专题七 不等式（组）——2024届中考数学一轮复习进阶讲义
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 ☆ 本专题从不等式（组）的解法和含参问题的角度命题，多以选择题和填空题的形式出现，解法题要求学生利用不等式（组）解决实际问题，常与函数和方程结合考查，体现了数学运算的核心素养.
2.解不等式（组） ☆☆☆
3.不等式（组）解集的表示 ☆
4.不等式（组）的含参问题 ☆☆
5.不等式（组）的特殊解 ☆
不等式（组）的实际应用 6.不等式（组）的实际应用 ☆☆☆
讲解一：不等式及其性质
一、不等式的相关概念
1.不等式：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式.
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个.
3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.
二、不等式的性质
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果， 那么
不等式的性质3 不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果， 那么
【注意】两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
命题形式1 不等式的性质
1.【2023.四川德阳】如果，那么下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A、若，则，故A不符合题意；
B、若，则，故B不符合题意；
C、若，则，故C不符合题意；
D、若，则，正确，故D符合题意.
故选D.
2.【2023.浙江嘉兴】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
，，故选项B不符合题意；
，，，故选项C不符合题意；
，，，故选项D符合题意；
故选D.
3.【2023.北京】已知，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
故选B.
4.【2023.山东临沂】在实数a，b，c中，若，，则给出下列结论：
①，
②，
③，
④.
正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A
解析：，，故结论①错误；，，，则，又，，，故结论②③错误；，，，，即，，故结论④正确.故选A.
讲解二：一元一次不等式及其解法
一、一元一次不等式的概念
1一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式必须同时满足三个条件：
（1）不等式的两边都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数是1.
【注意】含有一个未知数隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知（是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了这个条件.
二、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为（）或（）的形式.解一元一次不等式的步骤如下表：
步骤 具体做法 依据 注意事项
①去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的性质2，3 （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.
②去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 分配律、去括号法则 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号.
③移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的性质1 （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变.
④合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则
⑤系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为（）或（）的形式. 不等式的性质2，3 当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变.
【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.
讲解三：一元一次不等式组及其解法
一、一元一次不等式组的相关概念
一元一次不等式组：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组，如
【注意】
（1）一元一次不等式组必须同时满足三个条件：
①每个不等式都是一元一次不等式；
②含有同一个未知数；
③不等式的个数不少于2.
（2）不等式组一般用“{”连接，有的也可以用形如“”方式表示.
二、不等式组的解集
1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
【注意】
（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.
（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.
2.一元一次不等式组的解集有四种情况：
不等式组
不等式组的解集 无解
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找
三、一元一次不等式组的解法
1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集
命题形式2 解不等式（组）
5.【2023.辽宁阜新】不等式的解集是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，移项，合并同类项得:，未知数系数化为1得:，故B正确.故选B.
6.【2023.陕西A】解不等式：.
答案：
解析：，
，
，
，
.
7.【2023.辽宁丹东】不等式组的解集是_______.
答案：
解析：，
由①可得：，
由②可得：，
原不等式组的解集为，
故答案为：.
命题形式3 不等式（组）解集的表示
8.【2023.辽宁沈阳】不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：不等式的解集在数轴上表示为
故选A.
9.【2023.湖北宜昌】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：原不等式两边同乘3，得，移项，得，解得，故选D.
10.【2023.湖北襄阳】如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
故选D.
11.【2023.湖南长沙】不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解①，得，解②，得，故该不等式组的解集是.故选A.
12.【2023.湖北武汉】解不等式组请按下列步骤完成解答.
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是________.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1），
.
故答案为：.
（2），，.
故答案为：.
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）由图可知原不等式组的解集是.
故答案为：.
13.【2023.江苏扬州】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
答案：不等式组的解集为，数轴见解析
解析：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以该不等式组的解集为.
该不等式组的解集在数轴上表示如下.
