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专题19.5 一次函数的实际应用问题之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】 1
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】 5
【考点三 利用一次函数解决行程问题】 9
【考点四 利用一次函数解决几何问题】 13
【考点五 利用一次函数解决其他问题】 19
【过关检测】 23
【典型例题】
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【答案】（1）三人间客房8间，双人间客房13间；（2）y＝﹣50x+7500；（3）不是，租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元
【分析】（1）根据在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，一天一共花去住宿费6300元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得x为何值时，费用最低，并写出最低费用时的住宿方案．
【详解】解：（1）设租住了三人间客房a间，双人间客房b间，
根据题意得： ，
解得：，
答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间；
（2）由题意可得，
y600×0.5600×0.5＝﹣50x+7500，
即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+7500；
（3）∵y＝﹣50x+7500，k＝﹣50，
∴y随x的增大而减小，
∴当x满足、为整数，且最大时，住宿费用最低，
∴当x＝48时，y取得最小值，此时y＝﹣50×48+7500＝5100，=16，=1，
∵5100＜6300，∴一天6300元的住宿费不是最低，
答：一天6300元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案为：租住3人间客房16间，租住2人间客房1间，此时费用为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
【变式训练】
1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
【答案】（1）购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；（2）；（3）该校至少需要投入资金元．
【分析】（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）根据（1）的结论可得购买型篮球的费用和购买型篮球的费用，再求和，然后根据两种型号的篮球个数均大于0求出的取值范围即可；
（3）先根据“购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍”建立不等式求出的取值范围，再利用一次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设购买一个型篮球需元，一个型篮球需元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：购买一个型篮球需80元，一个型篮球需50元；
（2）由题意得：购买型篮球的个数为个，
则，
即，
，
，
则关于的函数关系式为；
（3）购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，
，
解得，
又，
，
对于一次函数，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
因此，在内，，
答：该校至少需要投入资金元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；（2）；（3）购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．
【分析】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，再建立二元一次方程组，解方程组即可得；
（2）分和两种情况，结合（1）的结论，根据促销活动列出等式即可得；
（3）先求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可得．
【详解】（1）设每副羽毛球拍需a元，每个足球需b元，
由题意得：，
解得，
答：每副羽毛球拍需30元，每个足球需80元；
（2）设购买足球个，则购买羽毛球拍个，
由题意，分以下两种情况：
①当时，，
②当时，，
综上，关于的函数关系式为；
（3）由题意得：，
解得，
为正整数，
的最小值为17，
，
，
由一次函数的性质可知，在内，随x的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为（元），
此时，
答：购买羽毛球拍33个，足球17个，才能使总费用最少，最少费用是2214元．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用、二元一次方程组的应用，依据题意，正确建立一次函数和方程组是解题关键．
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
【答案】(1)网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆
(2)A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设网店第一次购进x个A款自拍杆，y个B款自拍杆，
根据题意得：，
解得：．
答：网店第一次购进20个A款自拍杆，10个B款自拍杆；
（2）解：设购进m个A款自拍杆，则购进个B款自拍杆，
根据题意得：
解得：，
设再次购进A、B两款自拍杆的销售利润为w元，
则，
即．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，，
．
答：A、B两款自拍杆各购进40个时，销售利润最大，最大利润为1080元．
【变式训练】
1．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克
(2)购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
甲水果的进价是16元/千克，乙水果的进价是20元/千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果千克，利润为y元，
由题意可知：
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
，
解得：，即，
在中，，则y随m的增大而减小，
当时，y最大，且为（元），
购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
2．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元
(2)，，且x为整数
(3)商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元
【分析】（1）设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，根据“用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同”列分式方程求解即可；
