绝密★启用前
2023-2024学年沪科版下学期七年级数学期中试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数，，，，，0.55515511551115…（每两个“5”之间依次多一个“1”），无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．欢乐六一，多彩童年，每年月日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的泡壁厚度约为米，请你使用科学记数法表示“米”这个数（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．ab＞0 C．﹣a＞﹣b D．a+1＞b+1
5．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a < 5 B．a ≤5 C．a＞5 D．a ≥5
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．2023 B． C．1 D．0
7．已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
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8．体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球？（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．我们把不超过有理数的最大整数称为有理数的整数部分，记为，又把称为的小数部分，记为，则有＝．如：，，；又如：，，；下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
② ；
③ 若，且，则或；
④ 方程的解是或
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形.给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．公理化思想 D．函数思想
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式的解集是： ．
12．（ab）2＝ ．
13．如果不等式组，的解集是，那么m的取值范围内的正整为： ．
14．如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设．
（1） ；（用含、、的代数式表示）
（2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值 ， ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)；
(2)解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
(3)求不等式组的整数解．
16．若，且.
(1)求的值.
(2)求的值.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知，，求的值．
18．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．因为．
再如，
（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
(1)请你再写出一个小于20的“完美数”；
(2)判断（x是整数）是否为“完美数”；并说明原因；
(3)如果数m、n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知方程的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
20．2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
六、（本题满分12分）
21．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
七、（本题满分12分）
22．【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1、_______________________；图2、____________________________；
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系．
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求代数式①；②的值；（写出过程）
【解决问题】
（4）如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为，求的面积．
【知识迁移】
（5）若，则______．（直接写出结果）
八、（本题满分14分）
23．【知识生成】
如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
【拓展探究】
图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形，
（1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：__________，方法2：__________，可得到的等量关系式是__________；
（2）若，，求的值；
【知识迁移】
（3）如图⑤，正方形和正方形的边长分别为a、，若，，E是的中点，求图中阴影部分的面积和．
试卷第1页，共3页
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绝密★启用前
2023-2024学年沪科版下学期七年级数学期中试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这个选择题的运算是合并同类项的问题，根据合并同类项的法则计算后即可作出判断．
【详解】解：A、应为，故本选项错误，不符合题意；
B、应为，故本选项正确，符合题意；
C、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．在实数，，，，，0.55515511551115…（每两个“5”之间依次多一个“1”），无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据无理数即为无限不循环小数逐一判断即可．
【详解】解：是无理数；是无限循环小数，不是无理数；是无理数；是分数，不是无理数；是整数，不是无理数；（每两个“5”之间依次多一个“1”） 是无理数．
综上：无理数共有3个
故选C．
【点睛】此题考查的是无理数的判断，掌握无理数即为无限不循环小数是解决此题的关键．
3．欢乐六一，多彩童年，每年月日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的泡壁厚度约为米，请你使用科学记数法表示“米”这个数（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：米米，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟知表达方法是解题的关键．
4．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．ab＞0 C．﹣a＞﹣b D．a+1＞b+1
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】∵a＞b，
∴a﹣b＞0，故A错误；
由于不能确定a与b是否同号，所以ab的符号不能确定，故B错误，
﹣a＜﹣b，故C错误，
a+1＞b+1，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．
5．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a < 5 B．a ≤5 C．a＞5 D．a ≥5
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，求出即可．
【详解】解
解不等式①得：x＜a 1，
解不等式②得：x≥4，
又∵不等式组有解，
∴4＜a 1，
解得：a＞5，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式，难度适中．
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．2023 B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性及代数式求值，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．根据得到，求得，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a与b的值，代入计算即可求出a+b的值．
【详解】解：不等式组整理得：，
由已知解集为，
∴，解得：，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
8．体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球？（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】设小李投进x个球，则投丢个球，利用小李的得分投进球的数量投丢球的数量，结合小李的得分不低于28分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设小李投进x个球，则投丢个球，
依题意得：，
解得：，
∴小李至少要投进10个球．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．我们把不超过有理数的最大整数称为有理数的整数部分，记为，又把称为的小数部分，记为，则有＝．如：，，；又如：，，；下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
② ；
③ 若，且，则或；
④ 方程的解是或
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算，方程解，先根据新定义判断①和②，再求出或时判断③，然后将代入，得到关系式，进而得出和的取值范围，再讨论得出答案．
【详解】因为，所以①正确；
因为，所以②正确；
当时，，
当时，．
故③不正确；
因为，，
∴，
即．
因为，
所以．
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时．
所以或或或．
所以④不正确．
可知正确的有2个．
故选：B．
10．如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形.给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．公理化思想 D．函数思想
【答案】A
【分析】根据题意确定用到的数学思想即可．
【详解】解：根据题意，用到的数学思想是数形结合思想，
故选：A
【点睛】此题考查了数学思想，掌握常见的数学思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．不等式的解集是： ．
【答案】/
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12．（ab）2＝ ．
【答案】a2b2
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【详解】解：（ab）2＝a2b2，
故答案为：a2b2．
【点睛】本题考查了积的乘方，掌握知识点是解题关键．
13．如果不等式组，的解集是，那么m的取值范围内的正整为： ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集是，据此即可求得m的范围．
【详解】解：
解①得：，
根据题意得．
故答案为：．
14．如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设．
（1） ；（用含、、的代数式表示）
（2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值 ， ．
【答案】 3 1
【分析】（1）分别表示出矩形中和的长度，根据，代入字母即可求得的长度；
（2）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差始终保持不变，即可求出与的关系式，写出满足条件的一组，即可．
【详解】解：（1）由图可得，矩形中宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，
，即，，
，
即；
（2）由（1）可得：阴影部分面积之差为
，
阴影部分的面积差保持不变，
，即，
则满足条件的一组数据为：3，1．
故答案为：；3，1．
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，根据图形和题意，找出各边的等量关系是解答本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)；
(2)解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
(3)求不等式组的整数解．
【答案】(1)
(2)x≥-2.5，数轴表示见解析
(3)1，2，3
【分析】（1）先计算立方根，平方根，绝对值，然后合并即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；
（3）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，2，3．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解等等，熟知相关计算方法是解题的关键
16．若，且.