命题形式4 不等式（组）的含参问题
14.【2023.湖北黄石】若实数a使关于x的不等式组的解集为，则实数a的取值范围为_______.
答案：
解析：，
由①得，；由②得，；
解集为，
，
故答案为：.
15.【2023.四川宜宾】若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为___________.
答案：2或
解析：由①得，由②得，不等式组的解集为.
因所有整数解的和为14，故可分以下2种情况：
i.整数解为5，4，3，2，此时，，又a为整数，；
ii.整数解为5，4，3，2，1，0，-1，，，又a为整数，.
综上所述，整数a的值为2或.
讲解四：一元一次不等式（组）的应用
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解.
列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即：
步骤 注意事项
审 认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系. 抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等
设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同，并且单位要统一
解 解不等式，求出其解集 符号和系数不要出错
验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义
答 写出答. 应把表示不等关系的文字补上
命题形式5 不等式（组）的实际应用
16.【2023.湖南怀化】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.
（1）求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人.
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？
答案：（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人
（2）共有3种租车方案：
方案一：租用A种客车18辆，租用B种客车7辆；
方案二：租用A种客车19辆，租用B种客车6辆；
方案三：租用A种客车20辆，租用B种客车5辆
（3）租用A种客车20辆，租用B种客车5辆才最合算
解析：（1）设原计划租用A种客车x辆，
根据题意，得，
解得.
（人）.
答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人.
（2）设租用A种客车a辆，则租用B种客车辆，
根据题意，得
解得.
a为正整数，，
共有3种租车方案：
方案一：租用A种客车18辆，租用B种客车7辆；
方案二：租用A种客车19辆，租用B种客车6辆；
方案三：租用A种客车20辆，租用B种客车5辆.
（3）A种客车租金为每辆220元，B种客车租金为每辆300元，
B种客车越少，费用越低，
故租用A种客车20辆，租用B种客车5辆才最合算.
17.【2023.山东济宁】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
答案：（1）A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
（2）共有以下三种方案.
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个.
方案三所需购买总费用最少
解析：（1）设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为万元.
由题意可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解.
.
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.
（2）设购买总费用为w万元，购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩个.
由题意可得，.
由题意知，解得.
a为整数，
a可取14，15，16，
共有以下三种方案.
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个.
，
w随着a的增大而减小.
故方案三所需购买总费用最少.专题七 不等式（组）——2024届中考数学一轮复习进阶训练
1.下列说法不正确的是( )
A.由，得
B.由得
C.不等式的解一定是不等式的解
D.若，则（c为有理数）
2.解不等式，开始出现错误的步骤是( )
①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项及系数化为1，得.
A.① B.② C.③ D.④
3.已知关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.一种新型笔记本售价2.3元/本，小华计划用班费230元购买这种笔记本100本供班级使用.购买时恰逢店家促销活动：如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.25元/本.则小华最多可买多少本？( )
A.100 B.101 C.102 D.103
5.某公司春节为员工配发A，B两种礼盒，在准备配发的过程中发现：A礼盒刚好每人1个；若每人发放B礼盒5个，则多出17个B礼盒；若每人发放B礼盒7个，则有一人可分得B礼盒但不足3个.这批礼盒共有( )
A.55个 B.83个 C.72个 D.92个
6.已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，2，若m，n为整数，则的值是( )
A.5 B.4 C.5或6 D.4或7
7.已知关于x的不等式组，至少有3个正整数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若整数a使关于x的不等式组至少有3个整数解，且使关于y，z的方程组的解为非负整数，那么满足条件的所有整数a的和是( )
A. B. C. D.
9.已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为_____________.
10.在学校读书节活动中,老师把一些图书分给勤奋小组的同学们.如果每人分5本,那么剩余6本;如果每人分7本,那么最后一人虽分到书但不足7本,问这些图书最多有多少本 设这些图书有x本,则可列不等式组为________________.