（2）直接根据题意列出函数关系式，再根据“从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍”求取值范围；
（3）根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设甲种空调每台的进价m元，则乙种空调每台的进价（）元，
由题意得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种空调每台的进价分别是2000元和2500元．
（2）解：根据题意，y与x之间的函数关系式为：
，
∵乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍，
∴，
解得，
又∵，
∴自变量 x的取值范围是，且x为整数．
（3）解：在中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵，且x为整数
∴时，y取得最大值，最大值为，
此时，
答：商店购进甲种空调34台，乙种空调66台，才能使总利润最大，最大利润是46600元．
【点睛】本题考查了列分式方程求解，列一次函数关系式，求自变量取值范围，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【考点三 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．
【答案】(1)3600；
(2)
(3)；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米
【分析】本题考查函数综合，涉及从函数图像中得到信息、待定系数法确定函数关系式、函数图像交点求法及其实际意义，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像即可得到答案；利用待定系数法将代入确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，数形结合，得到、，利用待定系数法将、代入确定函数关系式即可得到答案；
（3）由（1），（2）所得函数表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标，从而根据函数图像交点的实际意义即可得到答案．
【详解】（1）解：由线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像可知，学校到科技馆的路程为3600米；
设线段的函数关系式为，
将代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为
故答案为：3600；；
（2）解：甲班比乙班先出发5分钟，
，
设线段对应的函数表达式为，
将、代入得，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）解：联立，
解得，
图像中线段与线段的交点的坐标为，点坐标表示的实际意义是当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米，
故答案为：；当甲班步行20分钟时，乙班追上甲班，他们离开学校的路程为1440米．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出、关于的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前，；当两车相遇后，，然后求解即可．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，解得，
∴；
设，将点，代入，
可得，解得，
∴；
（2）①两车相遇前，可有，
即
解得；
②两车相遇后，可有，
即，
解得．
答：两车行驶或时两车相距300千米．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；
(2)求关于的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？
【答案】(1)点的坐标为
(2)关于的函数解析式为
(3)①；②当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元
【分析】本题主要考查一次函数与行程问题的综合，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据两条函数图象的交点的纵坐标为，代入函数解析式中计算即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）①根据行程问题算出骑行的时间，分别算出两种品牌的费用即可求解；②分两种情况讨论，第一种情况，；第二种情况，；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵函数，的图象交点，且点的纵坐标为，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，
∴，解得，，
∴点的坐标为．
（2）解：函数经过点，，
∴设，
∴，解得，，
∴，
∴关于的函数解析式为．
（3）解：①，平均行驶速度均为，
∴行驶时间为，即，
∴骑行品牌的费用（元）；
骑行品牌共享电动车，且，
∴费用（元）；
∵，
∴小明选择骑行品牌共享电动车，
故答案为：；
②第一种情况，，
∴，解得，；
第二种情况，，
∴，解得，；
∴当为或时，两种品牌共享电动车收费相差元．
【考点四 利用一次函数解决几何问题】
例题：如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出，，三个点的坐标；
(2)当，两点出发时，求的面积；
(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；
(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______
【答案】(1)，，
(2)的面积为
(3)
(4)
【分析】（1）根据坐标与图形性质求出三个点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分，两种情况，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案；
（4）计算边界点：当在上时，计算，通过画图发现，在时，点被包含在区域包含边界，从而可计算其时长．
【详解】（1）解：轴，轴，，，，
，，．
故答案为：，，；
（2）当两点出发时，如图1，，，
点在线段上，
的面积cm2；
（3）分两种情况：
①当时，在线段上，在上，如图，
由题意得：，
则；
②当时，在线段上，在上，如图，
过点作轴交的延长线于，
由题意得：
，，，，
，
则
；
综上所述，；
（4）①如图，点在上，过点作于，过作于，交于，
，
，
，
，
，
≌（SAS），
，
，
；
如图，当与重合时，点仍在的内部；
，
在点运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，几何动点问题，三角形的面积，线段三角形全等的判定与性质，从动态问题中得出一次函数的表达式等知识，是综合题，有一定的难度，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
(1)求点的坐标；
(2)直线过点，求该直线的表达式；
(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
(4)或
【分析】（1）由题意得，，则，故，即可求解；
（2）将点的坐标代入函数表达式，可得，即可求解；
（3）当时，则，即可求解；当或时，同理可解；
