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绝密★启用前
2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期中试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．5 D．2
4．如图，在四边形中，，，，平分，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，连接，且．若，，则线段的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，，则的值为（ ）
A．12 B．4 C．2022 D．8
7．据统计，从2019年至2021年我国高铁的年运营总里程中万千米增加到4万千米．设我国从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论：①△BPQ是等边三角形；②△APC是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．张老师在课堂上展示了一道题：如图（1），在四边形中，，，已知，求的长．
小明的方法：过点A作于点E，如图（2），将绕点A逆时针旋转，得到，将不规则四边形转化为正方形进行求解．类比小明的方法解题：如图（3），在中，，点M是内一点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝ ．
12．已知一元二次方程有一个根为，则a的值为 ．
13．如图所示，在中，垂直平分，交于点E，，则等于 ．
14．如图7，正方形①，②的一边在同一直线上，正方形③的一个顶点也在该直线上，且有两个顶点分别与正方形①，②的两个顶点重合，若正方形①，②的面积分别3cm2和4cm2，则正方形③的面积为 cm2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)；
(2)
16．（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣1）=（x﹣1）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．先化简，再求值：，其中，．
18．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有个座位，如果票价定为每张元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加元，那么门票就减少张．
(1)当门票收入为元，票价应该定为多少元？
(2)票价定为多少元时门票收入最高？
19．已知关于的方程
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的值.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
20．观察下列各式：
第1个式子：．
第2个式子：．
第3个式子：．
……
根据其规律，解答下列问题：
(1)__________．
(2)第n个式子为__________．
(3)利用以上规律计算：．
六、（本题满分12分）
21．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
七、（本题满分12分）
22．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，点E在线段BD上，连接AE，且AE＝BE，延长AE交BC于点F，过点A作AG⊥AE交BD的延长线于点G．
(1)①若∠GBC＝25°，则∠AEG＝ °；
②如图1，求证：∠AGB＝2∠GBC；
(2)如图2，连接CG，若BG平分∠ABC，求证：BE＝CG；
(3)如图3，若D是AC的中点，求证：AF＝AG．
试卷第1页，共3页
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2023-2024学年沪科版下学期八年级数学期中卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此判断各选项可得出答案．
【详解】A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、不是最简二次根式，符合题意；
D、是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式的知识，属于基础题，注意掌握二次根式的满足的两个条件．
2．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】常数项移到方程的右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
3．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】C
【分析】根据方程的根的定义，得到，整体代入代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键是掌握方程的解是使等式成立的未知数的值．
4．如图，在四边形中，，，，平分，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】先证明，再证明，可得，再利用三角形的内角和定理求解，从而可得答案.
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∴.
故选C.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.
5．如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，连接，且．若，，则线段的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理求出MN，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出ME，计算即可．
【详解】解：∵点M，N分别为边AB，AC的中点，BC=16，
∴MN=BC=8，
在Rt△AFB中，点M为边AB的中点，AB=8，
则ME=AB=4，
∴EN=MN-ME=8-4=4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．若，，则的值为（ ）
A．12 B．4 C．2022 D．8
【答案】D
【分析】先将代数式进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】解：，
当，，
∴原式=
=
=8，
故选：D．
【点睛】题目主要考查因式分解、二次根式的化简求值，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式进行计算是解题关键．
7．据统计，从2019年至2021年我国高铁的年运营总里程中万千米增加到4万千米．设我国从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x”即可列出方程．
【详解】解：∵从2019年至2021年高铁运营总里程的年平均增长率为x，