11.若关于x不等式组若无解，则a的取值范围______________.
12.关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______________.
13.已知：点O、M在数轴上的位置如图所示，O为原点，点M对应的数是90.点A从点O出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点M运动，同时点B从点M出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点O运动（当点B运动到点O时，点A、B均停止运动）.设运动的时间为t秒.
（1）若A、B两点相遇，求t的值；；
（2）若A、B两点相距18个单位长度，求t的值；
（3）若在A、B相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点A、点B），求t的取值范围.
14.若关于x,y的方程组的解,使不等式组成立,求m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：A.由，得，正确，不符合题意；
B.由得，正确，不符合题意；
C.不等式的解一定是不等式的解，正确，不符合题意；
D.若，当c=0时，（c为有理数），故D选项错误，符合题意，
故选：D.
2.答案：D
3.答案：B
解析：解不等式，得：，
不等式只有两个正整数解，
这两个正整数解为1、2，
则，
解得，
故选：B.
4.答案：C
解析：小华可买x本，依题意得：
，
，
小华最多可买102本，
故选：C.
5.答案：B
解析：设该公司共有员工x人，则共有B礼盒个.
由题意，得解得.
为正整数，，
这批礼盒共有（个）.
6.答案：C
解析：解不等式组得，
整数解是，0，1，2，
，，
解得：，，
又m，n为整数，
或，，
当，时，；
当，时，.
故选：C.
7.答案：C
解析：，
解不等式①，得，
，
解不等式②，得，
，
不等式组的解集为，
不等式组至少有3个正整数解，
，
，
，
故选：C.
8.答案：C
解析：不等式组解集为：，
不等式组至少有3个整数解，
，
解得，
解方程组，得，
关于y，z的方程组的解为非负整数，，
当时，解得，此时（不合题意，舍去），
当时，解得，此时；
当时，解得，此时（不合题意，舍去）；
，
满足条件的所有整数a的和为，
故选：C.
9.答案：
解析：不等式的解集为
a的取值范围为：
故答案为：.
10.答案：
解析:设这些图书有x本,则最后一人分到
根据题意得:.
故答案为:.
11.答案：
解析：不等式整理得：，
不等式组无解，
，
解得：.
故答案为：.
12.答案：4
解析：解不等式，得：，
不等式组有解，
不等式组的解集为：，
该不等式组至多有5个整数解，
该不等式组的整数解为：1，0，，，，
，
，
解分式方程，
得：，且，
该分式方程有正整数解，且，
则，
即满足条件的所有整数a的和为：4，
故答案为：4.
13.答案：（1）10秒
（2）8秒或12秒
（3）
解析：（1）设经过后，点A、B相遇，
依题意，得，
解得：.
答：经过10秒钟后，点A、B相遇.
（2）设经过（），A、B两点相距，依题意，
得：或，
解得，或.
综上所述，或.
答：经过8秒或12秒后，A、B两点相距.
（3）设这10个整数为、、、、、，
则，
解得：，
有解，
①、②有公共部分，
，
解得：，
为整数，
，
将代入①、②，得：，
.
14.答案：
解析:解方程组,
得,
把代入不等式组,
得,
解得,
所以m的取值范围是:.
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专题七 不等式（组）
考情分析
命题点 命题形式 命题热度 命题特点
不等式（组）及其解法 1.不等式的性质 ☆ 本专题从不等式（组）的解法和含参问题的角度命题，多以选择题和填空题的形式出现，解法题要求学生利用不等式（组）解决实际问题，常与函数和方程结合考查，体现了数学运算的核心素养.
2.解不等式（组） ☆☆☆ 3.不等式（组）解集的表示 ☆ 4.不等式（组）的含参问题 ☆☆ 5.不等式（组）的特殊解 ☆ 不等式（组）的实际应用 6.不等式（组）的实际应用 ☆☆☆ 讲解一：
不等式及其
性质
知识复习
一、不等式的相关概念
1.不等式：用不等号表示大小关系的式子叫做不等式.