（4）首先确定点坐标，由三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，为等边三角形，且边长为2，
∴，，
∴，
过点作轴于点，
则，，
∴，
则点，
即点的坐标分别为：，；
（2）将点的坐标代入函数表达式，
可得 ，
则，
则该一次函数的表达式为；
（3）设点，
由点的坐标得，，，
当时，则有，
解得，则点；
当时，可有，
解得（舍去）或；
当时，可有，
解得．
综上所述，点的坐标为：或或或；
（4）对于直线，
令，即有，
解得，
∴，
∴，
则三角形的面积，
则，
将当时，将其代入，
可得，解得，
将当时，将其代入，
可得，解得，
即点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法则求一次函数解析式、一次函数的图像与性质、等边三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
【考点五 利用一次函数解决其他问题】
例题：（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【答案】(1)每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
(2)建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，根据“用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的”列分式方程求解即可；
（2）设建燃油车位个，则建新能源车位个，根据题意列一元一次不等式，求出的取值范围，设喷涂总费用为，根据题意列一次函数，再根据一次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：设每个燃油车位占地面积为平方米，则每个新能源车位占地面积为平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：每个燃油车位占地面积为平方米，每个新能源车位占地面积为平方米；
（2）解：设建燃油车位个，则建新能源车位个，
由题意得：，
解得：，
设喷涂总费用为，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即建燃油车位个，新能源车位个，才能使喷涂总费用最少，费用最少为元．
【变式训练】
1．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
(1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设与之间的函数表达式为，点代入计算即可．
（2）根据一次函数的性质，列出不等式解答即可，本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）设与之间的函数表达式为，
将点代入得：
解得：
所以与之间的函数表达式为．
（2）当时，，
解得，
所以．
2．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段对应的函数表达式．
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】(1)
(2)当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段对应的函数表达式为，根据，得出，求出t的范围即可．
【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为，
把代入得，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为 ；
（2）设线段对应的函数表达式为，
把代入得，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为 ，
当时， ，解得，
当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；做题的关键是从图象中读取信息，分析图象、将实际问题转化为函数问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程y之间的关系采用排除法求解即可．
【详解】解：开始随着时间的增多，行进的路程也将增多；由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，此时时间在增多，行驶路程不变，因此排除B；后来加快了速度，仍保持匀速行进，此时行驶的路程随时间的增多，行驶的路程也增多，且比开始时，路程增加的比开始要快，因此可以排除，故C正确．
故选：C．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得和的长是解题的关键．
连接交与点，根据菱形的性质得出直线，且，，即可求得直线的解析式为，进而求得的坐标，从而求得的坐标以及的长，把的坐标代入，求得的值，即可求得的坐标，根据勾股定理求得，根据，即可得到，然后根据菱形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接交于点，如图所示．
在中
令，得到，
，
令，得到，
，
，
，
，
四边形是菱形，
直线，
，
过点C作轴于点H，
，
，
设的表达式为，
将和代入得：
解得：
直线的解析式为，
四边形是菱形，
且平分，
Q为的中点，
，，
，，
，
把的坐标代入得，，解得，
直线为，
，
，
，，
，
，
，
菱形的面积为，
故选：D．
3．（2024·山西晋城·二模）杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动金属秤锤（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用（单位：）表示待测物的质量，（单位：）表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则水平距离与待测物质量之间的关系如图2所示．
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离越小
B．当待测物的质量时，测得的距离为
C．若秤锤C在水平距离为的位置，则秤杆在此处的刻度应为
D．若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意，即可判断A不正确；由待测物体质量为，秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，即可判断B正确；金属秤锤移动到为，则秤杆处的刻度应为，判断C错误；若，则待测物体的质量为，判断D错误，不符合题意．
【详解】解：根据题意，重物的质量越大，则金属秤锥与提纽的水平距离越大，故A正确，符合题意；
由图2可知，待测物体质量为，则秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离为，故B正确，符合题意；
若金属秤锤移动到处时，测得距离为，则秤杆处的刻度应为，故C错误，不符合题意；
若，则待测物体的质量为，故D错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题
4．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ．
【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则
，
整理得：，
∵，，都为非负整数，
∴当时，，，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为：元，而，则
