山东省淄博市实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试卷（含答案）

淄博市实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷 2024.04.13
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．等比数列满足，，则（ ）
A．30 B．62 C．126 D．254
2．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个．
A．24 B．30 C．36 D．60
3．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项数列满足对任意正整数n，均有，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．有三个极值点 B．为函数的极大值
C．为的极小值 D． 有两个极小值
10．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数有两个零点
11．已知数列：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列，，且的所有项的和为，则以下判断正确的是（ ）
A．的项数为 B．
C．中0的个数为203 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
13．若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是 ．
14．已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数在处取得极大值．
(1)求的值； (2)求在区间上的最大值．
16．（15分）已知数列的首项，且满足．
(1)证明数列为等比数列；(2)若记数列的前n项和为，求
17．（15分）已知函数，．
(1)讨论的单调性；(2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．
18．（17分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，证明：．
19．（17分）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
淄博市实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考 数 学 参考答案
1．C. 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．ABD 10．AB 11．ABC
7. 由题意知正项数列满足对任意正整数n，均有，，
故，
，
故， 故，
令，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，
，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，
即当时，不存在整数使得点在直线下方，
当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，
因此有，解得，所以的取值范围是.
10.对于A，，所以，
所以在点处的切线方程是，即，故A正确；
对于B，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，令，则，所以，
而，由零点存在定理可知的零点，即函数有极大值，且极大值点，故B正确；
对于C，由以上分析可知在单调递减，且，所以，故C错误；
对于D，，所以只有唯一的一个零点即.
11．设数列的项数为一个数列，因为中有项，即，
根据题意：在作用下，每个0都变为“”，每个2都变为“”，所以有，
由此可知数列为首相，公比的等比数列，所以的项数为，故A正确；
根据变换规则，若数列的各项中，与的个数相同，则与之相邻的下一个数列中与的个数也相同；
若比多个，则与之相邻的下一个数列中比的个数少个，
若比少个，则与之相邻的下一个数列中比的个数多个，
因为中有项，其中个，个，比少个，所以的项中，比的个数多个，
以此类推，若为奇数，则数列的各项中比少个，若为偶数，则数列的各项中比多个，
中，项数为个，为偶数，2的个数为，所以，所以B正确；
中共有项，其中为奇数，所以数列中有个，所以C正确；
D选项，的值与的奇偶有关，所以D错误.
12． 13． 14．
13.【详解】函数的导函数为，令（其中舍去），当时，，当时，，所以原函数在时取得极小值，则有，所以取值范围为，
14．【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列，
所以，则，
所以，
则在上恒成立，
要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为.
15．【详解】（1）由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
16．（1）因为，所以，
，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，则．
则，
令，
令 ①所以 ②
①②相减得：，
得． 所以.
17．【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，解得，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上可得：当时在上单调递减；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），则，令，即，
令，则，令，则，
所以当时，则单调递减，
当时，则单调递增，又，，当时，
所以当时，则单调递减，当时，则单调递增，
所以，所以方程无实根，
所以函数与的图象无交点.
18．【详解】（1）由已知可得，则，
令，则，所以在R上单调递增，
又，所以时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由条件可得恒成立，令，
则，又，
所以时，，函数单调递增，所以，
①当时，，所以函数单调递增，，不等式显然成立．
②当时，函数单调递增，又，所以存在，使得成立，
当时，，函数单调递减，又，显然不恒成立．所以综上所述．
（3）证明：要证，即证．
①当时，，而，所以不等式成立．
②当时，，由（1）知：时，，
所以，；
所以只需证．
令，则，所以在单调递减，所以，
即． 故只需证 即证：．由（2）知，上述不等式成立．
③当时，不等式等号显然成立，
综上，当时，．
19．【详解】（1）若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去；
若，则，得， 而，解得或，
故或.
（2）设等差数列的公差为，
因为，则，则，
由，得，
而，故，
两式相减得，即， 又，得，
所以.
（3）记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则得，
故，所以.
若存在，使得，即，
则，
且.
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则
因为，所以. 所以；
又，则. 所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”.