2023---2024 学年度上学期月考考试 A． f (c) f (a) f (b) B． f (b) f (c) f (a)
C． f (a) f (b) f (c) D． f (c) f (b) f (a)
高一年级数学试题
8．已知 f x Asin x A 0, 0, 的一段图象如图所示，则（ ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（本题共 10 道小题，每题 5 分，共 50 分）
1．已知集合 A 1,0,1,2 ， B x x 1 ，则( ) ∩A=（ ）
A． 1 B． 1,0 C． 1,1 D． 1,2
f x sin 2x 3 A．
2．在 ABC 中， B 30 ,b 2，c 2 2，则角 A的大小为（ ） 4
A． 45 B．135 或 45 C．15 D．105 或15 B． f x 的图象的一个对称中心为 ,08
5
3．已知向量 e是与向量b方向相同的单位向量，且 b 2，若 a在b方向上的投影向量为 2e， C． f x 的单调递增区间是 k , k 8 8
,k Z
则a b （ ） D．函数 f x 5 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
A．2 3 B． 2 3 C．4 D．-4 9．如图， ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若
y2 x
4．已知 x 0, y 0，且 4x y 1，则 的最小值为（ ） AD 4， BD 2，点 M为线段CE上的动点，则 AM BC MD 的最大值为（ ）
xy
A．5 B． 4 2 C．4 D． 2 2
5．已知命题 p：“ x R， x2 ax 3 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 2 3 B． 2 3,2 3
C． , 2 3 2 3, D． 2 3,2 3
6．在 ABC中，若 a 2b cosC，且 b c a b c a 3bc 16 21，则该三角形的形状是（ ） A． B． ．4 C 6 D．109
A．直角三角形 B．钝角三角形 10．定义在 R上的函数 f x 若满足：
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
①对任意x 、 x2 x1 x2 ，都有 x1 x2 f x1 f x1 2 0；
7 ． 已 知 偶 函 数 f (x) 在 区 间 (0, ) 0.3上 单 调 递 增 ， 且 a log5 2，b ln 3，c 2 则
②对任意 x，都有 f a x f a x 2b，则称函数 f x 为“中心捺函数”，其中点 a,b 称为
f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为 ( )
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函数 f x 的中心.已知函数 y f x 1 是以 1,0 5π 为中心的“中心捺函数”，若满足不等式 D．函数 g x f x 3在 π, 上可能有 3个零点 2
f m2 2n f n2 2m ，当m 1 m ,1 时， 的取值范围为( ) 2 m n 第 II 卷（非选择题）
A 2,4 1B , 1 1 , 1 1C D ,1 三、填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分）． ．
．
8 2 4 2
． 2
15．已知 e 、e 是两个不共线的向量，a 2e e ，b ke e ，若 a与b是共线向量，则实数
二、多选题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分） 1 2 1 2 1 2
11．设向量 a，b满足 | a | |b | 1，且 | b 2a | 5，则以下结论正确的是（ ） k .
16．在 ABC 中， BAC 60 ， AB 4 ， BC 2 6 ， BAC 的角平分线交 BC 于 D，则
A． a b B． | a b | 2
AD .
C． | a b | 2 D．向量 a，b夹角为60 1
17．若偶函数 f (x)对任意 x R 都有 f (x 3) ，且当 x 3, 2 时， f (x) 4x，则
12．对于 ABC，下列说法正确的有（ ） f (x)
f (2024) .