，
∵，
∴当最大，有最小值，
∵，，，都为非负整数，
∴时最大，
此时，；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．
故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键．
5．（2024·山东济南·一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习． 图中分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米） 随时间（分）变化的函数图象，乙出发后 分钟追上甲．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设乙出发后钟追上甲，再根据路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，甲的速度为，
乙的速度为，
设乙出发后钟追上甲，则，
解得，
故答案为：．
6．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像中的最短距离问题，正确作出图形找到相应的点是求解的关键．先作点M关于x的对称点，过点作轴于点，交轴与,此时距离最短，根据中点可求出、的坐标，先求出、坐标，再证得是的中位线，进而求出的值，可求出点坐标，即可求解．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴，，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，
作点M关于x的对称点，过点作轴于点，则，，
∵，
∴N，关于x轴对称，
∴,
则有，根据三角形三边关系有：
∴当时，取最小值，
此时三点共线，如图中的点，
∵为中点，且,
∴是的中位线，
∵
∴．
故答案为：．
三、解答题
7．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
【答案】(1)甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
(2)当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元
【分析】
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程以及函数关系式是解答的关键．
（1）设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，直接根据题意列方程组求解即可；
（2）根据（1）中单价，由费用=单价×数量列函数关系式，利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设甲种盆栽的单价为x元，乙种盆栽的单价为y元，
根据题意，得，解得，
答：甲种盆栽的单价为4元，乙种盆栽的单价为5元；
（2）解：根据题意，得，
∵，，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，W有最小值，最小值为，
（盆），
答：当购买甲种盆栽和乙种盆栽各500盆时，总花费最少，最少费用为4500元．
8．（2024·陕西西安·二模）为了响应“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是某款新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象．
(1)当时，每千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为千米，则______；
(2)当时，求关于的函数表达式，并计算当新能源汽车已行驶180千米时，消耗了多少电量．
【答案】(1)
(2)关于的函数解析式是，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量千瓦时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为千米，汽车已经行驶的路程，求出的值；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出当时，关于的函数解析式，然后将代入求出相应的值即可．
【详解】（1）由图象可得，
当时，千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为千米，汽车能行驶千米耗电为：（千瓦时），
；
故答案为：．
（2）当时，设关于的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，关于的函数解析式是；
当时，，
答：关于的函数解析式是，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量千瓦时．
9．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
【答案】(1)打折前每个篮球的售价是120元
(2)不够用，该学校至少还需要再添加2000元
【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用．
（1）设打折前每个篮球的售价是元，根据打折后购买的篮球总数量比打折前多10个列出方程即可；
（2）根据题意列出总费用关于篮球个数的一次函数再求解即可．
【详解】（1）设打折前每个篮球的售价是元，则打折后每个篮球的售价是元，
由题意，得，解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元；
（2）设购买篮球个，则购买足球个
设购买50个篮球和足球的总费用为元
由题意，得
随着的增大而减小
又
当时，取得最小值，最小值为
学校预算的1800元不够用
（元）
该学校至少还需要再添加2000元．
10．（2023·河南平顶山·模拟预测）铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表：
类别 价格 A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品
进货价（元/件） 60 50
销售价（元/件） 98 78
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件
(2)当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用：
（1）设购进A种铁棍山药制品件，购进B种铁棍山药制品件，根据等量关系列出方程，并解方程即可求解；
（2）设第二次购进A种铁棍山药制品件，获得的利润为元，则第二次购进B种铁棍山药制品件，根据不等关系列出不等式，并求得，则，根据一次函数的性质得，当时，有最大值，代入即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进A种铁棍山药制品件，购进B种铁棍山药制品件，
由题意得：，
解得：，
答：购进A种铁棍山药制品40件，购进B种铁棍山药制品60件．
（2）设第二次购进A种铁棍山药制品件，获得的利润为元，则第二次购进B种铁棍山药制品件，
依题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，最大为：，
此时B种铁棍山药制品有：（件），
答：当购进A种铁棍山药制品30件，购进B种铁棍山药制品90件时，获得的利润最大，最大为3360元．
11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的.如图是客车、货车离C站的路程，与行驶时间的函数关系图象.
