7.3离散型随机变量的数字特征
1.通过具体的实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差；
3.会应用均值、方差的性质解决题目
一、离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X … …
P … …
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离
程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
方差的变形：
二、均值与方差的性质
若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
则
考点01求离散型随机变量的均值
1．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
.
故选：B
2．已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用概率和为1计算出的概率，结合期望公式计算即可.
【详解】结合表格可知，
即，解得：，
所以.
故选:D.
3．（多选），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）
X 0 1 2
P
A．的值最大
B．
C．随着概率的增大而减小
D．随着概率的增大而增大
【答案】BD
【分析】本题可通过取得出A错误，然后通过得出B正确，最后通过得出C错误，D正确.
【详解】由，取，则，，A错误；
因为，所以，即，B正确，
，
因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，
故选：BD.
4．一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个，红色小球1个，每次从中取出一个，取出后不放回，当取出第二种颜色时即停止．设停止取球时，取球的次数为，则 ，则 .
【答案】
【分析】由题意分析可知的所有可能取值为，分别计算出其概率再利用期望公式求解可得.
【详解】依题意，若第一次取出的是红色小球，则第二次取出的小球一定是另一种颜色，即取两次球即停止，此时，
若第一次取出的是黑色或白色小球，当取出第二种颜色时即停止，取球次数为可能；
即的所有可能取值为；
，
；
；
所以.
故答案为：，；
5．从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则 ．
【答案】
【分析】
由题意分析离散型随机变量的所有取值，求出概率分布列计算期望即可．
【详解】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中，
，
张卡片上的数字之和分别为：，
所以．
故答案为：
6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则等于 ．
【答案】1.48
【分析】ξ的取值有1，3，计算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】随机变量ξ的取值有1，3两种情况，表示三个景点都游览了或都没有游览，
所以，，
所以随机变量的分布列为：
1 3
0.76 0.24
．
故答案为：1.48.
考点02均值的性质
7．已知离散型随机变量X的分布列为
-1 0 1
a
设，则Y的数学期望 ．
【答案】0
【分析】根据题意先求出，再求出，再结合期望的性质从而可求解.
【详解】由已知得，解得，
则，
.
故答案为：.
8．设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
【答案】
【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出.
【详解】由分布列的性质得，得，
从而，
而，
所以.
故答案为：.
9．已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若，且，则 ．
【答案】15
【分析】利用分布列的性质可求得，继而可求，再利用期望的性质可求.
【详解】由分布列的概率之和为1可得：，解得，
．
故答案为：15.
10．设离散型随机变量的期望为，则 ．
【答案】
【分析】根据数学期望的性质可求答案.
【详解】．
故答案为：
11．已知，则 .
【答案】
【分析】
直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案.
【详解】
由，可得.
故答案为：
考点03利用均值求参数
12．设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
【答案】/0.5
【分析】
根据X的数学期望和分布列的概率之和为1列出方程组，求出即可.
【详解】依题意有，解得，
则.
故答案为：.
13．已知随机变量X取可能的值1，2，3，…，n是等可能的，且，则 .
【答案】19
【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可.
【详解】因为随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，
所以，
所以，
所以，解得.
故答案为：19.
14．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为个，且，
则口袋中共有黑球 个．
【答案】4
【分析】设黑球有个，分和两种情况讨论，写出的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式即可得解.
【详解】设黑球有个，
当时，可取，
则，
则，
故与题意矛盾，所以，
当时，可取，
则，
，
，
则，
解得，
即口袋中共有黑球个.
故答案为：.
15．已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【答案】
【分析】
根据分布列的性质以及期望公式即可求出的值.
【详解】由，
可得，，，
所以，则，
又，则.
故答案为：；.
16．离散型随机变量的可能取值为，，，则 ， ．
【答案】
【分析】根据概率之和等于以及列方程，解方程即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
，
整理可得：，
由 可得：，
故答案为：；.
考点04求离散型随机变量的方差、标准差
17．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
【答案】C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
18．已知随机变量的分布列为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则（ ）
A．7 B．5 C．4.8 D．4.2
【答案】D
【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
19．（多选）已知随机性离散变量的分布列如下，则的值可以是（ ）
0 1 2
A． B． C． D．1
【答案】ABC
【分析】先根据分布列中所有概率和为1得进而得出的取值范围，再求得，最后根据方差公式求，利用二次函数性质即可求得的值域，得出结果.
