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2023-2024学年沪科版下学期九年级数学期中试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．－8的相反数是（ ）
A．－6 B．8 C．－ D．
2．今年是共建“一带一路”倡议提出10周年．十年来，作为“一带一路”重要节点城市，长沙实现了内陆腹地到开放前沿的“华丽蜕变”．据海关统计，年，长沙与“一带一路”共建国家进出口贸易额为元．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a3＝a
4．如图所示的工件中，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较1班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．商场将某种商品按标价的八折出售，仍可获利90元，若这种商品的标价为300元，则该商品的进价为（ ）
A．330元 B．210元 C．180元 D．150元
9．如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A． B． C．6 D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2a3﹣8a= ．
12．已知一次函数，当时，对应的自变量x的取值范围为 ．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝ ．
14．如图，E是为矩形ABCD上一点，点O是对角线BD的中点，把△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线BD上的点F处，连接AF、AE．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在直角坐标系中，经过平移后得到和．已知点，，，，的坐标分别为，，，，，，，，，，写出点，，，的坐标，并画出和．
16．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：
（1）马牛各价几何？
（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察下列各式及其验证过程：
①，验证：
②，验证：
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明；
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式．
18．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点A处测得热气球底部点C，中部点D的仰角分别为和，已知点O为热气球中心，，，点C在上，，且点在同一平面内，根据以上提供的倍息，求热气球的直径约为多少米？
（参考数据：）（结果精确到）
19．直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若DE=，AE=1．求：
(1)⊙O的半径；
(2)圆心O点到AB距离．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
20．如图，直线与反比例函数的图象交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（直接写出来）
(3)求的面积．
六、（本题满分12分）
21．某医院食堂为全体1080名职工提供了，，，四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，食堂随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐”问卷调查（每人必选且只选一种）．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 °，依据调查结果，可估计全体1080名职工中最喜欢B套餐的有 人；
（3）现从甲、乙、丙三名职工中任选两人担任“食堂卫生监督员”，请通过画树状图，求出甲被选中的概率．
七、（本题满分12分）
22．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
八、（本题满分14分）
23．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页(
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绝密★启用前
2023-2024学年沪科版下学期九年级数学期中试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．－8的相反数是（ ）
A．－6 B．8 C．－ D．
【答案】B
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
【详解】解：-8的相反数是8，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．今年是共建“一带一路”倡议提出10周年．十年来，作为“一带一路”重要节点城市，长沙实现了内陆腹地到开放前沿的“华丽蜕变”．据海关统计，年，长沙与“一带一路”共建国家进出口贸易额为元．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a3＝a
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A．a4 a3＝a7，故本选项不符合题意；
B．a4 a3＝a7，故本选项合题意；
C．a4与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D．a4 a3＝a7，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．
4．如图所示的工件中，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是掌握从上边看得到的图形是俯视图．
5．初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较1班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【分析】根据平均数，众数，中位数和方差的意义对每一项进行分析即可判断．
【详解】解：设第一年的平均数为，则第三年的平均数为，则平均数发生变化，故A不符合题意；
设第一年的众数为，则第三年的众数为，则众数发生变化，故B不符合题意；
设第一年的中位数为，则第三年的中位数为，则中位数发生变化，故C不符合题意；
第一年的方差为，
第三年的方差为，
∴方差没有发生变化，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查平均数，众数，中位数和方差的意义．理解题意，分别求出三年前后的平均数，众数，中位数和方差是解题关键．
6．一元二次方程(x+3)(x+6)=x+1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】先把化为一般形式，再计算的值，根据的值判断即可．
【详解】解：，
＜，
原方程没有实数解．
故选D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的知识是解题的关键．
