高中数学人教A版（2019）选择性必修2 第五章 运用函数导函数求解函数的综合问题 学案

运用函数导函数求解函数的综合性问题
【考纲解读】
理解函数零点和不等式的定义，理解并掌握函数零点存在定理；
掌握运用函数导函数求解（或证明）不等式问题的基本方法；
掌握运用函数导函数求解（或证明）函数零点问题的基本方法；
掌握运用函数导函数求解生活中优化问题的基本方法。
【知识精讲】
一、运用函数导函数求解（或证明）不等式：
1、运用函数导函数求解（或证明）不等式的基本思路：结合问题条件构造一个函数，通过运用函数导函数判断（或证明）函数的单调性来求解（或证明）不等式。
2、运用函数导函数求解（或证明）不等式的基本方法：
（1）结合问题条件构造一个函数（x），把问题转化为求解（或证明）（x）＞0（或（x）＜0）的问题；
（2）运用函数导函数判断（或证明）函数（x）的单调性；
（3）根据函数的单调性判断（或证明）定义域内函数（x）与0的大小关系；
（4）得出求解（或证明）不等式的结果（或结论）。
二、运用函数导函数求解（或证明）函数零点：
1、运用函数导函数求解（或证明）函数零点的基本思路：结合问题条件构造一个函数，通过运用函数导函数判断（或证明）函数的单调性来求解（或证明）函数的零点。
2、运用函数导函数求解（或证明）函数零点的基本方法：
（1）结合问题条件构造一个函数（x），把问题转化为求解（或证明）方程（x）=0的根；
（2）运用函数导函数判断（或证明）函数单调性和运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法判断函数（x）的单调性并求出函数（x）的极值（或最值）；
（3）根据函数（x）的单调性和极值（或最值）作出函数（x）的大致图像；
（4）利用函数（x）的大致图像确定函数零点的个数（函数（x）含有参数需对参数可能的情况进行分类讨论），从而得出求解（或证明）函数零点的结果（或结论）。
三、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题：
1、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本思想：分离参数，把问题转化为运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题。
2、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本方法：
（1）解答不等式恒成立，任意性和存在性问题的方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）；
③得出问题解答的结果。
（2）求参数的值（或取值范围）的基本方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）；
③得出参数的值（或取值范围）。
四、运用函数导函数求解生活中的优化问题：
1、生活中的优化问题的定义：
生活中的优化问题是指实际问题中的最大值或最小值问题。
2、解决生活中优化问题的基本思路：
根据实际问题中涉及的变量关系构造一个函数，把实际问题中的最大值或最小值问题转化为求运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题。
3、解决生活中优化问题的基本方法：
（1）根据实际问题中涉及的变量关系构造一个函数f(x)（注意确定函数关系式中自变量的取值范围）；
（2）运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（如果函数f(x)在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点；注意求得结果的实际意义，不符合实际意义的值应该舍去）；
（3）得出解答生活中优化问题的结果。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求解（或证明）不等式：热点①运用函数导函数求解不等式；热点②运用函数导函数证明不等式；热点③运用函数导函数求解不等式恒成立，任意性和存在性和求参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求解（或证明）函数零点：热点①运用函数导函数求解函数零点；热点②运用函数导函数证明函数零点；热点③已知函数零点，函数解析式中求参数的值（或取值范围）；
考点3运用函数导函数求解生活中的优化问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x）=a（+a）-x。
讨论函数f(x）的单调性；
证明：当a>0时，f(x）>2lna+（2023全国高考新高考I）
2、（理）已知函数f(x)=ln(ax)，a>0。
（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b，证明：f(x)≤kx+b；
（2）若f(x)≤（x-1）,求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=lnx+a-1，aR。
（1）若f(x)≤x，求a的取值范围；
（2）当a（0,1]时，证明：f(x)≤（成都市高2020级高三一诊）
3、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
4、（理）已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
5、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）（理）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（文）若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，证明：g(a)< 32
6、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
7、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+8、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数（2020成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（文）当a=2时，证明： f(x)-
(x) x+对任意的x[1,2]都成立。
9、（理））已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法；
（2）运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明新函数的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）在某区间上恒成立；④由③判断不等式在某区间上恒成立；⑤综合得出证明的结论。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
（文）已知函数f(x)= lnx+-a，其中aR。
（1）当a=1时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)>-2恒成立，求整数a的最大值（成都市高2021级高三零诊）
2、（理）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=8，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)（文）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=1，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)+sinx<0，求实数a的取值范围（2023全国高考甲卷）
3、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）（理）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（文）若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，求a的取值范围（成都市2019级高三一诊）
4、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
5、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
6、（理）已知函数f(x)=sin xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)= 的单调性（2020全国高考新课标II）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法；
（2）求解已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别求出新函数在给定区间上的最大值（或最小值）；③根据新函数在给定区间上的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）得到关于参数的方程（或方程组），不等式（或不等式组）；④求解方程（或方程组），不等式（或不等式组）求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，其中x>0，aR。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= ，其中x>0，a>0。
（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若方程=x-alnx恰有两个不相等的实数根，求a的取值范围（成都市高2020级高三二诊）
2、（理）已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。
（文）已知f(x)= -x，g(x)= +a，曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线。
（1）若=-1，求a；
（2）求实数a的取值范围（2022全国高考甲卷）
3、（理）已知函数f(x)=ln(1+x)+ax。
（1）当a=1时，求曲线f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；
（2）若f(x)在区间（-1，0），（0，+）各恰好有一个零点，求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=ax- -(a+1)lnx。
（1）当a=0时，求f(x)的最大值；
（2）若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围（2022全国高考乙卷）
4、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
5、（理）已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。
（文）设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
6、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②07、设函数f(x)=axlnx-x+ ，a 0（2019成都市高三零诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a＞0时，函数f(x)恰有两个零点，（＜），证明7+＞7a。