【详解】由题知，解得：，
由题得：，则，
所以，
，
因为，所以，所以.
故选：ABC
20．若p为非负实数，随机变量的分布列如下表，则的最大值为 ，Dξ的最大值为 ．
0 1 2
【答案】 /1.5 1
【分析】首先求出的范围，再根据均值和方差公式结合一次和二次函数性质即可得到最值.
【详解】由题意得，解得，
；
，
所以当时，的最大值为
故答案为：；1.
21．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意得到的取值为0，1，2，列出分布列，求出数学期望，再计算方差即可.
【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.
则，，.
故的分布列为
0 1 2
P
则，
所以.
故答案为：
考点05方差的性质
22．设随机变量的概率分布为：
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据随机变量的分布列求出随机变量的期望和方差，再根据求出.
【详解】
由题意知，，
故，
所以.
故选：D.
23．已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
计算出的值，结合方差的性质可求得的值.
【详解】由分布列可得，
所以，，
又因为，则.
故选：A.
24．若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
【答案】C
【分析】
根据方差的性质直接运算即可.
【详解】.
故选：C
25．（多选）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
26．离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
【答案】
【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可.
【详解】由题意及方差定义知，所以.
故答案为：
27．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
【答案】
【分析】
利用均值的性质有求参数，再由方差性质求新数据方差即可.
【详解】由题设，则，
所以.
故答案为：
考点06求两点分布的均值与方差
28．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
29．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断.
【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则，
故，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
30．若随机变量的分布列为
0 1
其中，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解.
【详解】依题意，可知服从两点分布，
又，则，
所以，.
故选：D.
31．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解.
【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.
32．随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出，，再根据两点分布的方差公式计算可得；
【详解】解：由题意，得，∴，．
由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故．
故选：D
33．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
考点07方差的期望表示
34．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据给定条件，列出分布列，再利用期望、方差定义计算作答.
【详解】依题意，的分布列为：
0 1
0.2 0.8
因此.
故选：D
35．（多选）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据均值与方差的性质即可判断AB；根据均值与方差的关系即可判断CD.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确.
故选：ABD.
36．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【答案】1
【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值.
【详解】，，
，，
，
当时，.
故答案为：1
37．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ．
【答案】/
【分析】先求出期望，借助期望求方差.
【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，
,
因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，
,
故答案为：
38．随机变量的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【分析】由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
故答案为：20
考点08均值与方差在决策中的作用
39． 年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.
(1)求的值
(2)求、的值
(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：
方案一：奖励现金红包元.
方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.
求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.
附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.
方案二奖励 元 元 元
概率
【答案】(1)
(2)，
(3)，答案见解析
【分析】
（1）根据两公司样本送餐数平均值相同，可得出关于的等式，解之即可；
（2）在公司中，送餐数在区间和送参数在区间的员工人数之比为，结合频率分布直方图可求得的值，利用所有直方图面积之和为可求得的值；
（3）利用独立重复试验的概率公式求出，并求出、，可得出方案一、二综合收益的期望，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：因为两公司样本送餐数平均值相同，
则，
则.
（2）解：因为公司中，送餐数在区间和送餐数在区间的员工人数之比为，
则，可得，
由频率分布直方图可知，.
（3）解：由题意知，，，
方案一的综合收益满足，
方案二综合收益满足，
，
由可得，解得，
故当时，方案一较优；
由可得，解得，
故当时，方案一和方案二收益相同；
由可得，解得，
故当时，方案二较优.
40．矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获
得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
(1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
(2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案
【答案】(1)分布列见解析；
(2)乙应选择两种果树各种植3公顷
【分析】（1）依题意，分析得的可能取值及对应的概率，从而得解；
（2）依题意，求得全种植的收益期望与各种一半的收益期望，比较之即可得解.
【详解】（1）依题意，当均种植成功时，，此时，
当种植不成功，种植成功时，，此时，
当种稙成功，种植不成功时，，此时，
当均种植不成功时，，此时，
所以的可能取值为：，的分布列为：
16.5 7.5 6
数学期望为.
