湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含详细答案解析）

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湘教版初中数学八年级下册期中测试卷
考试范围：第一二三章；考试时间：120分钟；分数：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，，为上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，为的中点，则线段长的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是( )
A. B. C. D.
4.下列中国能源企业的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，根据这个规律探索可得，第个点的坐标为
( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，将沿直线向上平移得到，的纵坐标为，若，则点的坐标为
．( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，平分，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图中，分别延长边，，，使得，，，若的面积为，则的面积为
( )
A. B. C. D.
9.如图，正方形的边长为，点从点出发沿着线段向点运动不与点，重合，同时点从点出发沿着线段向点运动不与点，重合，点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点、则有下列结论：
是定值；平分；当运动到中点时，；当时，四边形的面积是其中正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则( )
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中，若将原图形上的每个点的纵坐标都加，横坐标保持不变，则所得图形的位置与原图相比( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位
12.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点，的坐标分别为，，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第次旋转后，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一只跳蚤在第一象限及轴、轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到，然后接着按图中箭头所示方向跳动即，且每秒跳动一个单位，那么第秒时跳蚤所在位置的坐标是 ．
14.如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
15.在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于 ．
16.在中，，，，为上一动点，连接，过作与点，连接，则的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
问题解决：如图，在四边形中，，，平分．
如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；
在图中，求证；
拓展探究：根据的解题经验，请解决如下问题：如图，在等腰中，，平分，求证．
18.本小题分
如图，点是等边内一点，，以为一边作等边三角形，连接，．
当时，试判断的形状，并说明理由
探究：当为多少度时，是等腰三角形
19.本小题分
已知：在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分別交、、于点、、，且，．
若，，求的值；
连接，证明：．
20.本小题分
如图，已知正方形，点是边延长线上的动点不与点重合，且，由平移得到若过点作，为垂足，则有以下结论：点位置变化，使得时，；无论点运动到何处，都有；无论点运动到何处，一定大于其中正确的结论为______填写序号．
21.本小题分
如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且求证：．
如图，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，且，判断与是否相等？并说明理由．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，．
求，，的值；
如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
在的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
如图，已知点，、，满足将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接、．
请直接写出点和点的坐标；
点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
在的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
24.本小题分
【了解概念】
如图，已知，为直线同侧的两点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．
【理解运用】
如图，在中，为上一点，关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点、关于直线的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】
如图，在的条件下，若点是射线上一点，且点、关于直线的“等角点”为点，请利用无刻度的直尺和圆规在图中确定点的位置；
如图，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为．
25.本小题分
如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，过点作交于点，．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接，，设交于点，
，为的中点，
，
点在线段的垂直平分线上，
为等边三角形，
，
点在线段的垂直平分线上，
为线段的垂直平分线，
，，
点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足，
，，
，，
则在和中，
，
≌．
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
．
故选：．
连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，从而可判定≌，然后由全等三角形的性质可得答案．
本题考查了含的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当与重合时，的值最小，则的值最小．
设与交于点，作于首先求出，当与重合时，的值最小，的最小值，从而求解．
【解答】
解：设与交于点，作于如图所示：
在中，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
解得，
，
当与重合时，的值最小，则的值最小，
的最小值．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在上找到点，使点到点和点的距离之和最小是本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，可得点到点和点的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，
点，将对角线三等分，且，
，，
点与点关于对称，
，，
，
，
则在线段存在点到点和点的距离之和最小为，
在点右侧，当点与点重合时，
则，