（文）若存在x∈（1，e］，使+＞0成立，求a的取值范围。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用函数导函数确定函数零点（或证明与函数零点相关）的问题，解答这类问题需要理解函数的零点的定义，掌握求函数零点的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与函数的零点之间的内在联系；
（2）求解运用函数导函数确定函数零点（证明与函数零点相关）问题基本方法是：①构造一个新函数；②运用函数导函数判断新函数的单调性；③运用函数导函数求出新函数的极值（或最值）；④结合新函数图像，根据函数的零点与函数图像与X轴交点之间的关系求出函数零点（或证明与函数零点相关的问题）。
【典例4】解答下列问题：
1、（理）已知a>0，且a1，函数f(x)= （x>0）。
（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。
的位置关系，并说明理由。
（文）设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
2、已知函数f(x)=x+ -(a-1)lnx-2，其中aR。
（1）若函数f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；
（2）（理）讨论函数f(x)在区间[1，]上零点的个数。（文）讨论函数f(x)在区间[1，e]上零点的个数（2021成都市高三二诊）。
3、（理）已知函数f(x)= -2a-2ax，其中a>0。
（1）当a=1时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值。
（文）已知函数f(x)=a--1，其中a>0。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值（2020成都市高三零诊）
4、（理）设函数f(x)= +bx+c，曲线y= f(x)在点（，f（））处的切线与Y轴垂直。
（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1。
（文）已知函数f(x)= -kx+ 。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)有三个零点，求k的取值范围（2020全国高考新课标III）。
5、已知函数f(x)=（2-a）x-2(1+lnx)+a。
（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间（0，）上无零点，求a的最小值（2016福州模拟）
『思考问题4』
（1）【典例4】是已知函数零点，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解函数的零点的定义，掌握求函数零点的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与函数的零点之间的内在联系；
（2）求解已知函数零点，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）问题基本方法是：①构造一个新函数；②运用函数导函数判断新函数的单调性；③运用函数导函数求出新函数的极值（或最值）；④结合新函数图像，根据函数的零点与函数图像与X轴交点之间的关系得到关于参数的方程（或方程组），不等式（或不等式组）；⑤求解方程（或方程组），不等式（或不等式组）求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。
【典例5】解答下列问题：
1、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱的包装盒，E，F在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值（2019全国高考江苏）
2、某农场有一块农田如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上，设OC与MN所成的角为。
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3，求当为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年产值最大（2018全国高考江苏卷）
3、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-）元。
（理）（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
（文）（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+-)元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润。
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数求某种收益最大值的问题，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数求某种收益最大值问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，得到相应函数的解析式； ③运用函数导函数求出该函数的最大值；④得出实际应用问题的结果。
【典例6】解答下列问题：
1、一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方长正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需要400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
2、有甲，乙两个工厂，甲厂位于乙直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，
如图，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米30元和50元，问供水站建在何处才能使水管费用最少？（河宽忽略不计）
『思考问题6』
（1）【典例6】是运用函数导函数求某支出最小值的问题，解答这类问题的关键是建立适当的函数模型；
（2）运用函数导函数求某种支出最小值问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②根据问题的条件选择适当的函数模型，得到相应函数的解析式； ③运用函数导函数求出该函数的最大值；④得出实际应用问题的结果。
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x-1）（-e），g(x)=lnx-ax，其中aR，若对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为（ ）（成都市2020级高三零诊文）
A 0 B 1 C D e
2、记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为（x），且（x）- f(x)>0，f(1)=1，则不等式f(x)>的解集为 （成都市2019级高三三珍）
3、（理）设k，bR，若关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，则的最小值是（ ）
A - B - C - D -e-1
（文）设k，bR，若关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，则的最小值是（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B - C - D -e
4、函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A （-，-2） B （-，-3） C （-4，-1） D (-3，0)
5、（理）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（ ）
A （1，+） B （2，+） C （e，+） D （3，+）
（文）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （4，+） B （3，+） C （e，+） D （2，+）
6、若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个
大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊理）
A B C e D
『思考问题7』
【典例7】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数求解（或证明）不等式，求解（或证明）函数零点和求解生活中优化问题的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数求解不等式；②运用函数导函数证明不等式；③运用函数导函数求解函数零点；④运用函数导函数证明函数零点；⑤运用函数导函数求解生活中优化问题几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，则不等式f(x)sin2x<1的解集为 。
（文）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sinx+2 f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为 （2020成都市高三零诊）
3、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个数x，x0，的所有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
运用函数导函数求解函数的综合性问题
【考纲解读】
理解函数零点和不等式的定义，理解并掌握函数零点存在定理；
掌握运用函数导函数求解（或证明）不等式问题的基本方法；
掌握运用函数导函数求解（或证明）函数零点问题的基本方法；
掌握运用函数导函数求解生活中优化问题的基本方法。
【知识精讲】
一、运用函数导函数求解（或证明）不等式：
1、运用函数导函数求解（或证明）不等式的基本思路：结合问题条件构造一个函数，通过运用函数导函数判断（或证明）函数的单调性来求解（或证明）不等式。
2、运用函数导函数求解（或证明）不等式的基本方法：
（1）结合问题条件构造一个函数（x），把问题转化为求解（或证明）（x）＞0（或（x）＜0）的问题；
（2）运用函数导函数判断（或证明）函数（x）的单调性；
（3）根据函数的单调性判断（或证明）定义域内函数（x）与0的大小关系；
（4）得出求解（或证明）不等式的结果（或结论）。
二、运用函数导函数求解（或证明）函数零点：
1、运用函数导函数求解（或证明）函数零点的基本思路：结合问题条件构造一个函数，通过运用函数导函数判断（或证明）函数的单调性来求解（或证明）函数的零点。
2、运用函数导函数求解（或证明）函数零点的基本方法：
（1）结合问题条件构造一个函数（x），把问题转化为求解（或证明）方程（x）=0的根；
（2）运用函数导函数判断（或证明）函数单调性和运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法判断函数（x）的单调性并求出函数（x）的极值（或最值）；
（3）根据函数（x）的单调性和极值（或最值）作出函数（x）的大致图像；
（4）利用函数（x）的大致图像确定函数零点的个数（函数（x）含有参数需对参数可能的情况进行分类讨论），从而得出求解（或证明）函数零点的结果（或结论）。
三、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题：