(1)货车的速度为___________；A、B两地间的路程为___________；
(2)求客车与x的函数关系式并直接写出货车与x的函数关系式.
(3)出发后经过___________两车间路程是70km？
【答案】(1)60，840；
(2)，
(3)5.5小时或6.5小时．
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程；
（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出客车与的函数关系式和货车与的函数关系式；
（3）根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可．
【详解】（1）（1）由图象可得，
客车的速度：，
则货车速度：，
与两地间路程为：，
故答案为：60，840；
（2）设客车与的函数关系式是，
，
解得，
即客车与的函数关系式是；
当时，设货车与的函数关系式是，
货车的速度为，，
该函数过点，，
，
解得，
即当时，货车与的函数关系式是；
，
当时，设货车与的函数关系式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，货车与的函数关系式是；
由上可得，货车与的函数关系式是；
（3）当两车相遇前相距70千米时，
，
解得，
当两车相遇后相距70千米时，
，
解得，
综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米．
故答案为：5.5小时或6.5小时．
12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在t的值，使为等腰三角形，t的值为4或或或8
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可；
（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出t的值即可．
【详解】（1）在中，当时，；
当时，；
∴；
∵点C在直线上，
∴，
又∵点也在直线上，
∴，
解得：；
（2）①在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，过C作于E，如图1所示：
则，
∵的面积为10，
∴，
解得：；
②存在，理由如下：
过C作于E，如图1所示：
则，
∴，
∴；
a、当时，，
∴，
∴；
b、当时，如图2所示：
则，
∴，，
∴，或；
c、当时，如图3所示：
设，则，，
∴，
解得：，
∴P与E重合，，
∴，
∴；
t的值为4或或或8．
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段对应的函数表达式：
(2)先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值．
【答案】(1)
(2)，函数图象见解析
【分析】
本题考查了一次函数的应用：
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）如图，折线即为所求作的图形，其中，设线段AB的函数表达式为，利用待定系数法得到线段AB的函数表达式为：，设线段的函数表达式为，利用待定系数法得到线段的函数表达式为：，联立即可求解.
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为
将，代入，即，
解得，
∴线段的函数表达式为．
（2）解：如图，折线即为所求作的图形，其中；
设线段的函数表达式为，将，代入，
解得，
∴线段的函数表达式为：，
∵，
∴设线段的函数表达式为，将代入，得：，
解得，
∴线段的函数表达式为：，
联立
解得
∴．
14．（2024·吉林四平·模拟预测）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿函数关系式为的射线方向爬升，到高的A处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达高度为的点C处．
(1)求2号机的爬升速度；
(2)求的h关于s的函数关系式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
【答案】(1)
(2)
(3)两机距离PQ不超过3km的时长是
【分析】
本题考查了勾股定理，一次函数的应用及待定系数法求一次函数解析式，正确从图象中获取信息是解题的关键．
（1）根据题意，得出点A的坐标，进而得出，再除以所用时间，即可求出速度；
（2）根据题意得出点B和点C的的坐标，再利用待定系数法求出h关于s的函数关系式，令，求出的值即可；
（3）分别求出三段图象中两机距离不超过的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）∵2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，
∴1号飞机和2号飞机在水平方向上通过相等的距离所用时间相等，
∵，
∴当时，，
∴点A的坐标为，
∴2号飞机从点O到点A飞行的距离为，
∵所用的时间为.