（2）全种植的收益期望为万元，
由（1）得，各种一半的收益期望为万元
因为，
乙应选择两种果树各种植3公顷.
41．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期
望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【答案】(1)分布列见解析，方差为180
(2)答案见解析，理由见解析
【分析】
（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差；
（2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得.
【详解】（1）
设，，
依题意得①，又②，
由①②解得：，．
∴X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则．
（2）由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则，
．
由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．
42．根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案.
方案1：运走设备，此时需花费3800元．
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大供水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元．
试比较哪一种方案好.
【答案】方案2较好
【分析】计算出各种方案花费与期望损失之和即可.
【详解】对于方案1，花费为3800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3800元.
对于方案2，花费为2000元，损失费的概率分布如下表所示，
损失费/元 60000 0
概率 0.01 0.99
期望损失为（元），所以花费与期望损失之和为（元）.
对于方案3，花费为0元，损失费的概率分布如下表所示，
损失费/元 60000 10000 0
概率 0.01 0.25 0.74
期望损失为（元），所以花费与期望损失之和为3100元．
比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与期望损失之和最小，故方案2较好．
基础过关练
1．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P a b
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
故.
故选：B
2．若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解.
【详解】根据题意，可得，解得，所以.
故选：C.
3．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以，
又，所以解得，，
所以，，
故选：A
4．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，分别求出选项中的方差，根据方差的大小即可判断标准差的大小，结合选项即可求解．
【详解】
对于A
，
所以，
对于B
，
所以，
对于C
，
所以，
对于D
，
所以，
故选：C
5．（多选）设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
根据题意可知，结合求得，进而逐项分析判断.
【详解】由题意知，
则，解得，
可得，，．
故选：AC．
6．（多选）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.
【详解】由题知解得，A选项正确；
所以，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：ABC.
7．已知随机变量的分布列如下：
1 2 3
0.1 0.7 0.2
则数学期望 .
【答案】2.1
【分析】
根据数学期望的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意得数学期望，
故答案为：2.1
8．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为 ．
【答案】/0.1875
【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得.
【详解】依题意，的取值为0，1，且，，
则的期望，
所以的方差.
故答案为：
9．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分布列性质求得a的值，即可求得的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.
【详解】依题意知，则，则，
设，则，
故，所以，
当时，取最小值，
故答案为：
10．为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为.
(1)求的值；
(2)设终止时比赛局数为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可；
（2）依题意的所有可能值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为，则乙在每局比赛中获胜的概率为，所以，
解得或，又，所以.
（2）依题意的所有可能值为，，.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
该轮结束时比赛继续的概率为.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有，，，
故的分布列如下：
2 4 6
所以.
11．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？
【答案】当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利．
【分析】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，求出X的可能值及对应概率，再求出期望求解即可.
【详解】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，
则X的取值为和，，，
所以，解得，
又，因此，
即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利．
12．荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得；
（2）列出随机变量X的所有可能的值，分别求出每个值对应的概率，列出分布列，求出期望值.
【详解】（1）因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，
则前3局甲都取胜的概率为.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.
其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；
表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，
则；
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为.
能力提升练
1．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．
【详解】随机变量的取值为0,1,2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，
，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
2．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可.
【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
则，
故选：C.
3．已知随机变量的分布列是
0 2
P
随机变量的分布列是
3 5 7
P
下列选项中正确的是（ ）
A． B．当p增大时，递减
C． D．当p增大时，递增
【答案】D
【分析】利用随机变量的期望公式、方差公式结合函数的性质一一判定选项即可.
【详解】由离散型随机变量的期望公式可知，
，显然A，B错误；
由离散型随机变量的方差公式可知：，
，
即，故C错误；
由，由二次函数的单调性可知D正确.
故选：D
4．（多选）将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则的概率为
C．
D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，记总抽取次数为，则
【答案】AC
【分析】依题意，X的可能取值有3，4，5，Y的可能取值有3，4，5，求出相应的概率，再利用公式求出期望可验证选项ACD，计算条件概率验证选项B.
【详解】设从甲袋第一次就取到了黑球为事件A，则，设为事件B，
则，所以，B选项错误；
X可能的取值为3，4，5，
，，，
，
选项AC正确；
Y可能的取值为3，4，5，
，，，
，
，选项D错误
故选：AC
5．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】列出分布列，根据均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值.