1、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本思想：分离参数，把问题转化为运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题。
2、运用函数导函数研究任意性，存在性以及参数的取值问题的基本方法：
（1）解答不等式恒成立，任意性和存在性问题的方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）；
③得出问题解答的结果。
（2）求参数的值（或取值范围）的基本方法：
①分离参数，构造一个函数f(x)；
②运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（若问题涉及到不确定性，需要分类进行讨论）；
③得出参数的值（或取值范围）。
四、运用函数导函数求解生活中的优化问题：
1、生活中的优化问题的定义：
生活中的优化问题是指实际问题中的最大值或最小值问题。
2、解决生活中优化问题的基本思路：
根据实际问题中涉及的变量关系构造一个函数，把实际问题中的最大值或最小值问题转化为求运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题。
3、解决生活中优化问题的基本方法：
（1）根据实际问题中涉及的变量关系构造一个函数f(x)（注意确定函数关系式中自变量的取值范围）；
（2）运用函数导函数求出函数f(x)极值（或最值）（如果函数f(x)在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点；注意求得结果的实际意义，不符合实际意义的值应该舍去）；
（3）得出解答生活中优化问题的结果。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求解（或证明）不等式：热点①运用函数导函数求解不等式；热点②运用函数导函数证明不等式；热点③运用函数导函数求解不等式恒成立，任意性和存在性和求参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求解（或证明）函数零点：热点①运用函数导函数求解函数零点；热点②运用函数导函数证明函数零点；热点③已知函数零点，函数解析式中求参数的值（或取值范围）；
考点3运用函数导函数求解生活中的优化问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x）=a（+a）-x。
讨论函数f(x）的单调性；
证明：当a>0时，f(x）>2lna+（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论原则和基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则与基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)=f(x)-sin2x=ax---sin2x，根据参数分类讨论原则和基本方法，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)+sinx<0， ax--+sinx<0，构造函数g(x）=ax--+sinx，根据参数分类讨论原则和基本方法，运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1） （x）=a-1，①当a≤0时， （x）=a-1<0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递减；②当a>0时，令（x）=a-1=0解得：x=-lna，x（-，-lna）时，（x）<0，x（-lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增；（2）f(x）>2lna+，a（+a）-x-2lna->0，设函数g(x)=a（+a）-x-2lna-，（x）=（x）=a
-1，由（1）知，当a>0时，函数g(x)在（-，-lna）上单调递减，在（-lna，+）上单调递增，=g(-lna)=a(+a)+lna-2lna-=-lna-，设h(x)=-lnx-x（0，+），
（x）=2x-=，令（x）=0解得：x=，x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数h(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，=h()=-ln-=ln>0，=h(x)>0在（0，+）上恒成立，即当a>0时，f(x）>2lna+当a>0时，f(x）>2lna+。
2、（理）已知函数f(x)=ln(ax)，a>0。
（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b，证明：f(x)≤kx+b；
（2）若f(x)≤（x-1）,求a的取值范围。
（文）已知函数f(x)=lnx+a-1，aR。
（1）若f(x)≤x，求a的取值范围；
（2）当a（0,1]时，证明：f(x)≤（成都市高2020级高三一诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②函数在某点导数的几何意义；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④参数分类讨论的原则与基本方法；⑤运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法求出曲线y=f(x)在x=1处的切线方程，利用函数导函数证明不等式的基本方法就可证明f(x)≤kx+b；（2）根据不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax- axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，设函数g(x)= - ax，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数g(x)= - ax在区间（0，+）上的最大值就可得出实数a的取值范围。（文）（1）由f(x)≤x，lnx-x+a-1≤0，设函数g(x) =lnx-x+a-1，根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数g(x)的导函数（x），运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围；（2）f(x)≤，-f(x)≥0，设函数h(x)= -f(x)=-lnx-a+1（x>0），运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(x)≤。
【详细解答】（理）（1）当a=1时，（x）=， （1）=1，f(1)=ln1=0，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1，f(x)≤kx+b，lnx≤x-1，lnx-x+1≤0，设函数g(x) =lnx-x+1，（x）=-1=，令（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数g(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= g(1)=0-1+1=0，f(x)≤kx+b；（2）关于x的不等式f(x) （x-1）, （x-1） -ln(ax)≥0,设h(x) =（x-1） -ln(ax)，（x）=x-在（0，+）上单调递增，（）=-2<0，（a+1）=(a+1)e->0，存在（，a+1），
使（）=0，=，=，a=+2ln，x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数h(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = h()=（-1）-ln-lna=（-1）-ln-ln（+2ln），当x（1，+）时，设m(x)=-lnx，（x）=<0在（1，+）上恒成立，函数m(x)在（1，+）上单调递减，函数y=-ln(x+2lnx)在（1，+）上单调递减，当（1，+）时， h()< h(1)=0-0-0=0，与题意不符；当（，1）时，lnx--ln>1-，-ln（+2ln）>1-+2ln，h()=（-1）-ln-ln（+2ln）>（-1）-ln+1--2ln>（-1）--3ln+1>（-1）-3（-1）-+1
=>0在（，1）上恒成立，满足f(x)≤（x-1）,a=+2ln，函数y=x+2lnx在（，1）上单调递增，a（-2ln2，1]且a>0，即实数a的取值范围是（0，1]。
（文）（1）f(x)≤x，lnx-x+a-1≤0，设函数g(x) =lnx-x+a-1，（x）=-1=，令
（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数g(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= g(1)=0-1+a-1≤0，a≤2，若f(x)≤x，则a的取值范围是（-，2]；（2）f(x)≤，-f(x)≥0，设函数h(x) =-f(x)=-lnx-a+1（x>0），（x）=-
=-在（0，+）上单调递增，a（0,1]，（）=-2<0，（1）=-1≥0，存在（，1），使（）=0，=，=，-2ln=-a，x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数h(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = h()=（-1）-ln-a+1=（-1）-3ln-+1，由（1）知，当a=2时，lnx≤x-1，,-ln≥1-，h()≥-3（-1）-+1=（（，1）），显然h()≥0，函数h(x)≥0在（0，+）上恒成立，即f(x)≤。
3、已知函数f(x)=x-。
（1）当a=1时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求实数a的取值范围；
（3）设n，证明：++------+>ln(n+1)（2022全国高考新高考
II卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 (x) ，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可得出f(x)的单调性；（2）构造函数g(x)= f(x)+1,根据参数分类讨论已知和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数g(x)的最大值，由g(x)的最大值小于0得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（3）构造函数u（x）=x--2lnx(x>1)，根据函数证明不等式的基本方法，得到函数u（x）>0在（1，+）上恒成立，从而得到x->2lnx在（1，+）上恒成立，设x=，容易得到->2ln=ln(1+)，从而得到> ln(1+)=ln ，运用求和公式就可证明结论。
【详细解答】（1）当a=1时，函数f(x)=x-， (x)= + x-= x，令 (x)=0解得x=0，当x（-，0）时， (x)<0，当x（0，+）时， (x)>0，函数f(x)
在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；（2）设函数g(x)=f(x)+1= x-+1（x>0），（x）=+ ax-，（0）=1+0-1=0，设函数h（x）=（x）=+ ax-，（x）=a+ a+ x-=a(ax+2)-，（0）=2a-1，①当
2a-1>0，即a>时， h（0）= =>0，存在>0，使得当
x（0，）时，有>0，（x）>0，函数g(x)在（0，）上单调递增，