∴方程为，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ=[（2k-1）]2-4（k2-2）=-4k+9≥0，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论：①△BPQ是等边三角形；②△APC是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝135°，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得∠PQC=90；根据△BPQ是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若为直角三角形，则 再得出与题干矛盾的结论可判断②，若 则 如图，构建的直角三角形，作证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形， 所以①符合题意；
PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以③符合题意；
若为直角三角形，则
与题干信息矛盾，故②不符合题意；
若 则
如图，构建的直角三角形，作
与矛盾，所以④不符合题意．
所以符合题意的有①③，
故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，全等三角形的性质、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
10．张老师在课堂上展示了一道题：如图（1），在四边形中，，，已知，求的长．
小明的方法：过点A作于点E，如图（2），将绕点A逆时针旋转，得到，将不规则四边形转化为正方形进行求解．类比小明的方法解题：如图（3），在中，，点M是内一点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，将△BCM绕点C逆时针旋转90°，得到△ACN，连接MN，则∠MCN=90°，CN=CM=，AN=BM=3，可得MN=2，再由勾股定理逆定理可得∠AMN=90°，可得，即可求解．
【详解】解：如图，将△BCM绕点C逆时针旋转90°，得到△ACN，连接MN，则∠MCN=90°，CN=CM=，AN=BM=3，
∴，
∵，
∴，
∴∠AMN=90°，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理及其逆定理，熟练掌握图形的旋转的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝ ．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义解决此题．
【详解】解：，
若最简二次根式与二次根式能合并，则．
．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握最简二次根式、同类二次根式的定义是解决本题的关键．
12．已知一元二次方程有一个根为，则a的值为 ．
【答案】
【分析】将带入原方程，得出关于a的方程，求解即可．
【详解】解：将带入得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义以及解一元二次方程，解题的关键是掌握：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，以及解一元二次方程的方法步骤．
13．如图所示，在中，垂直平分，交于点E，，则等于 ．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，由等边对等角得，由外角的性质得，即可得到答案．
【详解】垂直平分
,
故答案为：6cm．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边对等角、外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．如图7，正方形①，②的一边在同一直线上，正方形③的一个顶点也在该直线上，且有两个顶点分别与正方形①，②的两个顶点重合，若正方形①，②的面积分别3cm2和4cm2，则正方形③的面积为 cm2．
【答案】7
【分析】正方形①、②的面积分别3cm2和4cm2，推出DE=cm，GH=2cm，由△DEF≌△FHG（AAS），推出DE=FH=在Rt△GHF中，利用勾股定理得可求FG．
【详解】解：如图，∵正方形①、②的面积分别3cm2和4cm2，
∴DE=cm，GH=2cm，
∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，
∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，
∴∠EDF=∠GFH，
在△DEF和△FHG中
∴△DEF≌△FHG（AAS），
∴DE=FH=，
∵GH=2，
∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：
所以正方形3的面积为7cm2．
故答案为7．
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是利用全等三角形的性质求出FH的长，属于中考常考题型．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，以及乘法公式．
（1）先逐项化简，再算加减即可；
（2）先根据乘法公式计算，再算加减．
【详解】（1）
（2）
16．（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）3x（x﹣1）=（x﹣1）
【答案】（1）x1=，x2=﹣；（2）x1=1，x2=．
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）用因式分解法﹣提公因式法进行解方程即可．
【详解】（1）原方程可变形为：x2﹣2x=1，x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2，∴x﹣1=或x﹣1=﹣，∴x1=，x2=﹣+1；
（2）移项得：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0，提公因式得：（x﹣1）（3x﹣1）=0，x﹣1=0或3x﹣1=0，∴x1=1，x2=．
【点睛】本题考查了一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解决问题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，－4
【分析】按照多项式乘以多项式，完全平方公式先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键．
18．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有个座位，如果票价定为每张元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加元，那么门票就减少张．
(1)当门票收入为元，票价应该定为多少元？
(2)票价定为多少元时门票收入最高？
【答案】(1)
(2)票价定为元时，门票收入最高
【分析】（1）设票价应定为元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设门票收入为，根据题意，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设票价应定为元，依题意有：
，
，
解得：．
答：票价应定350元．
（2）解：设门票收入为，依题意得，
，
，
∵，则时，取得最大值
即票价定为350元时，门票收入最高．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知关于的方程
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的值.