(1)求的值.
(2)求的值.
【答案】（1）12；（2）61.
【分析】（1）化简(a-2)(b-2)得到一个含ab和a+b的式子，即可得出答案；
（2）将分解成，再利用完全平方公式进行计算即可得出答案.
【详解】解：（1）∵
又，
∴
解得：ab=12
∴ab的值为12.
（2）
=
=
=
=61
所以的值为61.
【点睛】本题主要考查了对因式分解应用的掌握，关键在于在解题是要找出规律，使其变得简单.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知，，求的值．
【答案】18
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解后代入，即可得到答案．
【详解】原式
，
原式 ．
【点睛】本题考查了提公因式法、完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练运用提公因式法、公式法因式分解是解题的关键，同时渗透了整体代入的思想．
18．若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．因为．
再如，
（x、y是整数），所以M也是“完美数”．
(1)请你再写出一个小于20的“完美数”；
(2)判断（x是整数）是否为“完美数”；并说明原因；
(3)如果数m、n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【答案】(1)10（答案不唯一）
(2)s是完美数，理由见详解
(3)mn为完美数
【分析】（1）根据“完美数”的定义在20以内找到一个数满足条件即可；
（2）将（x是整数）变形为，利用“完美数”的定义进行判断即可；
（3）根据题意设，（a、b、c、d为正整数），将表示出来，再利用题干中类似的方法把变形为，即可说明如果数m、n都是“完美数”，那么mn也是“完美数”．
【详解】（1）解：∵，
∴10是一个小于20的“完美数”；
（2）解：s是完美数，理由如下：
∵（x是整数）
∴s是完美数；
（3）解：∵m、n是完美数，
设，（a、b、c、d为正整数）
∴
∴mn为完美数．
【点睛】本题考查新定义问题，能够理解定义的内涵并且熟练掌握整式的乘法运算法则以及完全平方公式的变形是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知方程的解满足为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】（1）把看成常数，求出二元一次方程组的解，结合解满足为非正数，为负数求解一元一次不等式即可得出答案；
（2）根据（1）中的m的取值范围化简绝对值即可得出答案；
（3）对进行分类讨论，求出的取值范围结合不等式的解集为即可得出答案.
【详解】解：（1）由方程组，得，
∵方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得，，
即的取值范围是；
（2）∵，
∴
；
（3）由不等式得，当时，，当时，，当时，该不等式无解，
∵不等式的解集为，
∴，得，
∵，
∴，
∴当为整数时，，
即在的取值范围内，当时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解二元一次方程组，解答本题的关键是把看成常数进行求解.
20．2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
【答案】(1)A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元
(2)A型号兔子挂件至少要购进21件
【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，根据题意列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据利润、进价、售价之间的关系列一元一次不等式，解不等式求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
∴，
即A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件件，
则，
解得，
因此A型号兔子挂件至少要购进21件．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程和不等式．
六、（本题满分12分）
21．观察下列各式：
…
(1)根据以上规律，则 ．
(2)你能否由此归纳出一般性规律：
．
(3)根据上述的规律，求的值．
(4)根据上述的规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键．
（1）根据规律可得出结果；
（2）由规律得出的指数为，即可得出答案；
（3）将1写为，再根据规律计算即可；
（4）根据规律分别计算和，再将原式分为两部分计算即可得出答案．
【详解】（1）由规律得：；
故答案为；
（2）；
故答案为．
（3）
（4）
，
，
．
七、（本题满分12分）
22．【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1、_______________________；图2、____________________________；
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系．
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求代数式①；②的值；（写出过程）
【解决问题】
（4）如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为，求的面积．
【知识迁移】
（5）若，则______．（直接写出结果）
【答案】（1），；；（2）；（3）①；②；（4）4；（5）；
【分析】本题考查整式乘法公式与图形面积关系：
（1）根据整个图形面积及几个小图形面积和列式即可得到答案；
（2）根据整个图形面积及几个小图形面积和列式即可得到答案；
（3）根据（1）（2）关系求解即可得到答案；
（4）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案；
（5）根据求解即可得到答案；
【详解】解：（1）由图形可得，
，，
故答案为：，；
（2）由图形可得，
；
（3）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴；
（4）由图形可得，
，，
∴，
∴，
∴；
（5）∵，，
∴．
23．【知识生成】
如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图②），图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
【拓展探究】
图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形，
（1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：__________，方法2：__________，可得到的等量关系式是__________；
（2）若，，求的值；
【知识迁移】
（3）如图⑤，正方形和正方形的边长分别为a、，若，，E是的中点，求图中阴影部分的面积和．
【答案】（1）；；；（2）37；（3）11
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据大正方形的面积减去小长方形的面积，阴影部分面积面积等于长为，宽为的长方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式；
（2）根据完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据阴影部分面积和，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：（1）用两种不同的方法表示图④中阴影部分的面积：方法1：，方法2：，
可得到的等量关系式是；
（2），，
；
（3）阴影部分的面积和
．
，，
，
阴影部分的面积和．
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