g()> g(0)=0-1+1=0，与题意不符；②当2a-10，即a时，（x）=+ ax-
=----0，, 函数g(x)在（0，+）上单调递减， g(x)< g(0)=0-1+1=0，综上所述，当x>0时，f(x)<-1，则实数a的取值范围是
（-，]；（3）设函数u（x）=x--2lnx(x>1)，（x）=1+-=>0在（1，+）上恒成立，函数u（x）在（1，+）上单调递增， u（x）> u（1）=1-1-0=0，
设x= ，->2ln=ln(1+)，> ln(1+)=ln ，
>=ln(------)=ln(n+1)，
++------+>ln(n+1)（n）。
4、（理）已知函数f(x)= 2ax-lnx，其中aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a>0时，若，（0<<）满足f()=f()，证明f(2a)+f(2a)>4（
+）（成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）根据运用函数导函数证明不等式的基本方法，就可证明f(2a)+f(2a)>4（+）。
【详细解答】（1）(x)=2a - = ，①当a>0时，令(x)=0解得：x=， x（0，）时，(x)<0，x（，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；②当a=0时，(x)=- <0（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减；③当a<0时，(x)=<0（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x)在（0，+）上单调递减，当a>0时，函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；
（2） f(x)= 2ax-lnx，，（0<<）满足f()=f()， 2a-ln= 2a-ln，
=2a， f(2a)+f(2a)>4（+）， ln(2a)+ln(2a)<0，
<，a>0， f(2a)+f(2a)>4（+）， <， <
，ln->0，2ln+->0，设=t，0<<，t(0，1)，f(2a)+f(2a)>4（+），2lnt+-t >0在(0，1)上恒成立，设g(x)=2lnx
+-x ， (x)= --1==-<0在(0，1)上恒成立， 函数g(x)在（0，1）上单调递减，对任意的x（0，1），都有g(x)> g(1)= 2ln1+1-1=0，2lnt+-t >0在(0，1)上恒成立， f(2a)+f(2a)>4（+）。
5、已知函数f(x)=2+3a-12x，其中aR（成都市2019级高三三珍）
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）（理）若函数g(x)= 2--（12-1）x+2sinx-2，当a>0，x>0时，证明：g(x)< f(x)。
（文）若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，证明：g(a)< 32
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数最值定义与性质；⑤运用函数导函数求函数最值的基本求法；⑥运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)导函数（x），运用参数分类讨论的原则和基本方法，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）（理）根据g(x)< f(x)， g(x)- f(x)<0，（3a+1）-x-2sinx+2>0,设函数h(x)= （3a+1）-x-2sinx+2,从而问题转化为证明：当a>0时，函数h(x)>0在（0，+ ）上恒成立，当a>0时，函数h(x)在（0，+ ）上的最小值大于零，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出当a>0时，函数h(x)在（0，+ ）上的最小值并证明其大于零就可证明当a>0，x>0时，g(x)< f(x)。（文）根据<2a得到0【详细解答】（1）（x）=6+6ax-12=6（x+2a）（x-a），①当a>0时，x（-，
-2a）（a，+）时，（x）>0，x（-2a，a）时，（x）<0，函数f(x)在（-，-2a），（a，+）上单调递增，在（-2a，a）上单调递减；②当a=0时，（x）==60在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；③当a<0时，x（-，a）（-2a，+）时，（x）>0，x（a，-2a）时，（x）<0，函数f(x)在（-，a），（-2a，+）上单调递增，在（a，-2a）上单调递减，综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，-2a），（a，+），单调递减区间为（-2a，a）；当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为（-， +）；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为（-，a），（-2a，+），单调递减区间为（a，-2a）；（2）（理） g(x)< f(x)， g(x)- f(x)<0，3a+-x-2sinx+2>0, a>0，3a+-x-2sinx+2>0在（0，+ ）上恒成立，-x-2sinx+20在（0，+ ）上恒成立，①当x1时，-x=x（x-1）0，-2sinx+2=-2（sinx-1）0，-x-2sinx+20成立；②当00在（0，1）上恒成立，函数u（x）在（0，1）上单调递增，当x（0，1）时，u（x）< u（1）=2-2cos1-1=1-2cos1<1-2cos<0，（x）<0在（0，1）上恒成立，函数h(x) 在（0，1）上单调递减， 当x（0，1）时，h(x) > h(1)=1-1-2sin1+2=2 -2sin1>2-2sin>0， 综上所述，当a>0，x>0时，不等式3a+-x-2sinx+2>0恒成立，即当a>0，x>0时，g(x)< f(x)。（文）<2a， 00， g(a)= f(2a)= 4<4<32；②当1a<2时，由（1）知，函数f(x)在（， 2a）上单调递增， g(a)= f(2a) =16 +12 -24=4<48<32， 综上所述，若函数f(x)区间[，2a]上的最大值为g(a)，则g(a)< 32。
6、（理）设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=x f(x)的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g(x)= ，证明：g(x)<1。
（文）已知函数f(x)= - +ax+1。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）求曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标（2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④函数极值的定义与性质；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法；⑥用函数导函数证明不等式的基本方法；⑦求曲线过某点的切线方程的基本方法；⑧求直线与曲线公共点的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 ，运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）根据函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），得到函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，从而得到g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，构造函数G（x）= x+ f(x)>-x f(x)，运用函数导函数证明不等式的基本方法就可证明：g(x)<1。（文）（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数 (x)，运用参数的分类法则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数的单调性；（2）根据求曲线过某点的切线方程的基本方法求出先求出曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程，运用函数导函数求直线与曲线的公共点的基本方法就可求出切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标。
【详细解答】（理）（1）= ln(a-x)- ，x=0是函数y=x f(x)的极值点，
=ln(a-0)-0=lna=0，即a=1；（2）由函数f(x)=ln(1-x)，知x（-，1），①当01， ln(1-x)>0， x f(x)<0，函数x f(x)<0在（-，1）上恒成立，g(x)= <1，x+ f(x)> x f(x)，设函数G（x）= x+ ln(1-x)- x ln(1-x)，x（-，0）（0，1），（x）=1-- ln(1-x)+ =-ln(1-x)， x（-，0）时，（x）<0，x（0，1）时，（x）>0，函数G（x）在（-，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，当x（-，1）（0，1）时，> G（0）=0+0-0=0， g(x)= <1。（文）（1） (x)=3-2x+a，
①当=4-12a0，即a时， (x)0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当=4-12a>0，即a<时， x（-，）（，+）时， (x)
>0，x（，）时， (x)<0，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；综上所述，
当a时，函数f(x)在R上单调递增；当a<时，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-，），（，+）上单调递增；（2） f(0)=0-0+0+1=1
0，原点不在曲线y= f(x)上，设曲线y= f(x)切线的切点为（，f()）， ()=3
-2+a，曲线y= f(x)在点（，f()）处的切线方程为y-(-+a+1)=( 3-2+a)
x-( 3-2+a) ，即y=( 3-2+a)x-2++1，切线过原点，0=-2++1，
=1，曲线y= f(x)过坐标原点的切线方程为y=(1+a)x，f(x)= - +ax+1=(1+a)x得：
- -x+1=0，x=-1或x=1， f(-1)=-1-1-a+1=-1-a，f(1)=1-1+a+1=1+a，曲线y= f(x)过坐标原点的切线与曲线y= f(x)的公共点的坐标为（-1，-1-a）或（1，1+a）。
7、已知函数f(x)=x(1-lnx)（2021全国高考新高考I卷）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<+【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），
运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)的单调性；（2）根据blna-a