点在上时，
，
在点左侧，当点与点重合时，
，
，，，
≌，
，
，
点在上时，，
在线段上点的左右两边各有一个点使，
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有个点满足，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故不符合题意；
不是中心对称图形，故不符合题意；
不是中心对称图形，故不符合题意；
是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形的识别，解本题的关键在熟练掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合，那么这个图形叫中心对称图形．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是图形规律问题，点的坐标的确定的有关知识，由图形得出点的个数依次是、、、、、，且横坐标是偶数时，箭头朝上，又由，，可得第个点的坐标为，第个点横坐标为，继而求得答案．
【解答】
解：由图形可知：点的个数依次是、、、、、，且横坐标是偶数时，箭头朝上，
，，
第个点的坐标为，第个点横坐标为．
在第列点的走向为向上，
纵坐标为从第个点向上数个点，即为；
第个点的坐标为．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：点的纵坐标为，
，
解得，
所以，点的坐标为，
沿直线向上平移得到，，
的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据直线解析式求出点的横坐标，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小确定出点的横坐标与纵坐标，然后写出即可．
本题考查了坐标于图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，难点在于读懂题目信息并求出点的坐标．
7.【答案】
【解析】解：过点作于点，于点，如图，
平分，
，
，
，
，
平分，，，
：：：，
：：，
：：，
设，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，解得，
．
故选：．
由角平分线的定义得到，再证明，，根据角平分线的性质得到，接着利用面积法证明：：，则设，，，然后证明≌得到，所以，利用勾股定理得到，解得，从而得到的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．连接和，要求三角形的面积，可以分成三部分来分别计算，三角形是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积．
【解答】
解：连接和，
，
，，
，
，
，
同理可以求得：，则；
；
，
故选D．
9.【答案】
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的综合．根据题意可证，可判定结论；条件不足无法判定结论；根据当点运动到中点时，点从点同时出发，则点运动到中点，再结合勾股定理可判定结论；根据可判定结论，由此即可求解．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，
在，中，
，
，
，
，
，
，即是定值，故结论正确；
由结论可知，，
四边形是正方形，
，
无法证明，
无法确定平分，故结论错误；
当点运动到中点时，且，
点从点同时出发，
点运动到中点，
，
，
点是中点，
，故结论正确；
由结论正确可知，，
，
，
若，即，
在中，，
，则，
，
四边形的面积是，故结论正确；
综上所述，正确的有，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的定义以及多边形的内角和、三角形的内角和定理，关键是先求出的度数．
先求出的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解的度数．
【解答】
解：四边形中，，
因为和分别为、的平分线，
所以，
则
故选：．
11.【答案】
【解析】解：将原图形上的每个点的纵坐标都加，横坐标保持不变，
所得图形的位置与原图相比向上平移了个单位长度．
故选：．
根据点坐标平移特点：向左平移，横坐标减，向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加，向下平移，纵坐标减进行求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知点坐标平移的特点是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在正方形中，点的坐标为，
点．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
．
由题意，可得风车第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为；第次旋转结束时，点的坐标为．
将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，
旋转次为一个循环．
，
经过第次旋转后，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，为；
故选：．
根据风车绕点顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，进行求解即可．
本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，
表示秒后跳蚤所在位置；
表示秒后跳蚤所在位置；
表示秒后跳蚤所在位置；
表示秒后跳蚤所在位置；
表示秒后跳蚤所在位置；
，
则第秒时跳蚤从位置再跳秒，即．
故答案为：．
由题目中所给的跳蚤运动的特点找出规律，即可解答．
本题考查了规律型中点的坐标变化，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定跳蚤运动中点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解题的关键．
过点作直线，以直线为对称轴作点的对称点，连接，，，证明，求得，根据三角形三边关系可知当点，，共线时，的最小值是．
【解答】
解：如图，过点作直线，以直线为对称轴作点的对称点，连接，，，
设与交于点，与直线交于点，则，，．
由，，
易得，，
．
由平移的性质可知，
．
，，，
，．
在中，，
，
，
．
在中，由三角形的三边关系可得，
当点，，共线时，，即的最小值是．
故答案为：．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
分两种情况，过作于，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：第一种情况，如图
过作于，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，
，
平行四边形的面积，
第二种情况，如图
过作交的延长线于点，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，
，
平行四边形的面积，
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了三角形三边的关系．
作于，连接，如图，利用等腰三角形的性质得，再利用三角形面积计算出，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，然后根据三角形三边的关系得当且仅当、、共线时取等号，从而可确定的最小值．
【解答】
解：作于，连接，如图，
，
，
，
，
，
为的斜边上的中线，
，
当且仅当、、共线时取等号，
即，
的最小值为．
故答案为．
17.【答案】解：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
证明：如图中，作于，于．
平分，，，
，
，，
，
在和中，
≌
．
如图，在 时截取 ，连接 ，
，，
，
平分，
，
，
，即， 由的结论得 ，
，
，
，
，
．

