2023-2024学年湖南省益阳市部分学校期末联考试题卷九年级上册数学(含解析)

九年级数学（问卷）
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有1个选项符合题意。请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置）
1．下列关系式中，是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．
根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（　　）
A．李飞或刘亮 B．李飞 C．刘亮 D．无法确定
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与是位似图形，是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（ ）

A． B． C． D．
9．如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃．为方便进出，在边上留有一个宽的小门．设的长为，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则值是（ 　 ）
A． B．15 C． D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）
11．函数中自变量的取值范围是 ．
12．已知关于的方程的一个根是，则 ．
13．如图，已知，若，．则的长为 ．
14．根据《山西省教育厅关于组织参加第五届中华经典诵写讲大赛的通知》，某校组织了“笔墨中国”的汉字书写征文大赛，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两副不完整的统计图．若该校共征集到400份作品，请估计等级为的作品约有 份．
15．如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆CD的高度为 ．（结果保留根号）
16．如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共56分。）
17．选择适当方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加5件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元；
（2）若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元．
19．为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是________度；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
20．新元学校科技社团赵翔同学借助无人机，测量坡角为的滑行跑道斜坡部分的长度．如图所示，水平飞行的无人机在点处测得跑道斜坡的顶端处的俯角，底端点B处的俯角，点C，B，F在同一条水平直线上，米．（所有计算结果精确到1米．参考数据：，，..，，，）
(1)求无人机的飞行高度．
(2)求滑行跑道的长度．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接．
(1)求一次函数解析式和反比例函数解析式；
(2)点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标；
(3)直接写出不等式的解集．
22．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
参考答案
1．【答案】B
【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解
【详解】解：由反比例函数的定义可知，B选项符合题意；
故此题答案为B
2．【答案】B
【分析】
结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
3．【答案】B
【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
【详解】解：根据题意得，
所以．
故选：B．
【关键点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．
4．【答案】C
【详解】【分析】根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出判断．
【详解】李飞的成绩为5、8、9、7、8、9、10、8、9、7，
则李飞成绩的平均数为=8，
所以李飞成绩的方差为×[（5﹣8）2+2×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]=1.8；
刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，
则刘亮成绩的平均数为=8，
∴刘亮成绩的方差为×[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]=0.6，
∵0.6＜1.8，
∴应推荐刘亮，
故选C．
【关键点拨】本题主要考查折线统计图与方差，根据折线统计图得出解题所需数据、熟练应用平均数及方差的计算公式进行求解是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】此题主要考查比例的性质，根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故此题答案为D.
6．【答案】D
【分析】本题考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵与是位似图形，位似比为，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．【答案】C
【分析】由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，cosA=，
∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°= ．
故选：C．
【关键点拨】考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．
8．【答案】C
【分析】
如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．
【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故选C
【关键点拨】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
9．【答案】B
【分析】解：设的长为，则，根据面积为列出方程即可．
【详解】解：设的长为，则，根据题意得：
，故B正确．
故此题答案为B．
【关键点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系，列出方程．
10．【答案】A
【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入(x＞0)，求出k的值即可．
【详解】解：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=3，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=5，OC=3，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=，5+=，
∴点E坐标为：（，）．
∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点E，
∴k=，
故此题答案为：A．
【关键点拨】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．
11．【答案】
【分析】
根据反比例函数自变量取值范围计算即可；
【详解】
函数中，自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．
12．【答案】
【分析】
将代入，方程，解关于一元一次方程，即可求解，
此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：掌握方程的解的定义．
【详解】解：将，代入，得：，解得：，
故此题答案为：．
13．【答案】
【分析】此题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故此题答案为：．
14．【答案】120
【分析】
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图中用样本估计总体，先根据等级C的占比和份数求出样本总量，进而求出等级A的占比，再用A的占比估计总体即可．
【详解】解：
，
则等级为的作品约有120份．
故答案为：120．
15．【答案】
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由平行线的性质可知∠ADB＝∠EAD＝45°，故可得出AB＝BD＝9m，再根据正方形的判定定理得出四边形ABDE是正方形，故可得出AE＝BD，由锐角三角函数的定义求出CE的长，进而可得出结论．
【详解】如图，过点A作AE⊥CD于点E，
∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴AB＝BD＝9m．
∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD，
∴四边形ABDE是正方形，
∴AE＝BD＝AB＝DE＝9m．
在Rt△ACE中，
∵∠CAE＝30°，
∴CE＝AE tan30°＝9×＝3，
∴CD＝CE＋DE＝（3＋9）m．
故答案为.
【关键点拨】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
16．【答案】
【分析】根据勾股定理求出BD，根据折叠的性质得到AE＝EM，CF＝NF，证明△EDM∽△BDA，根据相似三角形的性质求出DE，同理出去DF，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴
解得，x＝5，即DE＝5，
同理，△DNF∽△DCB，
∴，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴，
解得，y＝，即DF＝，
∴，
故答案为：．
【关键点拨】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
解得，，；
（2）解：，
，
∴，
解得，．
【方法总结】
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①移项：将方程化为一般形式；②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；③转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
18．【答案】（1）元；
（2）每件商品应降价4元或16元
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销量即可列式计算；
（2）分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解．
【详解】（1）解：原来一天可获利润是元；
（2）解：设每件商品应降价x元，
依题意得，
解得.
∴每件商品应降价4元或16元.
【关键点拨】此题考查了一元二次方程的应用，属于基础题型．解题的关键是能够表示出销量和单件的利润，难度不大．
19．【答案】(1)100，见解析
(2)72
(3)1710人
【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图；
（2）用360度乘以B组人数所占的比例即可；
（3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果．
【详解】（1）解：人，
∴D组的人数为： ，
补全的条形统计图如下图所示：

（2），
故此题答案为：；
（3） （人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【关键点拨】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键．
20．【答案】(1)米
(2)30米
【分析】（1）在中根据正切求解即可；
（2）先在中根据余弦求出，然后证明为直角三角形，即可求出AB的值．
【详解】（1）解∶由题意知，，，
则，
在中，，，
∴（米），
答：无人机的飞行高度为米；
（2）解：在中，，，
∴（米），
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴（米），
滑行跑道的长度30米．
【关键点拨】本题考查解直角三角形、仰角俯角等知识，判断为直角三角形是第（2）问的关键．
21．【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】此题考查一次函数和反比例函数图象及性质．
（1）将点代入可求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式可得，再将和代入可求出一次函数解析式；
（2）令一次函数中分别求出点坐标，再设，再利用三角形面积公式即可求出此题答案；
（3）观察图象即可得到此题答案．
【详解】（1）解：根据题意：将点代入中，得：，，
∴反比例函数解析式：，
再将代入中，得：，
∴，
将和代入中，得：
，解得：，
∴一次函数解析式：；
（2）解：由（1）知：，
∴令，则，令，则，
∴，即，，即：，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，解得：，
∴或．
（3）解：∵，
∴在图象中找出一次函数比反比例函数低的部分，
∴或．
22．【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2
【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论；
（2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD AB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE BC，
∴BC＝＝=，
∴AD＝；
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵，
∴DG＝DF=5，
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
【关键点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键．
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