第1章三角形的证明 解答题专题提升训练 2023—2024学年北师大版八年级数学下册 含答案

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E．
（1）若∠C＝72°，求∠B、∠1的度数；
（2）若BD＝6，AC＝7，求△AEC的周长．
2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
4．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
6．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，连接交于点E，连接交于点F．
(1)求证：；
(2)判断形状，并说明理由．
7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
10．如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．
（1）求证：AC∥BD；
（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．
11．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
13．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 　 　cm．
15．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD＝∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC＝∠B．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
18．如图，为的角平分线．
(1)如图1，若于点F，交于点E，，，求；
(2)如图2，于点G，连接，若的面积是5，求的面积．
19．已知在中，，，分别过A、B向过点C的直线做垂线，垂足分别是D、E．
(1)如图1，若，直接写出、、之间的等量关系_______．
(2)如图2，若，的延长线交于点F，交于G，若F是中点，求证：
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A．
(1)线段 ．
(2)点C为直线上一动点．
①若点C的坐标为，求直线的解析式．
②求线段的最短距离．
(3)N是y轴上的一点，当为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
参考答案
1．解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，
∴BE＝AE，∠ADE＝∠BDE，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝∠3+∠4＝72°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠3＝∠B＝36°，
∴∠1＝90°﹣∠3＝54°；
（2）∵BD＝6，
∴AB＝2BD＝2×6＝12，
∴BC＝12，
∵AE＝BE，
∴AE+CE+AC＝BC+AC＝12+7＝19．
即△AEC的周长为19．
2．解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB ED+AC DF＝DE（AB+AC）＝15，
∵AB＝6，AC＝4，
∴×10×DE＝15，
∴DE＝3．
3．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
4．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
5．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
6．（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
，
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
7．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
8．（1）解：过点P作PF⊥BE于F，
∵点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：∵点P在∠ACE的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PD，
∵PF＝PH，
∴PD＝PH，
∵PD⊥AC，PH⊥BA，
∴点P在∠HAC的平分线上．
9．证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD＝∠CBF＝90°，
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．
∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
10．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BDA，
∴AC∥BD；
（2）解：作FG⊥AB于G，
在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，
∴BE＝＝＝，
∴FE＝BE﹣BF＝﹣＝，
∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，作FG⊥AB，
∴FG＝FE＝，即△ABF中AB边上的高为．
11．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
12．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）AB＝2AC，
理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC；
（3）方法一、过E作EM⊥AB于M，
∵AC＝2.5，∠ACB＝90°，∠B＝∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
设CE＝2，则AE＝2x，
由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，
即2.52+x2＝（2x）2，
解得：x＝，
即CE＝，
∵AE平分∠CAB，∠ACB＝90°，EM⊥AB，
∴EM＝CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝5×＝；
方法二、由勾股定理得：BC＝2.5，
∵CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝××2.5＝．
13．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
14．解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长13，
∴AD+DE+EA＝13，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；
（2）连接OB，OC，
∵△OBC的周长为27，
∴OB+OC+BC＝27，
∵BC＝13，
∴OB+OC＝14，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝7（cm），
故答案为：7．
15．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，
即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠B，
∠BAD＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠B．
17．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
18．（1）解：为的角平分线，，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
则；
（2）解：如图延长，交于，
同理，可得是等腰三角形，，
设，
则，
，
则有，
．
19．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图所示，过B作于B，延长交于H，
F为中点，
，
，
，
设，
在中，，
，
过A、B向过C的直线作垂线，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）得：，，，，
在和中，
，
，
，
延长至M，使，连接、，
、相交于F，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
20．（1）解：直线交x轴于点B，交y轴于点A，
令，则；令，则，解得：，
，，
，，
由勾股定理得：，
故答案为：5；
（2）解：①设直线的解析式为，
点C的坐标为，
，
，
即直线的解析式为；
②由垂线段最短可知，当时，线段的距离最短，
设，
，
，
解得：，
即线段的最短距离为；

（3）解：①当时，为等腰三角形时，

，
，
点N的坐标为；
②当时，为等腰三角形时，

设点N的坐标为，
，，
，，
解得：，
点N的坐标为；
③当时，为等腰三角形时，

，
当点在点下方时，，即点N的坐标为；
当点在点上方时，，即点N的坐标为；
综上可知，当为等腰三角形时，点N的坐标为或或或．