∴2号机的爬升速度为；
（2）解：根据题意，得点B的横坐标为，点C的横坐标为，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设的h关于s的函数关系式为（k，b为常数，且），
将和分别代入，
得，
解得，
∴的h关于s的函数关系式为，
当时，得，
解得，
∴预计2号机着陆点的坐标为；
（3）解：当时，当两机距离时，得，解得；
当时，当两机距离时，
得，解得，
根据函数图象，当时，两机距离不超过，
．
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专题19.5 一次函数的实际应用问题之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】 1
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】 5
【考点三 利用一次函数解决行程问题】 9
【考点四 利用一次函数解决几何问题】 13
【考点五 利用一次函数解决其他问题】 19
【过关检测】 23
【典型例题】
【考点一 利用一次函数解决分配方案问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十 一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．
（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
【变式训练】
1．为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
2．某校决定购买一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2个足球共需190元；2副羽毛球拍和3个足球共需300元．
（1）求每副羽毛球拍和每个足球各需多少元？
（2）商场搞促销活动，若购买的足球个数超过10个，足球就给予九折优惠，学校打算购买羽毛球拍和足球一共50件，设购买足球个，总费用为元，写出关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校要求购买的足球的数量不少于球拍副数的一半，本次如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【考点二 利用一次函数解决最大利润问题】
例题：（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）某网店直接从工厂购进A、B两款自拍杆，进货价和销售价如表：
类别 A款自拍杆 B款自拍杆
进货价（元/个） 30 25
销售价（元/个） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款自拍杆共30个，求这两款自拍杆分别购进多少个？
(2)第一次购进的自拍杆售完后，该网店计划再次购进A、B两款自拍杆共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．如何购进A、B两款自拍杆，才能使所获得的销售利润最大？最大利润值为多少？
【变式训练】
1．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少500元，用40000元购进甲种空调数量与用50000元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共100台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的2倍．若甲种空调每台售价2400元，乙种空调每台售价3000元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调x台，100台空调的销售总利润为y元，求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【考点三 利用一次函数解决行程问题】
例题：（2024上·山西太原·八年级统考期末）某校组织八年级学生进行研学活动，他们沿着同样的路线从学校出发步行前往科技馆．甲班比乙班先出发5分钟，如图线段表示甲班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像；折线表示乙班离开学校的路程（米）与甲班步行时间（分）的函数图像，图中轴，与相交于点．请根据图像解答下列问题：
(1)学校到科技馆的路程为______米；线段对应的函数表达式为______（）；
(2)求线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)图像中线段与线段的交点的坐标为______，点坐标表示的实际意义是_________．
【变式训练】
1．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，且超过十分钟时，对应的函数关系式是，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求出图中函数，的图象交点的坐标；
(2)求关于的函数解析式；
(3)①如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“”或“”）
②当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差元？
【考点四 利用一次函数解决几何问题】
例题：如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动.若，两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止.
(1)直接写出，，三个点的坐标；
(2)当，两点出发时，求的面积；
(3)设两点运动的时间为，用含的式子表示运动过程中的面积；
(4)在点，运动过程中，点被包含在区域包含边界的时长是______
【变式训练】
1．（2023上·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
(1)求点的坐标；
(2)直线过点，求该直线的表达式；
(3)在轴上找一点，使得三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标；
(4)在（2）的条件下，直线与轴交于点，在该直线上找一点，使得三角形的面积为．
【考点五 利用一次函数解决其他问题】
例题：（2023·河南周口·模拟预测）某小区拟对地下车库进行喷涂规划，每个燃油车位的占地面积比每个新能源车位的占地面积多5平方米，喷涂燃油车位每平方米的费用为20元，喷涂新能源车位每平方米的费用为40元（含充电桩喷涂）．已知用150平方米建燃油车位的个数恰好是用120平方米建新能源车位个数的．
(1)求每个燃油车位，新能源车位占地面积各为多少平方米？