lnb=a-b，-ln=-ln，构造函数g(x)=f(x)-f(2-x)，x（0，1），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，1）上单调递增，从而得到g(x)< g(1)，证明：+>2；利用（1）的结论证明：+【详细解答】（1）（x）=1- lnx-1=- lnx，令（x）=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）>0，x（1，+）时，（x）<0，函数f(x) 在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减；（2） blna-alnb=a-b，-ln=-ln，设=，=，由a，b为两个不相等的正数知，不妨设<，0<<1<+=-lnx(2-x)>0在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(x)< g(1)，
= f(1)-f(1)=0， g() =f()-f(2-)<0， f(2-)> f()=f()，函数f(x)在（1，+）上单调递减，2-<，+>2；①当e-1时，0<<1，+<1+e-1=e，即+x(e-x) （0，e-1）时，x(e-x)单调递减，函数G(x)在（e-1，e）上先增后减， G(x)<
max[G(e-1)，G(e)]， G(e-1)=（e-1）[1-ln(e-1)]-1<0，ln<-1显然成立，
G(x)<0在（e-1，e）上恒成立， G()<0， f()-f(e-)<0， f()函数f(x) 在（0，1）上单调递增，< e-，即+8、已知函数f(x)=（a-1）lnx+x+，aR，(x)为函数f(x)的导函数（2020成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）当a<-1时，证明：x（1，+），f(x)>-a- 。（文）当a=2时，证明： f(x)-
(x) x+对任意的x[1,2]都成立。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，根据参数的分类法则和方法分别确定导函数在（0，+）的正负，运用导函数与函数的单调性的定理判断函数的单调性；（2）（理）运用（1）的结论，先求出函数f(x) 在（1，+）上的最小值，结合问题条件得到关于a的不等式，证明不等式在在（1，+）上恒成立就可得到结论。（文）构造函数g(x)，证明函数g(x) 0在给定区间上恒成立，从而得到结论。
【详细解答】（1）（x）=+1-==，①当a0时，x+a>0， x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当-a<1，即-10，x（-a，1）时，（x）<0，函数f(x) 在（0，-a），（1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；③当-a>1，即a<-1时， x（0，1）（-a，+）时，（x）>0，x（1，-a）时，（x）<0， 函数f(x)在（0，1），（-a，+）上单增，在（1，-a）上单减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当-1-a- 恒成立， +（a-1）ln(-a) -1>0恒成立， a<-1，+（a-1）ln(-a) -1>0， ln(-a) <-a-1，设g(x)=lnx-x+1 (x（1，+）)， （x）=--1=，x（1，+）时，（x）<0恒成立，函数g(x)在（1，+）上单调递减，-a- 恒成立。（文）当a=2时， f(x)- （x）x+在x[1，2]上恒成立， lnx+x+--1+x+在x[1，2]上恒成立， lnx--1+0在x[1，2]上恒成立，设g(x)= lnx--1+，（x）=+-= ， 当x [1，）时，（x）<0，当x （，2]时，（x）>0， 函数g(x) 在[1，）上单调递减，在（，2] 上单调递增， g(1)=0-1-1+2=0，g(2)= ln2--1+= ln2-1<0，当x[1，2]时，= g(1)=0-1-1+2=0，当x[1，2]时，函数g(x) 0恒成立，当a=2时， f(x)- （x）x+在x[1，2]上恒成立。
9、（理））已知函数f(x)=a ，其中a，mR。
（1）当a=m=1时，设g(x)= f(x)-lnx，求函数g(x)的单调区间；
（2）当a=4，m=2时，证明：f(x)>x(1+lnx)。
（文）已知函数f(x)= -lnx，其中mR。
（1）当m=1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）当m=2时，证明：f(x)>0（2020成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）运用函数导函数的定义与求法求出函数的导函数，结合问题条件就可求出函数g(x)（或函数f(x)）的单调区间；（2）（理）构造函数g(x)= f(x)-x(1+lnx)，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法判断函数g(x)在（0，+）上的单调性，证明函数g(x)在（0，+）上的最小值大于零就可证明结论。（文）运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件证明函数f(x) >0在（0，+）上恒成立就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）当a=m=1时，g(x)= f(x)-lnx =-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数g(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（文）当m=1时，函数f(x)= -lnx=-lnx，（x）=-=，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=1-1=0，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数f(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）（理）当a=4，m=2时，f(x)= 4， f(x)>x(1+lnx)，4
- x(1+lnx)>0，设,h(x)= x-1-lnx，（x）=1-=，令（x）=0得：x=1，（x）<0在（0，1）上恒成立，（x）>0在（1，+）上恒成立，即：函数h(x) 在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= h(1)=1-1-0=0， x-1-lnx 0，即
x 1+lnx在（0，+）上恒成立，x(1+lnx)在（0，+）上恒成立，当且仅当x=1时等号成立，设函数g(x)=ln4-ln=x-2+ln4-2lnx, （x）=1-=，令（x）=0得：x=2，（x）<0在（0，2）上恒成立，（x）>0在（2，+）上恒成立，即：函数g(x) 在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，= g(2)=0+ln4-2ln2=0， x-2+ln4-2lnx 0，即ln4-ln0在（0，+）上恒成立，当且仅当x=2时等号成立， 当a=4，m=2时，f(x)>x(1+lnx)。（文）当m=2时，函数f(x)= -lnx= -lnx=
- lnx，（x）=-，（1）=-1=<0，（2）=1-=>0，存在（1，2），使（）=0，（x）<0在（0，）上恒成立，（x）>0在（，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
= f()=-ln=-2+， （1，2）, -2+>2-2>0，
>0，当m=2时，f(x)>0。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法；
（2）运用函数导函数证明不等式在某区间上恒成立的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明新函数的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）在某区间上恒成立；④由③判断不等式在某区间上恒成立；⑤综合得出证明的结论。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= lnx+a，其中aR。
（1）当a=-2时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)<恒成立，求整数a的最大值。
（文）已知函数f(x)= lnx+-a，其中aR。
（1）当a=1时，求函数f(x) 的单调区间；
（2）当x>1时，若f(x)>-2恒成立，求整数a的最大值（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数单调性定义与性质；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数的单调性；（2）由f(x)<，a<，构造函数g(x)=，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x)的最小值就可求出整数a的最大值。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数单调性的性质和由函数导函数判断函数单调性的基本方法就可求出函数的单调性；（2）由f(x)>-2，a<，构造函数g(x)=，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x)的最小值就可求出整数a的最大值。
【详细解答】（理）（1）当a=-2时，函数f(x)的定义域为（0，+），(x)= - 4x=，令(x)=0解得：x=，当x（0，）时，(x)>0，当x（，+）时，(x)<0，函数f(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；（2） f(x)<，a<，设函数g(x)=（x>1），(x)==
，设函数h(x)=2lnx+(x-2)-1（x>1）， (x)=+(x-1)>0（1，+）上恒成立，函数h(x)在（1，+）上单调递增，h()=2ln--1<0，h(2)=2ln2-1>0，存在 （，2），使函数h()=2ln+(-2)-1=0，-ln=(-1)-，当x （1，）时， (x)<0，当x （，+）时， (x)>0，函数g(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = g（）===，设函数F（x）=（0在（，2）上恒成立，函数F(x)在（，2）上单调递增，当x（，2）时，F（）=1时，若f(x)<恒成立，则整数a的最大值为1。
（文）（1）当a=1时，函数f(x)的定义域为（0，+），(x)= - =，令(x)=0解得：x=1，当x（0，1）时，(x)<0，当x（1，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2） f(x)>-2，a<，设函数g(x)=（x>1），(x)== ，设函数h(x)=-lnx+x-3（x>1）， (x)=-+1=>0（1，+）上恒成立，函数h(x)在（1，+）上单调递增，h(4)=-ln4+4-3=-ln4+1<0，h(5)=-ln5+5-3=-ln5+2>0，存在 （4，5），使函数h()=-ln+-3=0，ln=-3，当x （1，）时， (x)<0，当x （，+）时， (x)>0，函数g(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增， = g（）===， （4，5）， 4< <5，a<5，当x>1时，若f(x)>-2恒成立，则整数a的最大值为4。
2、（理）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=8，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)（文）已知f(x)= ax--，x（0，）。