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
【注意】一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个.
3.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
【注意】不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.
知识复习
二、不等式的性质
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等号两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的性质3
【注意】两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义.
命题形式1 不等式的性质
【解析】
D
命题形式1 不等式的性质
【解析】
D
命题形式1 不等式的性质
【解析】
B
命题形式1 不等式的性质
【解析】
A
讲解二：
一元一次不等
式及其解法
知识复习
一、一元一次不等式的概念
1一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式必须同时满足三个条件：
（1）不等式的两边都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数是1.
知识复习
二、一元一次不等式的解法
①去分母
不等式两边同时乘各分母的最小公倍数.
不等式的性质2,3
（1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号.
具体做法
依据
注意事项
知识复习
二、一元一次不等式的解法
②去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）.
分配律、去括号法则
若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号.
具体做法
依据
注意事项
知识复习
二、一元一次不等式的解法
③移项
把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边.
不等式的性质1
（1）所移的项要改变符号，不移的项不变号；（2）移项时，不等号的方向不改变.
具体做法
依据
注意事项
知识复习
二、一元一次不等式的解法
④合并同类项
系数相加，字母及字母的指数不变.
合并同类项法则
具体做法
依据
知识复习
二、一元一次不等式的解法
⑤系数化为1
不等式的性质2,3
当不等式两边都除以同一个负数时，不等号的方向要改变.
具体做法
依据
注意事项
【注意】解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解.
讲解三：
一元一次不等式组及其解法
知识复习
一、一元一次不等式组的相关概念
【注意】（1）一元一次不等式组必须同时满足三个条件：
①每个不等式都是一元一次不等式；
②含有同一个未知数；
③不等式的个数不少于2.
知识复习
二、不等式组的解法
1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.
（1）“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.
【注意】
（2）不等式组的解集中的每一个解满足不等式组中的每一个不等式.
知识复习
二、不等式组的解法
不等式组的解集
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀
同大取大
同小取小
知识复习
二、不等式组的解法
不等式组的解集
不等式组的解集在数轴上的表示
巧记口诀
无解
大大小小无处找
大小小大中间找
知识复习
三、一元一次不等式组的解法
1.解不等式组：求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集
命题形式2 解不等式（组）
B
【解析】
【解析】
命题形式2 解不等式（组）
【解析】
命题形式2 解不等式（组）
命题形式3 不等式（组）解集的表示
A
【解析】
命题形式3 不等式（组）解集的表示
D
【解析】
命题形式3 不等式（组）解集的表示
D
【解析】
命题形式3 不等式（组）解集的表示
A
【解析】
命题形式3 不等式（组）解集的表示
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命题形式3 不等式（组）解集的表示
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命题形式3 不等式（组）解集的表示
【解析】
命题形式4 不等式（组）的含参问题
【解析】
命题形式4 不等式（组）的含参问题
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讲解四：
一元一次不等式的应用
知识复习
有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的解.
列不等式解决实际问题的步骤与列方程解决实际问题的步骤类似，即：
审
认真审题，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系.
抓住题目中的关键字眼，如“大于”“小于”“不等于”“至少”“超过”等
设
设出适当的未知数.
表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现
知识复习
列
解
验
答
根据题中的不等关系列出不等式.
解不等式，求出其解集
检验所求出的不等式的解集是否符合题意.
写出答.
两边所表示的量应该相同，并且单位要统一
符号和系数不要出错
一满足不等式；
二符合实际意义
应把表示不等关系的文字补上
命题形式5 不等式（组）的实际应用
【解析】
命题形式5 不等式（组）的实际应用
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命题形式5 不等式（组）的实际应用
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命题形式5 不等式（组）的实际应用
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命题形式5 不等式（组）的实际应用
【解析】
命题形式5 不等式（组）的实际应用
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