四川省成都市郫都区西川汇锦都学校2023-2024学年高一下学期期中模拟数学试题（含答案）

西川汇锦都学校2023-2024学年高一下学期期中模拟数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
4．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C （ ）
A．北偏东； B．北偏东；
C．北偏东； D．北偏东；
5. 如图,在中,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
6．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)
A． B．
C． D．
7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A．74m B．60m C．52m D．91m
8. 设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列式子结果为的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为
11. 已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A． B．直线过边的中点
C． D．若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
13．已知=2，则 ．
14．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为 ； ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
（1）求函数的解析式和对称轴及对称中心；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.
16．（15分）已知：是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
（3）若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．（15分）如图，在中，，，，，D在边上，连接.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.
18. （17分）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
19．（17分）已知向量，，函数．
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）若，，分别为三个内角，，的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
（3）若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值．
西川汇锦都学校2023-2024学年高一下学期期中模拟数学试题答案
C　 2．A 3．A 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C
9．ABC 10．ACD 11. ACD
12. 3 13．2
14．6 ;
【详解】依题意，全等，
在中，，由得：
，即，又，解得，
；
，
所以.故答案为：6；
15．【答案】（1）. （2）
【详解】（1）.∵，
由，解出，
所以的减区间为.
令所以对称中心为
（2）.因为将左移得到横坐标缩短为原来的，得到
∵，
，所以所求值域为.
16．【答案】（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）
【详解】解：设，∵，且，∴，解得或，
∴或；
（2）∵与垂直，∴，即，∴，
∴，∴与的夹角为；
（3）与的夹角为锐角，则，且与不同向共线，
，解得：，
若存在，使，
,则，
，解得：，
所以且，
实数的取值范围是．
17．【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）在中，，
所以，所以
∵，，
∴，
∴.
因为，所以，∴.
（2）在中，由余弦定理得，
∴，解得，
∴.
18. 【解析】（1）解：由题意，，，
又，
所以，
，即，
=
，
，即；
（2）解：，
==，
与的夹角即为，
.
19．【答案】（1）； ；（2）见解析；（3），的值为．
【详解】（1）解：由题意知，，
令，解得：，
∴的单调递增区间为．
（2）∵，∴，，即，，
又∵，∴．
假设三角形存在，由正弦定理可得，，∴，
①当时，，∵，∴三角形无解．
②当时，，∴，三角形有唯一解．
③当时，，此时，
∵，∴有两个不同的值，故三角形有两解．
④当时，，∴，故三角形有唯一解．
综上所述，当时，三角形无解；当或时，三角形有唯一解；
当时，三角形有两解．
（3）∵，
∴方程可化为，
即，
化简得：（*），即，
∴或，
又时，方程（*）有三个不同的实根，且当时，，
∴在上有两个不同的实根为，，
又∵，∴，∴，解得：，
易知，关于对称，∴，即，∴．
综上所述，的取值范围为，的值为