（1）若a=1，讨论函数f(x) 的单调性；
（2）若f(x)+sinx<0，求实数a的取值范围（2023全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论原则和基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可得出函数的单调性；（2）由f(x)【详细解答】（理）（1）当a=8时， （x）=8-=8-
=8-，设t=，t（0，1），（x）=g(t)=8-=
=，令（x）=g(t)=0解得t=，当t（0，），即x（，）时，（x）=g(t）<0，当t（，1），即x（0，）时，（x）=g(t）>0，函数f(x)在（，）上单调递减，在（0，）上单调递增；（2）f(x)0在（0，1）上恒成立，函数u(t)在（0，1）上单调递增，u(t)0，存在（0，1）使u()=0，即存在（0，），使得（）=0，当t（，1）时，（t）=u（t）>0，即当x（0，）时，（x）>0，函数g(x)在（0，）上单调递增，g(x)>g(0)=0-0-0=0，与题意不符， 综上所述，若f(x)=，设t=cosx，t（0，1），（x）=g(t)=
=<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减；（2）f(x)+sinx<0， ax--+sinx<0，设g(x）=ax-+sinx，（x）=（x）+cosx=a+cosx-
，g(0）=0-0+0=0，g(x）=ax-+sinx<0在（0，）上恒成立，（x）=a-+cosx<0在（0，）上恒成立，a<-cosx在（0，0）上恒成立，构造函数u(x)=-cosx，x（0，），（x）=sinx
+=+sinx>0在（0，）上恒成立，函数u(x)在（0，）上单调递增，>u(0)=1-1=0，a≤0，①当a=0时，g(x）=-+sinx=sinx(1-)<0成立；②当a<0时，显然g(x）=ax-
+sinx<-+sinx<0成立 综上所述，若f(x)+sinx<0，则实数a的取值范围是(-，0]。
3、已知函数f(x)=sinx- 2ax，aR。
（1）当a时，求函数f(x)在区间[0，]上的最值；
（2）（理）若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，求a的取值范围。（文）若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，求a的取值范围（成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤运用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运用参数的分类法则与方法和导函数判断函数的单调性的基本方法分别判断函数f(x)在区间[0，]上的单调性，利用函数导函数求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)在区间[0，]上的最值；（2）（理）根据不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax-
axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，
设函数g(x)= - ax，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数g(x)= - ax在区间（0，+）上的最大值就可得出实数a的取值范围。（文）根据不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立， sinx- 2ax- cosx+10在区间（，）
上恒成立，设函数g(x)= sinx- 2ax- cosx+1，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函
数g(x)= sinx- 2ax- cosx+1在区间（，）上的最大值就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）当a时，（x）=cosx-2a0在区间[0，]上恒成立， 函数f(x) 在区间[0，]上单调递减，= f(0)=0-0=0，= f()=0-2a=-2a；（2）（理）关于x的不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax- axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，设g(x) = - ax，（x）=-a=-a，设h(x)= ，t=2cosx+1， t[-1，3]，当t=0时，h(t)= = h(0)=0；当t 0时，h(t)= = = ， h(t) [-1，0）（0，]， h(x) [-1，]，（x）>0，①当a时，（x）=-a 0在区间（0，+）上恒成立， 函数g(x) 在（0，+）上单调递减， 0，（）=0-a=-a<0，（0，），使（）=0，且x（0，）时，（x）>0，x（，）时，（x）<0，函数g(x)在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，=g（）> g（0）=0-0=0，与题意不符，综上所述，若关于x的不等式不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立，则实数a的取值范围是[，+）。（文）f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立， 2a在区间（，）上恒成立，设g(x) = ，x（，）, （x）==，设h(x)=xcosx
+xsinx-sinx+cosx-1，(x)= -xsinx+xcosx=x(cosx-sinx)<0在区间（，）上恒成立，函数h(x)在（，）上单调递减， h()=cos+sin-sin+cos-1=0+-1+0-1
=-2<0，（x）=<0在（，）上恒成立，函数g(x) 在（，）上单调递减，当x（，）时，有g(x) < g()==，a，若关于x的不等式不等式f(x) cosx-1在区间（，）上恒成立，则实数a的取值范围是[，+）。
4、（理）已知函数f(x)= x+ax，aR。
（1）设f(x)的导函数为(x)，试讨论(x)的零点个数；
（2）设g(x)=alnx+alnx+(a-1)x，当x（1，+）时，若f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
（文）已知函数f(x)= （x-1）lnx。
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)=-a+（a-1）x+1，aR，当x[，]时，讨论函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数（2021成都市高三零诊）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数零点的定义与性质；③运用函数导函数证明不等式的基本方法；④处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法；⑤处理函数在某区间上零点问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数零点的性质就可得出函数(x)零点的个数；（2）根据运用函数导函数证明不等式和处理不等式在某区间恒成立问题的基本方法，结合问题条件得到关于自变量x的新函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出新函数的最值就可得出实数a的取值范围。（文）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和处理函数在某区间上零点问题的基本方法，结合问题条件就可得出函数f(x) 与g(x)图像的公共点个数。
【详细解答】（理）（1）(x)=+x+a=(x+1）+a，函数(x)零点的个数方程(x+1）=-a的根的个数，设h (x)= (x+1），（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数h (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，= h (-2)=- ， h (-1)=0，
x（-，-1）时，h (x)<0，x（-1，+）时，h (x)>0，当x -时，h (x) 0，x +时，h (x) +，①当-a0或-a=- ，即a0或a=时，函数h (x)的图像与直线y=-a只有一个公共点；②当- <-a<0，即0+alnx恒成立，设u(x)= x+x，当x（1，+）时，f(x) g(x)恒成立，当x（1，+）时，u(x) u(alnx)恒成立，（x）=+x+1=(x+1）+1，设G（x）=(x+1）+1，（x）=(x+1）+=(x+2），令（x）=0解得x=-2，x（-，-2）时，（x）<0，x（-2，+）时，（x>0， 函数,G (x)在（-，-2）上单调递减，在（-2，+）上单调递增，（x）（-2）=1->0，函数u(x)在R上单调递增， u(x) u(alnx)， x alnx，设M（x）= x - alnx， （x）=1- = ，①当a 1时，（x）>0在（1，+）上恒成立，函数M（x）在（1，+）上单调递增， M（x）=1-0=1>0， x alnx在（1，+）上恒成立；②当a>1时，令（x）=0解得x=a， x（1，a）时， (x)<0，当x（a，+）时， (x)>0，函数M(x)在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，= M（a）=a-alna0，解得10在（0，+）上恒成立， 函数h (x)在（0，+）上单调递增， h (1)= ln1+1-1=0， x（0，1）时，(x)= h (x)<0，x（1，+）时，(x)= h (x)>0，函数f(x)= （x-1）lnx x在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（2）当x[，]时，函数f(x)与g(x)图像的公共点个数，当x[，]时，函数F（x）= f(x)- g(x)= （x-1）lnx+ a-（a-1）x-1=（x-1）(lnx+ax+1)零点的个数，显然x=1是方程（x-1）(lnx+ax+1)=0在区间[，]上的一个零点，设函数G（x）= lnx+ax+1，令G（x）=0得：-a= ，，函数G（x）在[，]上零点的个数，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上交点的个数，（x）==，x[，1）时，（x>0，x（1，]时，（x）<0，函数,u (x)在[，1）上单调递增，在（1，]上单调递减，= u(1) =1， u() =（-2+1）=-，u() ==，①当-a=1即a=-1时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上只有1个公共点；②当-a>1或-a<-，即a<-1或a>时，函数u(x)= 的图像与直线y=-a在[，]上没有公共点；③当-a<1即-1时，函数f(x) 与g(x)图像在[，]上只有1个公共点，当-15、已知函数f(x)=（x-2）- +ax，aR（2021成都市高三一诊）。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（理）若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。（文）当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，求实数a的取值范围。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运