A．若 a 8，c 10，B 60 ，则符合条件的 ABC有两个
B．若 A B ，则 sinA sinB 18．向量集合 S a a x ,y ,x ,y R ，对于任意 a，b S，以及任意 0,1 ，都有
C ．若 sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，则 ABC是钝角三角形 a 1 b S，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
D．若 sin2A sin2B，则 ABC为等腰三角形
①集合M a a x, y , y x2 是“凸集”；
13．有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若 a∥b ,b N 2a a S∥c ，则 a∥c ② 若S为“凸集”，则集合 也是“凸集”；
B．若 a b，则存在唯一实数 a 使得 b ③若 A1, A2 都是“凸集”，则 A1 A2也是“凸集”；
C．两个非零向量 a,b ，若 | a b | | a | | b |，则 a与b 共线且反向 ④若 A1, A2 都是“凸集”，且交集非空，则 A1 A2也是“凸集”．
D．若 2OA OB 3OC 0,S AOC ,S ABC分别表示 AOC, ABC的面积，则 S△AOC : S 其中，所有正确的命题的序号是 ．△ABC 1: 6
四、解答题（本题共 5 道小题，每题 12 分，共 60 分）
π
14 ．已知函数 f x 2cos x ( 0)在 0,
π
上单调，且 f x 在 0, π 上恰有 2个零点，
3 2 19．（本题 12分）
则下列结论不正确的是（ ） 已知 | a | 1， | b | 3， a b (1, 3)，求：
7 13 A． 的取值范围是 , 6 6 (1) | a b |；
f x 4π , 5π B． 在 上单调递增 7 4 (2) a
b与 a b的夹角．
π
C f x ． 的图象在 , 2π
2
上恰有 2条对称轴
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20．（本题 12分） 22．（本题 12分）
如图，在 ABC中，已知 AB 1， AC 3 2 BC AC 1， ， 边上的中线 AM ，BN 相交于点 P． 请从① asin B 3bcos BcosC 3ccos2 B；②bcosC c a 3b sin A；③ a这三个条件中任2 1 cosB
选一个，补充在下列问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分）
在 ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，若__________．
(1)求角 B的大小；
(1)求 AM BC； (2)若 ABC为锐角三角形， c 1，求 a2 b2的取值范围．
(2)若 BAC 45 ，求 MPN的余弦值，
23．（本题 12分）
21．（本题 12分）
在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为 (a ,b)，点 B的坐标为 (cos x, sin x)，
已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，b2 ac a2 c2 , A
,b 2 .
4 其中 a2 b2 0且 0．设 f (x) OA OB．
（1）求边 a；
(1)若 a 3，b 1， 2，求方程 f (x) 1在区间 0,2π 内的解集．
（2）求△ABC的面积.
π π
(2) 若函数 f (x)满足：图象关于点 , 0 对称，在 x 处取得最小值，试确定 a、b和 应满足
3 6
的与之等价的条件．
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{#{QQABTQiAogggAJAAARgCQQVCCkCQkBACCAoOwAAEsAAByQFABAA=}#}a2 c2 b2 1
2023---2024 学年度上学期月考考试试题（答案） 21．解：（1）由余弦定理 cos B ，因为 B (0, )，所以B .2ac 2 3
高一年级数学 a b b sin A 2 sin
4
2 3 2 3
由正弦定理 得 a ，所以a .
一、单选题（本题共 10 道小题，每题 5 分，共 50 分） sin A sin B sin B 3 3 3
1．B 2．D 3．C 4．A. 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．C 2
二、多选题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分） （2）因为 A , B ，所以C
5
，
4 3 4 3 12
11．AC 12．BC 13．CD 14．ACD
sinC sin 5 sin 6 2三、填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分） 所以 sin cos cos sin ，12 4 6 4 6 4 6 4
15． 2 16． 4 17． 8 18．①②④
1 1 2 3 6 2 3 3 3 3
四、解答题（本题共 5 道小题，每题 12 分，共 60 分） 所以 S△ABC absinC 2 .所以 S△ABC .
2 2 3 4 6 6
19．解：（1 ）由已知 a b (1, 3)，则 r r 2 r r 2 r r a b a 2 b 2a b 4 ，可得 a b 0， 22．解：（1）若选①
r r 2 r 2 r 2 r r
则 a b a b 2a b 4 ，所以 a b 2 . 因为 asin B 3bcos BcosC 3ccos2 B，
（2）设 a b与a b的夹角为 ， 由正弦定理得 sin AsinB 3 sinB cosB cosC 3 sinC cos2 B，
r ra b r ra b r ra2 b 2 1 3 1
则 cos r r r r ，且0 180 ，所以 a b与a b的夹角为120 ． 即2 2 4 2 sin AsinB 3 cosB(sinB cosC sinC cosB) 3 cos Bsin(B C) ，所以 sin AsinB 3cosBsin A，a b a b
uuur 1 uuur uuur 由 A (0, π)
π
，得 sin A 0，所以
M BC AM AB AC AB 1 AC 3 2 sinB 3 cosB
，即 tan B 3 ，因为 B (0, π)，所以 B .
20．解：（1）因为 为 的中点，所以 ，又
2 BC AC AB
， ， ， 3
1 若选②2 2AM BC AB AC AC AB 1 AC AB2 2
17
.
2 a2 b2 c2 1 a2 c2 b2 1 1
由余弦定理得 b c a，化简得 2 2 2 ，即 ，所以cosB .
uuur uuur uuur a c b ac 2ab 2 2
（2）由 AM
1
AB AC 2ac 2两边平方得2
因为 B (0, π) B
π
，所以 .
