，
故选：C．
9．【2023.辽宁】如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．48° B．58° C．68° D．78°
答案：B
解析：∵，
∴
∵
∴
故选：B
10．【2023.西藏】如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵，，
∴，
由题可知：，
∴，
∴．
故选：C．
11．【2023.广东】如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵，，
∴；
故选D．
12．【2023.陕西】如图，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：如图，
，
，
∵，
，，
，
，
，
．
故选：A．
13．【2023.湖北鄂州】如图，直线，于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：延长，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
14．【2023.山东威海】某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
答案：
解析：，，
，
，
，
，
故答案：．
讲解三：命题与定理
命题的相关概念
判断一件事情的语句叫做命题，数学中常可以写成“如果······那么······”的形式.命题的相关概念如下：
类别 定义 举例
真命题 当条件成立时，结论一定成立的命题 命题1：如果，那么
假命题 当条件成立时，结论不一定成立的命题 命题2：如果，那么
互逆命题 在两个命题中，若一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称它们为互逆命题 命题1与命题2
分析：①互逆的两个命题的真假没有直接关系，若原命题为真命题，则其逆命题不一定为真命题；②公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是真命题的依据
初中数学九条基本事实
（1）两点确定一条直线
（2）两点之间，线段最短
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
（8）三边分别相等的两个三角形全等
（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
真假命题的识别方法
（1）判断一个命题是真命题，通常是由已知条件出发，经过一步步的推理，最后推出正确结论
（2）要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例即可
命题形式6 命题与定理
15．【2023.湖南】我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
答案：A
解析：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
16．【2023.四川达州】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
答案：C
解析：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、设，
∵三角形内角和为，
∴，
∴
∴，则为锐角三角形，
∴该选项为假命题，不符合题意．
故选：C．(共34张PPT)
专题十二 图形的初
步认识
考情分析
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
线段与角 1.直线和线段 ☆ 本专题在中考中的考查难度不大，其中线段与角、相交线与平行线主要以选择题和填空题的形式出现，要求学生理解基本几何图形的有关知识，并且具备一定的应用意识，体现了数形结合的思想
2.角的换算 ☆ 3.余角和补角 ☆ 4.角平分线 ☆☆ 相交线与平行线 5.相交线 ☆ 6.平行线 ☆☆☆ 命题与定理 7.命题与定理 ☆ 讲解一：
线段与角
知识复习
一、直线与线段
知识复习
一、直线与线段
知识复习
二、角与角平分线
命题形式1 直线和线段
B
命题形式1 直线和线段
命题形式2 余角和补角
命题形式3 角平分线
C
讲解二：
相交线与平
行线
知识复习
相交线
知识复行线
知识复行线
知识复习
同位角、内错角和同旁内角的识别
知识复行线中的拐点模型
命题形式4 相交线
D
命题形式4 相交线
A
B
命题形式4 相交线
命题形式5 平行线
C
命题形式5 平行线
B
命题形式5 平行线
C
命题形式5 平行线
D
命题形式5 平行线
A
命题形式5 平行线
B
命题形式5 平行线
60
讲解三：
命题与定理
知识复习
命题的相关概念
知识复习
初中数学九条基本事实
知识复习
真假命题的识别方法
命题形式6 命题与定理
A
命题形式6 命题与定理
C
命题形式6 命题与定理
C
谢谢观看专题十二 图形的初步认识——2024届中考数学一轮复习进阶训练
1.下列说法中正确的选项是( )
A.连接两点的线段叫做两点之间的距离
B.如果，那么与互为余角
C.用一个平面去截三棱柱，截面不可能是四边形
D.A、B、C三点在同一直线上，若，则点C一定是线段的中点
2.如图，已知直线，平分，交于点，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，是的平分线，，若，则的度数为( )
A.17.5° B.35° C.55° D.70°
4.如图，将直尺与含角的直角三角形叠放在一起，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳.则此时的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，，，则，，之间的关系是( )
A. B.
C. D.
7.如图，给出下列条件.
①；
②；
③，且；
④其中，能推出的条作为( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
8.如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是( )
A.18° B.126° C.18°或126° D.以上都不对
9.光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象.如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处射线X是光线的延长线，，，则的度数为_____.
10.已知命题：①如果，那么；②如果，那么；③等角的余角相等；④两个相等的角是对顶角.其中是假命题的序号有______.
11.某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行.已知，则______.
12.如图，，平分，平分，若设，则_____度（用x，y的代数式表示），若平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则_____度.
13.如图，，，平分，，.求的度数.
14.如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，，.
(1)若，求的度数；
(2)试猜想与的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：A.连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故选项错误，不符合题意；
B.如果，那么与互为余角，故选项正确，符合题意；
C.用一个平面去截三棱柱，当用垂直底面的平面去截三棱柱可得到截面为四边形，故选项错误，不符合题意；
D.A、B、C三点在同一直线上，若，则点C不一定是线段的中点，故选项错误，不符合题意.
故选：B.
2.答案：C
解析：∵，，
∴，，
∵BE平分∠ABC，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
3.答案：B
解析：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，故B正确.
故选：B.
4.答案：B
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B.
5.答案：A
解析：过C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：A.
6.答案：C
解析：如图，分别过C、D作的平行线和，
，
，
，，，
，
又，
，
，
即.
故选：C.
7.答案：C
解析：①∵，
∴，正确，符合题意；
②∵，
∴，（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意；
③∵，，
∴，
∴，正确，符合题意；
④∵，
∴，由同位角相等，两直线平行可得，正确，符合题意；
故能推出的条件为①③④.
故选C.
8.答案：C
解析：与的两边分别平行，
与相等或互补，
设，
比的3倍少，
若与相等，则，解得：，
若与互补，则，解得：，
的度数是或.
故选：C.
9.答案：
解析：∵，
∴.
∵,
∴.
故答案为：.
10.答案：①②④
解析：如果|x|=x，那么x≥0，故①是假命题；
如果a2=9，那么a=3或a=-3，故②是假命题；
等角的余角相等，故③是真命题；
两个相等的角不一定是对顶角，故④是假命题；
∴假命题有：①②④，
故答案为：①②④.
11.答案：
解析：∵与平行，
∴，
∵，
∴，
∵都与地面l平行，
∴，
∴，
故答案为：.
12.答案：；
解析：如图，过点、作直线，
.
又，
.
.
；
过点作直线，
平分，平分，
，，
同理：，
以此类推：，，……，.
故答案为：.
13.答案：
解析：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
14.答案：(1)30°
(2)，理由见解析
(3)或60° ，理由见解析
解析：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
，
∴；
（3）当或60°时，.
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当时，.
(
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