【详解】设得分为，则
0 1 3
c b a
由均值为，且，
则，
当且仅当时等号成立．
故答案为：.
6．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视
频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】(1)分布列见详解
(2)先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解.
【分析】（1）由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解；
（2）设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解.
【详解】（1）由题意的所有可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为
（2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下：
由（1）可知，
甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
，
所以，
所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.
7．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为 ，每次中奖与否相互不影响. 中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由.
【答案】(1)
(2)不会，说明见解析
【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，确定其可能的取值，求得每个值对应的概率，即可求出，从而求得200名顾客获得奖金的期望，与促销活动的经费比较，即得结论.
【详解】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，
则，
，
故；
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为，
则，
，
，
，
则（元），
故，
故该活动不会超过预算.
8．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，，
，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为．
故答案为：.7.3离散型随机变量的数字特征
1.通过具体的实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征；
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差；
3.会应用均值、方差的性质解决题目
一、离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X … …
P … …
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离
程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
方差的变形：
二、均值与方差的性质
若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
则
考点01求离散型随机变量的均值
1．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
2．已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
3．（多选），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）
X 0 1 2
P
A．的值最大
B．
C．随着概率的增大而减小
D．随着概率的增大而增大
4．一个盒子中有黑、白颜色的小球各3个，红色小球1个，每次从中取出一个，取出后不放回，当取出第二种颜色时即停止．设停止取球时，取球的次数为，则 ，则 .
5．从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则 ．
6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则等于 ．
考点02均值的性质
7．已知离散型随机变量X的分布列为
-1 0 1
a
设，则Y的数学期望 ．
8．设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
9．已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若，且，则 ．
10．设离散型随机变量的期望为，则 ．
11．已知，则 .
考点03利用均值求参数
12．设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
13．已知随机变量X取可能的值1，2，3，…，n是等可能的，且，则 .
14．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为个，且，则口袋中共有黑球 个．
15．已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
16．离散型随机变量的可能取值为，，，则 ， ．
考点04求离散型随机变量的方差、标准差
17．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
18．已知随机变量的分布列为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则（ ）
A．7 B．5 C．4.8 D．4.2
19．（多选）已知随机性离散变量的分布列如下，则的值可以是（ ）
0 1 2
A． B． C． D．1
20．若p为非负实数，随机变量的分布列如下表，则的最大值为 ，Dξ的最大值为 ．
0 1 2
21．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ．
考点05方差的性质
22．设随机变量的概率分布为：
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
23．已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
25．（多选）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
26．离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
27．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
考点06求两点分布的均值与方差
28．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．若随机变量的分布列为
0 1
其中，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
31．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，
则（ ）
A． B． C． D．
32．随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
33．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点07方差的期望表示
34．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
35．（多选）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
36．若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
37．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ．
38．随机变量的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
考点08均值与方差在决策中的作用
39． 年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.
(1)求的值
(2)求、的值
(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：
方案一：奖励现金红包元.
方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.
求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.
附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.
方案二奖励 元 元 元
概率
40．矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
(1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
(2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案
41．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
42．根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案.
方案1：运走设备，此时需花费3800元．
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大供水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元．
试比较哪一种方案好.
基础过关练
1．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P a b
A． B． C． D．
2．若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（多选）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知随机变量的分布列如下：
1 2 3
0.1 0.7 0.2
则数学期望 .
8．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
0 1
则的值为 ．
9．随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的最小值为 .
10．为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为.
(1)求的值；
(2)设终止时比赛局数为，求的分布列与期望.
11．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？
12．荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
能力提升练
1．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
2．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知随机变量的分布列是
0 2
P
随机变量的分布列是
3 5 7
P
下列选项中正确的是（ ）
A． B．当p增大时，递减
C． D．当p增大时，递增
4．（多选）将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球．采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止．记总抽取次数为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．已知从甲袋第一次就取到了黑球，则的概率为
C．
D．若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，记总抽取次数为，则
5．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ．
6．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
7．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为 ，每次中奖与否相互不影响. 中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.
(1)已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.
(2)在（1）的条件下，已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算 请说明理由.
8．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ．