2 1 2 2 1 2 2 3AM AB AC 2AB AC AB AC 2 AB AC cos BAC4 4 ，
若选③
2 1 2 25
又 AB 1， AC 3 2， BAC 45 ，所以 AM 54 1 18 2 1 3 2 AM 2 4，即 .2 3 sin Bsin A 由正弦定理得 sin A，即 3 sinB sin A sin A(1 cosB)，
1 cos B
因为 N为 AC的中点，所以 BN AN
1
AB AC AB ，
2 因为 0 A π，所以 sin A 0，所以 3 sinB 1 cosB，所以 sin
π 1
B ，
1 2
6 2
2
所以 AM BN AB AC 1 1 1 1 AC AB AC AC AB AB 1 9 3 1 13 2 2 2 2 2 2 , π π 5π 2 4 又因为 B ，所以 B π .
6 6 6 3
2
BN 1 9 10 AC AB
3 1 ， a c c sin A2 2 2 c sin B 3 （2）在 ABC中，由正弦定理 ，得 a ，
13 sin A sinC
b
sinC sinC 2sinC
AM BN 13 10
又 MPN为 AM ,BN的夹角,所以 cos MPN 4
π
50 . 由（1）知： B 5 10 ，又 c 1代入上式得：AM BN 3
2 2
试卷第 1页，共 2页
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3 由函数 f x π π 的图象关于点 , 0 对称，可得 sin 0，而当 6n 3， n N时，
a2 b2 c2 2ab cosC 1 2( sin A 2 )cosC 1 3 sin A 3 sin(B C)
3 3
cosC 1 cosC
sinC sinC sin 2C sin 2C π
因为 6n 3 2nπ π ， n N，
3
3 sin(π C ) 3 cosC 1 sinC
1 32 cosC 1 3
2 2
2 cosC 1
3 3
kπ πk Z f x , 0
sin C sin C 2 tan2C 2 tanC 所以当且仅当 ， 时， 的图象关于点 对称， 3
π
0 C a
ABC 2 C
π π sin 0
因为 为锐角三角形，所以 2π π ，解得
, ， a2 b2
0 C 6 2 此时， ，
3 2 cos
b
1
a2 b21
所以 tanC 3 ， (0, 3)，
3 tanC b
∴ a 0， 1b ，2
a2 b2 1 3 3 3
1 3 7
所以 2 1 ,7 . π2 tan C 2 tanC 2 tanC 6 8 （i）当b 0， a 0时， f x bsin x，进一步要使 x 处 f x 取得最小值，6
π
23．解：（1）根据题意 f (x) OA OB bsin x acos x， 则有 sin 1，
6
当 a 3，b 1， 2时， f x sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x
π
π ， ∴ 2k1π
π
，故 12k1 3， k1 Z，
3 6 2
由 f (x) 1，可得sin 2x
π
1
， 又 0，则有 12k1 3，3 k N
*，
2
2x π 2kπ π则有 或 2x
π
2kπ 5π ， k Z， 6n 3,n N
3 6 3 6 因此，由 ，可得 12m 9 12k ，
m N，
3, k N * 1 1
x kπ π x kπ π
1
即 或 ， k Z，
12 4
（ii）当b 0,a 0时， f x b sin x π，进一步要使 x 处 f x 取得最小值，
又因为 x 0,2π 6，
sin π 则有
π 11π 5π 23π
1，
f x 1 6 故 在 0,2π 内的解集为 , , , ；
4 12 4 12
π 2k π π k Z
所以a 6 2
， 2 ，
2
（2）因为 f (x) OA OB b sin x a cos x a 2 b 2sin x ，其中 tan ，b
故 12k 3， k Z，
T 2π
2 2
则最小正周期 ，
又 0，则有 12k2 3， k2 N，
因为函数 f x π π须满足“图象关于点 , 0 对称，且在 x 处 f x 取得最小值”．
3 6
6n 3,n N
π π T n 因此，由 ，可得 12m2 3，m2 N；
因此，根据三角函数的图象特征可以知道， T ， 12k2 3,k2 N3 6 4 2
π 2π 2n 1 π π
故有
， 综上，使得函数 f x 满足“图象关于点 , 0 对称，且在 x 处 f x 取得最小值” 的等价条件是“当6 4 3 6
∴ 6n 3， n N， b 0， a 0时， 12m1 9，m1 N；或当b 0,a 0时， 12m2 3，m2 N ”．
试卷第 2页，共 2页
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