7．如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线性质可求得，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”得，再根据角平分线性质，可求得，由三角形内角和定理可求得，根据角平分线性质可得，即可求出的值，解题关键是熟练掌握相关性质，求出、的值．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，，，
，，
平分，
，，
，
，
，
故选：D．
8．商场将某种商品按标价的八折出售，仍可获利90元，若这种商品的标价为300元，则该商品的进价为（ ）
A．330元 B．210元 C．180元 D．150元
【答案】D
【分析】已知八折出售可获利90元，根据：进价=标价×8折﹣获利，可列方程求得该商品的进价．
【详解】解：设每件的进价为x元，由题意得：
300×80%﹣90=x
解得x=150．
故选D．
9．如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作轴于点G，求得，求得菱形的边长，再求得，据此即可求解．
【详解】解：作轴于点G，交x轴于点F，
∵四边形是菱形，A，B两点在反比例函数的图象上，且轴，
∴，，
∵点A的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，通过菱形面积确定点的坐标是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是△ABC的角平分线，若P，Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由轴对称的性质可知：PC＝PC′，所以QP＋PC＝QP＋PC′，由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值，然后利用平行线分线段成比例即可求得QC′的长．
【详解】解：如图所示：将△ACD沿AD翻折得到△ADC′，连接DC′，过点C′作C′Q⊥AC．
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴△ADC与△ADC′关于AD对称．
∴点C′在AB上．
由翻折的性质可知：AC′＝AC＝3，PC＝PC′．
∴QP＋PC＝QP＋PC′．
由垂线段最短可知：当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值．
在Rt△ACB中，AB＝．
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，即，
解得：，
∴PC+PQ的最小值是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用，平行线分线段成比例，明确当C′Q⊥AC时，C′Q有最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：2a3﹣8a= ．
【答案】2a（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】．
12．已知一次函数，当时，对应的自变量x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意即得出，解出x的值即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为，
∴当时，即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质．由，得出是解题关键．
13．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝100°，则∠A+∠C＝ ．
【答案】220°
【分析】连接AB，先根据切线长定理证得PA=PB，再根据等腰三角形的性质求得∠PAB的度数，然后根据圆内接四边形的两对角互补求解即可．
【详解】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝100°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣100°）＝40°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+40°＝220°，
故答案为：220°．
【点睛】本题考查切线长定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的两对角互补，熟练掌握切线长定理和圆内接四边形的两对角互补是解答的关键．
14．如图，E是为矩形ABCD上一点，点O是对角线BD的中点，把△ABE沿AE折叠，使点B落在对角线BD上的点F处，连接AF、AE．
（1）若，则 ；
（2）若，则 ．
【答案】 /
【分析】根据翻转变换的性质得到AE⊥BD，得到∠BAE=∠ADB，分两种情况根据正弦的定义列出算式，计算即可．
【详解】解：设AE与BD相交于G，
由折叠的性质可知，AB=AF，EB=EF，
∴AE⊥BD，BG=GF，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
（1）∵FB=FO，点O是对角线BD的中点，
∴BG=GF=BD，
∴，
∴AB2=BD2，
∴；
故答案为：；
（2）∵AF=FO，点O是对角线BD的中点，
∴BD=2(2BG+FO)= 2(2BG+AF)=4BG+2AB，
由（1）得，
即，即，即，
设，则，
解得：，
经检验，都是原方程的解，但负值不符合题意，舍去，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、锐角三角函数的定义、解分式方程，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在直角坐标系中，经过平移后得到和．已知点，，，，的坐标分别为，，，，，，，，，，写出点，，，的坐标，并画出和．
【答案】见解析
【分析】根据题意，描出点，，根据对应点的关系，得到平移方式，进而描出点，顺次连接成和，即可求解．
【详解】解：如图所示，将向右平移5个单位，得到，将向下平移5个单位得到，和即为所求
【点睛】本题考查了平移作图，在平面直角坐标系中描点，判断出平移方式是解题的关键．
16．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：
（1）马牛各价几何？
（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？
【答案】（1）马每匹6两，牛每头4两；（2）118两
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，通过有理数运算，即可得到答案．
【详解】（1）设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意可得：
解得：
∴马每匹6两，牛每头4两；
（2）结合（1）的结论，得马一十三匹、牛十头共价：13×6＋10×4＝118两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察下列各式及其验证过程：
①，验证：
②，验证：
（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并证明；
（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用（为自然数，且）表示的等式．
【答案】（1），验证见解析；（2），证明见解析；（3）验证见解析；等式为．
【分析】(1)结合题意进行猜想并根据算术平方根的概念进行计算即可；
（2）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算即可；
（3）根据计算过程和各式的变化规律猜想结果并根据算术平方根的概念进行计算并总结规律．
【详解】（1）猜想，得
验证：
（2）猜想，得
验证：