用参数的分类法则与方法和导函数判断函数的单调性的基本方法分别判断函数的单调性；
（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，运用函数导函数处理不等式问题的基本方法分别对x<1，x=1和x>1三种情况求出实数a的取值范围就可得出实数a的取值范围。（文）根据当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式（2x-1）-ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式【详细解答】（1）（x）=+（x-2）-ax+a=（x-1）-a（x-1）=（x-1）（-a），
①当a0时，-a>0在R上恒成立，x（-，1）时，（x）<0，x（1，+）时，
（x）>0，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；②当00，x（lna，1）时，（x）<0，函数f(x) 在（lna，1）上单调递减，在（-，lna），（1，+）上单调递增；⑧当a=e时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④当a>e时，x（-，1）（lna，+）时，（x）>0，x（1,lna）时，（x）<0，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；综上所述，当a0时，函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当0e时，函数f(x) 在（1,lna）上单调递减，在（-，1），（lna，+）上单调递增；（2）（理）根据不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，（2x-1）-ax+a >0恒成立，（2x-1）>a(x-) 恒成立，①当x（-，1）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式0，x（0，1）时，（x）<0，函数g(x) 在（-，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
=g（0）=1，a>1；②当x=1时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，e>0在R上
恒成立，a=R；③当x（1，+）时，（2x-1）>a(x-) 恒成立，不等式>a在（1，+）上恒成立，设G（x）=，（x）=，令（x）=0解得：x=0或x=，0（1，+），x（1，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数G(x) 在（，+）上单调递增，在（1，）上单调递减，
G()=4，a<4，综上所述，若不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，则实数a的取值范围是（1，4）。（文）根据当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式（2x-1）-ax+a>0恒成立，当x<1时，不等式0，x（0，1）时，（x）<0，函数g(x) 在（-，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，=g（0）=1，a>1，若当x<1时，不等式f(x)+ （x+1）+-2ax+a>0恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）。
6、（理）已知函数f(x)=sin xsin2x。
（1）讨论函数f(x)在区间（0，）的单调性；
（2）证明：| f(x)| ；
（3）设n，证明：sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
（文）已知函数f(x)=2lnx+1。
（1）若f(x)2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0，讨论函数g(x)= 的单调性（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法；③用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法；④不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用函数导函数的基本求法求出函数f(x)的导函数，根据运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)在区间（0，）的单调性；（文）构造函数g(x)= f(x)-2x-c，运用函数导函数的基本求法求出函数g(x)的导函数，根据用函数导函数证明不等式某区间上恒成立的基本方法得到关于参数c的不等式，利用不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出c的取值范围；（2）（理）运用函数导函数求函数值域的基本方法求出函数f(x)的值域，从而证明结论；（文）求出函数g(x)的导函数，根据参数分类讨论的原则与基本方法，运用函数的导函数判定函数单调性的基本方法分别判断函数g(x)在定义域上的单调性，就可得出函数g(x)的单调性；（3）（理）由（2）得：f(x)=sin xsin2x，从而得到sin 2xsin4x=sin 2xsinx，----- sin xsin x，运用叠乘法就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）f(x)=sin xsin2x=2xcosx，（x）=2sin x（3x- sin x）=-8 sin xsin(x+) sin(x-)，当x(0，)时，（x）>0，当x(，)时，（x）<0，当x(，)时，（x）>0，函数f(x)在(0，)，(，)上单调递增，在(，)上单调递减；（文）设函数g(x)= f(x)-2x-c=2lnx-2x+1-c，
（x）=-2=，当x(0，1)时，（x）>0，当x(1，+)时，（x）<0，
函数g(x)在(0，1)上单调递增，在 (1，+)上单调递减，= g(1)=0-2+1-c=-1-c，
g(x) 0在（0，+）上恒成立，-1-c0，c-1，若函数f(x)2x+c，则实数c的取值范围是[-1，+）；（2）（理）（x）=4xx=4x
=，当且仅当1-x=3x，即cosx=时，等号成立，| f(x)| ；（文）函数g(x)=
=，（x）=，设h(x)= ，
（x）=-+=，a>0，令（x）=0得：x=a，当x(0，a)时，（x）>0，当x(a，+)时，（x）<0，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在 (a，+)上单调递减，= h(a)=2-2lna+2lna-2=0， （x）0在 (0，+)上恒成立，即函数g(x) 在 (0，+)上单调递减。（3）（理）由（2）得：f(x)=sin xsin2x， sin 2xsin4x=sin 2xSinx，----- sin xsin x，sin xsin2x. sin 2xsinx. sin xsin x=sin x. 2x. x -------.x.x ..----. ，x. 2x. x -------.x.x=sinx（sin x. 2x. x -------.x. sin x）sinx， sin x sin 2x sin 4x------ sin x。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法；
（2）求解已知不等式在某区间恒成立，运用函数导函数求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别判断新函数在给定区间上的单调性；③运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别求出新函数在给定区间上的最大值（或最小值）；③根据新函数在给定区间上的最大值（或最小值）小于等于零（或大于等于零）得到关于参数的方程（或方程组），不等式（或不等式组）；④求解方程（或方程组），不等式（或不等式组）求出函数解析式中参数的值（或取值范围）。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知f(x)= -lnx+x-a。
（1）若f(x) 0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)有两个不同的零点，，求证：<1。
（文）已知f(x)= -x，g(x)= +a，曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线。
（1）若=-1，求a；
（2）求实数a的取值范围（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法；③函数零点的定义与性质；④运用函数导函数确定函数零点的基本方法；⑤函数在某点导函数的几何意义及运用，⑥求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)的最小值，得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）根据函数零点的性质，运用函数导函数确定函数零点的基本方法，确定出，的取值范围就可证明<1。（文）（1）设曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线与曲线y=g(x)的切点为（，g（）），根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的导函数，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出求函数最值的基本方法求出曲线y=f(x)在点（，f（））处与曲线y=g(x)的切点（，g（））处的切线方程，得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）设曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线与曲线y=g(x)的切点为（，g（）），根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的导函数，运用函数在某点导函数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出求函数最值的基本方法求出曲线y=f(x)在点（，f（））处与曲线y=g(x)的切点（，g（））处的切线方程，由曲线y=f(x)在点（，f（））处的切线也是曲线y=g(x)的切线得到a关于，的表示式，从而得到a关于x的函数式，礼仪函数导函数求函数最值的基本方法求出a的最值，就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（理）（1） （x）=-+1==，令（x）=0解得x=1，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+ ）时，（x）>0，函数f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增，= f(1)=e-0+1-a=e+1-a， f(x) 0， e+1-a,0，ae+1，若f(x) 0，则实数a的取值范围是（- ，e+1]；（2）函数f(x)有两个不同的零点，，由（1）知， = f(1)=e-0+1-a=e+1-a<0，a>e+1，设0<<1，>1，<1 1<<， f()< f()， f()< f()，设函数g(x)= f(x)-f()，x（0，1），（x）=（x）+（）.