【解析】解：根据角平分线的性质定理可知．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边的距离相等．
故答案为角平分线上的点到角的两边的距离相等．
见答案．
见答案．
根据角平分线的性质定理即可解决问题；
如图中，作于，于只要证明≌即可解决问题；
如图中，在时截取，，连接首先证明，再证明≌，推出，，推出，推出，由此即可解决问题；
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18.【答案】解：是直角三角形．
理由如下：
和是等边三角形，
，，．
．
在和中，
．
．
，
．
又，
．
是直角三角形．
设，，，，
则，，，
，即．
分三种情况讨论：
要使，需，
要使，需，
．
要使，需，
．
综上所述，当为或或时，是等腰三角形．

【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
由等边三角形的性质可得，再证出，求出的度数，即可解答．
先求出的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
19.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
；
证明：过点作，交延长线于，如图所示：
≌，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
证明，，由证得≌得出，即可得出结果；
过点作，交延长线于，由≌，得出，由证得≌得出，由证得≌得出，，则是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
20.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
由题可得，，
，
四边形是正方形，，
，，，
，
≌，
，，
，是等腰直角三角形，
，故正确；
当时，，
，
中，，
即，故正确；
点是边延长线上的动点不与点重合，且，
，
，故正确．
由上可得正确结论的序号为．
故答案为：．
正确．证明，即可得出结论．
正确．证明是等腰直角三角形即可．
正确．证明，即可判断．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
21.【答案】证明：
又正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即；
与相等，
理由：作，，
正方形，
，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
又，
，
结论知，
．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定，可以证明≌，从而可以解答本题；
作平移变化，然后根据平行四边形的性质和中的结论即可解答本题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：由已知，及，
可得，，．
，，
．
．
，
，
，
存在点，使．
【解析】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法．
用非负数的性质求解；
把四边形的面积看成与的面积和，用来表示即可；
可求，是已知量，根据题意，列方程解答即可．
23.【答案】【小问详解】
，
，，
，，
，；
【小问详解】
将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，，，
，，
，，，，
，
四边形的面积等于，
点在点的上方，
；
【小问详解】
的值不会变化，理由如下：
如图，当点在线段上时，
，，
；
如图，当点在的延长线上时，
，
，
综上所述，的定值为．

【解析】【分析】根据平方数和绝对值的非负性即可得出答案；
由平移的性质可得，，即可得到，，，，由面积关系即可求解；
分点在线段上，还是点在线段的延长线上两种情况分类讨论，由面积和差即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平移的性质，三角形的面积公式等知识，分类讨论思想是本题的关键．
24.【答案】解：点是点，关于直线的“等角点”，
理由：点，关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
，
点是点，关于直线的“等角点”．
如图，
作法：，以为圆心，长为半径作弧，交与、；
连接，以为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点；
作射线交于点，
点就是所求的点．
理由：由作法得，，
在和中，
，
，
点，关于直线的“等角点”为点，
点就是所求的点．
如图，作于点，于点，作于点，
点到的距离为，
，
，的平分线交于点，
，，
，
点在的平分线上，
连接，设直线交于点，
直线垂直平分边，
，
，
点为点，关于直线“等角点”，
，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，平分，
的最小值为线段的长，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．

【解析】【分析】由垂直平分，得，则，而，则，所以点是点，关于直线的“等角点”；
按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点，则点，关于直线的“等角点”为点；
作于点，于点，于点，则，由角平分线的性质得，则点在的平分线上，连接，设直线交于点，交于点，则，所以，由点为点，关于直线“等角点”，得，则，可证明、、三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
四边形是菱形；
解：如图，连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
根据矩形性质先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
连接，根据菱形的性质证明，然后根据勾股定理即可解决问题．
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