（3）验证：
等式为
故
【点睛】本题考查的是二次根式的性质和数字的变化类知识，掌握算术平方根的概念、从给出的式子中正确找出规律是解题的关键．
18．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点A处测得热气球底部点C，中部点D的仰角分别为和，已知点O为热气球中心，，，点C在上，，且点在同一平面内，根据以上提供的倍息，求热气球的直径约为多少米？
（参考数据：）（结果精确到）
【答案】热气球的直径约为9米
【分析】过点E作，过点D作，利用三角函数的定义计算即可；
【详解】过点E作，过点D作，
在中，，
在中，，
设热气球的直径为x米，则，
，
解得：；
故热气球的直径约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确计算是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若DE=，AE=1．求：
(1)⊙O的半径；
(2)圆心O点到AB距离．
【答案】(1)⊙O的半径为2；
(2)圆心O点到AB距离为．
【分析】（1）连接OD，通过证明OD∥MN得到OD⊥DE，从而判断DE是⊙O的切线；作OH⊥MN于H，如图，设⊙O的半径为r，证明四边形OHED为矩形得到OH=DE=，OD=HE=AH+AE，则AH=r-1，在Rt△OAH中利用勾股定理得到（r-1）2+=r2，解方程即可求出r；
（2）由（1）直接得出圆心O点到AB距离．
【详解】（1）解：连接OD，如图，
∵AD平分∠CAM，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
作OH⊥MN于H，如图，
∵OD⊥DE，DE⊥MN，OH⊥MN，
∴四边形OHED为矩形，
设⊙O的半径为r，
∴OH=DE=，OD=HE=AH+AE，
∴AH=HB=r-1，
在Rt△OAH中，（r-1）2+()2=r2，
解得r=2，
∴⊙O的半径为2；
（2）解：由（1）得OH=DE=，
∴圆心O点到AB距离为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理．在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
20．如图，直线与反比例函数的图象交点A、点B，与x轴相交于点C，其中点A的坐标为，点B的纵坐标为2．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（直接写出来）
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）把点A坐标为，代入反比例函数，可求出值，然后即可写出反比例函数的关系式；
（2）求出反比例函数与一次函数的交点B的坐标，根据图象直观得出自变量的取值范围；
（3）求出一次函数与x轴交点坐标C，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：把点A坐标为，代入反比例函数，得，
所以反比例函数的关系式为．
（2）解：把代入得，
，因此点B，
由图象可得．
（3）解：把代入得，
，因此点C，
．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，将点的坐标转化成三角形的底或高是正确计算的前提．
六、（本题满分12分）
21．某医院食堂为全体1080名职工提供了，，，四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，食堂随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐”问卷调查（每人必选且只选一种）．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 °，依据调查结果，可估计全体1080名职工中最喜欢B套餐的有 人；
（3）现从甲、乙、丙三名职工中任选两人担任“食堂卫生监督员”，请通过画树状图，求出甲被选中的概率．
【答案】（1）见解析；（2）108；378；（3）．
【分析】（1）用最喜欢A套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可求得喜欢A套餐的人数，继而再用总人数减去喜欢C套餐的人数，据此画图；
（2）用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案，再求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以1080即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【详解】（1）最喜欢A套餐的人数=25%×240=60（人），
最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人），
补充图形如下：
（2）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角为：360°×=108°，
估计全体1080名职工中最喜欢B套餐的有：（人）
故答案为：108；378；
（3）画树状图如下：
从甲、乙、丙三名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，
其中甲被选到的情况有4种，
故所求概率P．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用画树状图法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键．
七、（本题满分12分）
22．如图，抛物线经过点A，B，C，点A的坐标为．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若点P的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，顶点为
(2)
(3)或
【分析】（1）将A点代入，可求函数的解析式及顶点坐标；
（2）当时，y的最大值为，最小值为0，即可求解；
（3）由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出a的值．
【详解】（1）解：将A点代入，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴顶点为；
（2）解：当时，，
∴当时，y的最大值为，最小值为0，
∴y的最大值与最小值的差为；
（3）解：∵线段向上平移个单位得到线段，
∴，，
当在抛物线上时，，
解得：，
∴时，线段与抛物线只有一个交点；
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，解得，
当时，，
解得：，
此时直线与抛物线交点的横坐标为，正好在线段上，
∴当时，线段与抛物线也只有一个交点；
综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证；
（3）取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果．
【详解】（1）解：在等腰中，，，，
，，
点为的中点，
，
在等腰中，，，，
，
在中，，，，
；
（2）证明：如图，
延长至，使，连接，，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
（3）如图，
取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接并延长交于，当在点时，最大，
作于，
在中，，，
，，
，
．
即的最大值．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