(2)该小区拟混建燃油车位和新能源车位共200个，且新能源车位的数量不少于燃油车位数量的3倍．规划燃油车位，新能源车位各多少个，才能使喷涂总费用最少？费用最少为多少？
【变式训练】
1．（2024·陕西西安·一模）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
(1)求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
2．（2023·河南信阳·三模）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段对应的函数表达式．
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【过关检测】
一、单选题
1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
3．（2024·山西晋城·二模）杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器．如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩处，提起提纽，在秤杆上移动金属秤锤（质量为），当秤杆水平时，金属秤锤所在的位置对应的刻度就是待测物的质量（量程范围内）．为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用（单位：）表示待测物的质量，（单位：）表示秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离，则水平距离与待测物质量之间的关系如图2所示．
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．待测物的质量越大（量程范围内），秤杆水平时秤锤与提纽之间的水平距离越小
B．当待测物的质量时，测得的距离为
C．若秤锤C在水平距离为的位置，则秤杆在此处的刻度应为
D．若秤杆长为，则杆秤的最大称重质量为
二、填空题
4．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ．
5．（2024·山东济南·一模）如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习． 图中分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米） 随时间（分）变化的函数图象，乙出发后 分钟追上甲．
6．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是线段的中点，点N是线段的中点，P是x轴上一个动点，则的值最小时P点的坐标是 ．
三、解答题
7．（2024·四川成都·模拟预测）2024年世界园艺博览会将在成都举行，某社区决定采购甲、乙两种盆栽美化环境，若购买20盆甲种盆栽和10盆乙种盆栽，则需要130元；若购买30盆甲种盆栽和20盆乙种盆栽，则需要220元．
(1)甲、乙两种盆栽的单价各是多少元？
(2)若该社区联合附近社区购买甲、乙两种盆栽共1000盆，设购买m盆（）乙种盆栽，总费用为W元，请你帮社区设计一种购买方案，使总花费最少，并求出最少费用．
8．（2024·陕西西安·二模）为了响应“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是某款新能源电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象．
(1)当时，每千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为千米，则______；
(2)当时，求关于的函数表达式，并计算当新能源汽车已行驶180千米时，消耗了多少电量．
9．（2024·河南许昌·一模）为有效落实双减政策，切实做到减负提质，某学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1800元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打六折，打折后购买的篮球总数量比打折前多10个．
(1)求打折前每个篮球的售价是多少元？
(2)由于学生的需求不同，该学校决定增购足球．学校决定购买篮球和足球共50个，每个足球原售价为100元，在购买时打八折，且购买篮球的数量不超过总数量的一半，请问学校预算的1800元是否够用？如果够用，请设计一种最节省的购买方案；如果不够用，请求出至少需要再添加多少元？
10．（2023·河南平顶山·模拟预测）铁棍山药是河南焦作的著名特产之一，其营养价值丰富．近年来，铁棍山药制品越来越受到人们的喜爱．为了满足顾客需求，某电商平台决定购进A种（铁棍山药粉）和B种（铁棍山药饮品）铁棍山药制品．两种铁棍山药制品的进货价和销售价如下表：
类别 价格 A种铁棍山药制品 B种铁棍山药制品
进货价（元/件） 60 50
销售价（元/件） 98 78
(1)第一次，该平台用5400元购进了A，B两种铁棍山药制品共100件，求两种铁棍山药制品各购进了多少件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两种铁棍山药制品120件（两种铁棍山药制品的进货价不变），但A种铁棍山药制品的进货量不超过B种铁棍山药制品的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
11．（2024·江苏南京·模拟预测）已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的.如图是客车、货车离C站的路程，与行驶时间的函数关系图象.
(1)货车的速度为___________；A、B两地间的路程为___________；
(2)求客车与x的函数关系式并直接写出货车与x的函数关系式.
(3)出发后经过___________两车间路程是70km？
12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段．根据以上信息，回答下列问题：
(1)求线段对应的函数表达式：
(2)先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象，并标注出所对应的值．
14．（2024·吉林四平·模拟预测）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿函数关系式为的射线方向爬升，到高的A处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线降落，要求后到达高度为的点C处．
(1)求2号机的爬升速度；
(2)求的h关于s的函数关系式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
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