=，>ex，x在（0，1）上单调递减，+x>ex+x=(e+1)x，-x-1<-e-1，+x-x-10在（0，1）上恒成立，函数g(x)在（0，1）上单调递增， g(1)= f(1)-f(1)=0， 对任意的x（0，1），g(x)<0， f(x)-2-+，设函数h(x)= -2-+，（x）=9-6-3x=3x（3x+1）(x-1)，令（x）=0解得： x （-，-）- （-，0） 0 （0，1） 1 （1，+）
x=-或x=0，或x=1， （x） - 0 + 0 - 0 +
x，（x），h(x) 的变化 h(x)
情况如表所示，h(-)=+2-+=，h(0)=0-0-0 +=，h(1)= -2-+=-1， =-1，函数h(x)的值域为[-1，+），实数a的取值范围的取值范围是[-1，+）。
2、已知函数f(x)= -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值。
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法；⑤等差中项定义与性质；⑥证明三项成等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法分别求出函数f(x)和g(x)的导函数(x)和（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)和g(x)的最小值，从而得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）由（1）得到函数f(x)和g(x)的解析式，根据函数零点的性质，参数分类讨论的原则与基本方法和确定函数零点的基本方法，结合问题条件，①当b<1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点；③当b>1时，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，，利用等差中项的性质和证明三项成等差数列的基本方法，证明，，成等差数列就可证明结论。
【详细解答】（1）(x)= -a，（x）=a-=，①当 a0时，(x)>0在R上恒成立，（x）<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)在（0，+）上得到递减，此时函数f(x)和g(x)都没有最小值；②当a>0时，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=lna，x=， x（-，lna）时，（x）<0，x（lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，
= f(lna)=a-alna， x（0，）时，（x）<0，x（，+）时，（x）>0，
函数g(x)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()=1+lna，
函数f(x)和g(x)有相同的最小值， a-alna=1+lna，lna=，设函数h(x)=lnx-
(x>0)，（x）=-=>0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(1)=0-0=0= h(a)，且a>0，a=1；（2）证明：由（1）知数f(x)= -x和g(x)=x-lnx，(x)= -1，（x）=1-=，令(x)=0，（x）=0分别解得：x=0，x=1，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= f(0)=1-0=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= g(1)=1-0=1，①当b<1时，显然此时直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)没有交点；②当b=1时，直线y=b，与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有且仅有两个交点，且交点的横坐标分别为=0，=1,；③当b>1时，设函数u(x)= f(x)-b，
（x）=-1，令（x）=0解得：x=0，当x（-，0）时，（x）<0，x（0，+）时，（x）>0，函数u(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，= u(0)=1-0-b=1-b<0， u(-b)= +b-b= >0，u(b)= -b-b= -2b，设函数r(x)= -2x（x>1），（x）=-2>0在（1，+）上恒成立，函数r(x) 在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，r(x)> r(1)=e-2>0，u(b)= -b-b= -2b>0，函数u(x)在（-b，0）有一个零点，在（0，b）上有一个零点，设函数m（x）= x-lnx-b，
（x）=1-=，令（x）=0解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数m(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，= m(1)=1-0-b=1-b<0， m()= +b-b= >0，m(2b)=2b-ln2b-b=b-ln2b，设函数n(x)=x
-ln2x（x>1），(x)=1-=，令 (x)=0，解得x=1，当x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数n(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上
单调递增，= n(1)=1-ln2>0，函数m(x)在(，1)上有一个零点，在（1，2b）上有一个零点， u()=--b=m()=-ln-b=0，b=-=-ln，若
=，-2+ln=0，设函数d(x)= -2x+lnx（0=>0（0，1）上恒成立，函数d(x)在（0，1）上单调递增， d()=
- -3<0，d(1)=e-2+0=e-2>0，存在（0，1），使d（）=-2+ln=0，
=，直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，，， u()
= u()=u()=0，m()=m()=m()=0， u()= u()=u(ln)，函数u(x)在（-，0）上单调递减，<0，0<<1，ln<0，= ln，=， u() =m()=m()，
函数m(x) 在（1，+）上单调递增，0<<1，>1，>1，=，-2+ln=0，
+= ln+2-ln=2，，，成等差数列，存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
3、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0【解析】
【考点】①函数求导公式，法则与基本方法；②参数分类讨论的原则与基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④函数零点的定义与性质；⑤运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则与基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论的原则与基本方法和函数导函数判断函数单调性的基本方法，分别考虑①a0，②0时，函数f(x)的单调性；（2）根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)有一个零点。
【详细解答】（1）(x)= +（x-1）-2ax= x-2ax=x（-2a），①a0时，（-2a）>0在R上恒成立，x（-，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；②00，x（ln2a，0）时，(x)<0，x（0，+）时，(x)>0，函数f(x)在（ln2a，0）上单调递减，在（-，ln2a），（0，+）上单调递增；③a=时，(x) 0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；④a>时，x（-，0）时，(x)>0，x（0，ln2a）时，(x)<0，x（ln2a，+）时，(x)>0，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，综上所述，当a0时，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；
当0时，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增；（2）若选择①2a的条件，证明：2a，1<2a，b>1，由（1）知，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增，f(-b)=(-b-1) -a-b<0，f(0)=（0-1）1-0+b=b-1>0，函数f(x)在（-b，0）上有一个零点， f(ln2a)=2a（ln2a-1）-a(ln2a) +b>2a（ln2a-1）-a(ln2a) +2a=2aln2a- a(ln2a) = aln2a（2-ln2a）0，函数f(x)在（0，+）上没有零点，综上所述，函数f(x)有一个零点。若选择②00，函数f(x)在（0，2）上有一个零点，②当b<0时，设函数g（x）=-x-1，（x）=-1，x（-，0）时， (x)<0，x（0，+）时， (x)>0，函数g（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，
= g（0）=1-0-1=0， g（x）0在R上恒成立，x+1，f(x)=（x-1）-a+