【答案】(1)见
(2)
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根；
（2）已知，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【详解】（1）证明：∵
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）①若为底边，则b，c为腰长，则，则．
∴，解得：．
此时原方程化为；
∴，即．
此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则b，c中一边为腰，不妨设，
代入方程：，
∴．
【点睛】本题重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
20．观察下列各式：
第1个式子：．
第2个式子：．
第3个式子：．
……
根据其规律，解答下列问题：
(1)__________．
(2)第n个式子为__________．
(3)利用以上规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力．
（1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解；
（2）第n个式子左边为：，右边为：；
（3）利用所得规律即可“裂项”求解．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）解：第n个式子为：
故答案为：；
（3）解：原式
．
．
六、（本题满分12分）
21．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
【答案】(1)，另一根为；
(2)①；②0或1
(3)
【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值；
②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可；
（3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小．
【详解】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根为；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
②原式
，
∵不论x为何值，
∴原式
∵代数式的值为正整数，
∴代数式的值为1，2，
当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当时，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：当时，得，
∴，
当时，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题．
七、（本题满分12分）
22．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 元．
【答案】（1）；（2）30元；（3）35，1350
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为，然后把点（30，100），（40，80）代入解析式求解即可；
（2）设该网点每天的利润为W，由题意得：，然后根据该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，可得，即，由此求解即可；
（3）该食品的日销量不低于90千克，可求得，然后根据利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为；
（2）设该网点每天的利润为W，
由题意得：，
∵该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，
∴，即，
解得或（舍去），
∴该食品的售价为30元；
（3）∵该食品的日销量不低于90千克，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为元，
故答案为：35，1350．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
八、（本题满分14分）
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，点E在线段BD上，连接AE，且AE＝BE，延长AE交BC于点F，过点A作AG⊥AE交BD的延长线于点G．
(1)①若∠GBC＝25°，则∠AEG＝ °；
②如图1，求证：∠AGB＝2∠GBC；
(2)如图2，连接CG，若BG平分∠ABC，求证：BE＝CG；
(3)如图3，若D是AC的中点，求证：AF＝AG．
【答案】(1)①40，②证明见解析；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）①由等腰三角形的性质可求∠ABC=∠ACB=45°，∠ABE=∠BAE=20°，即可求解； ②由等腰三角形的性质可求∠ABC=∠ACB=45°，∠ABE=∠BAE，可求∠AEG=90°-2∠GBC，由余角的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△AEB≌△AGC，可得BE=GC；
（3）过点C作，交BG于点H，连接AH，由“AAS”可证△ADG≌△HDC，可得AG=HC，由“ASA”可证△HAB≌△ABF，可得AF=BH=CH=AG，从而可得结论．
【详解】（1）①解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠GBC=25°，
∴∠ABG=20°，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=20°，
∴∠AEG=∠ABE+∠BAE=40°，
故答案为：40；
②证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABG=∠ABC-∠GBC，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∴∠AEG=∠ABE+∠BAE=2∠ABC-2∠GBC=90°-2∠GBC，
∵AE⊥GA，
∴∠AGB=90°-∠AEG=90°-（90°-2∠GBC）=2∠GBC；
（2）∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=22.5°，
∴∠ABE=∠BAE=22.5°，
∴∠AEG=45°，
∴∠AGE=∠AEG=45°，
∴AE=AG，∠GAE=90°=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAG，
在△AEB和△AGC中，，
∴△AEB≌△AGC（SAS），
∴BE=CG；
（3）过点C作，交BG于点H，连接AH，
∴∠AGB=∠CHG，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
又∵∠ADG=∠CDH，
∴△ADG≌△HDC（AAS），
∴AG=HC，
∵∠AGB=2∠GBC，∠CHG=∠HBC+∠HCB，
∴∠HBC=∠HCB，
∴BH=CH，
又∵AB=CA，
∴HA垂直平分BC，
∴∠BAH=∠CAH=45°，
又∵∠ABE=∠BAE，AB=BA，
∴△HAB≌△FBA（ASA），
∴BH=AF，
∴AF=AG．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
