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专题19.6 难点探究专题：一次函数与几何图形的综合问题之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】 1
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】 12
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】 19
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】 29
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】 37
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）
(1)求的长；
(2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．连接，若的面积为s，求s与t之间的关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过P作直线的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，连接，连接并延长交于点F，在点P运动的过程中，当的面积等于8时，请求出点F的坐标．
3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标；
(3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是；
②AD的长度为3cm；
③a的值为7；
④当时，t的值为或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2.如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．
(1)点的坐标为： ；
(2)求直线的函数解析式．
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围．
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处．
(1)求的长；
(2)求直线的解析式；
(3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转（）得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
(1)如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式；
(2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度；
(3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别为，以为边作菱形，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转得到点N，连接，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得，求点P的坐标；
②试探究的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，边交y轴于点H．
(1)求直线的函数解析式及的长；
(2)连接，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；如不存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ．
(1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是．
(1)在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标．
(2)直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由．
2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．
(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式．
(3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
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专题19.6 难点探究专题：一次函数与几何图形的综合问题之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】 1
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】 12
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】 19
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】 29
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】 37
【典型例题】
【考点一 一次函数与三角形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如图，直线与轴交于点A，与直线交于点B，且直线与轴交于点C，求的面积．
【答案】的面积为4
【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案．
【详解】解：令中，得，
解得：，
∴，
令中，得，
∴，
解方程组，得：，
∴，
过点B作轴，则，
令中，得，解得：，
∴，
∴，,
∴
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的面积为50
(3)存在点M，且
【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将代入一次函数与；
（2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D的坐标；
（3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出
【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点，
，解得，
，解得；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
，
一次函数中，当时，，
，
，
的面积为；
（3）的面积与四边形的面积比为，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
存在点M，且．
2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且；（按下列题目要求，自行补出需要的图形）
(1)求的长；
(2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．连接，若的面积为s，求s与t之间的关系式（不用写出t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过P作直线的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，连接，连接并延长交于点F，在点P运动的过程中，当的面积等于8时，请求出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、面积的计算等：
（1）把变形为，根据非负数的性质即可，求解；
（2）由，即可求解；
（3）当点P在线段时，证明，得到为等腰直角三角形，即可求解；当点P在延长线时，同理可解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
∴
∴，，
即；
（2）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，点P运动时间为t秒，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在线段时，如下图，
过点F作于点M，
则，则，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而，则，
则为等腰直角三角形，
则，
则点；
当点P在延长线时，如下图：
同理可得：，
∴，
∴，
而，则，
则为等腰直角三角形，
则，
则点；
综上，点F的坐标为：或．
3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若直线上有一点P，且，求点P的坐标；
(3)直线上方是否存在一点M，使得M、B、C三点构成的三角形与全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)点或
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、两点之间的距离和全等三角形的性质，
（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式．
（2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P；
（3）分情况：当，则点M即为点A；当，求得过点A与直线平行的直线l的表达式，设点，根据全等得性质和两点之间的距离即可求得a，进一步求得点．
【详解】（1）解：一次函数的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
又
设直线的函数表达式为：，
把代入，
解得：，
∴直线的函数表达式为：．
（2）一次函数的图象与x轴交于点A，
∴当时，，
∴，
设上有一点使得，
如图，
，得，解得，则点；
，得，解得，则点；
综上所述，点或．
（3）①当，则点M即为点A，此时点
②当，
设过点A与直线平行的直线l∶，
代入，
解得l∶，
设点，
∵，，，
∴，（舍去），
则点，
故点或．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为；
（2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得；
（3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，
，，
，
，
，
把代入得：
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积，
当时，如图：
此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
当时，如图：
此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成1：2的两部分；
（3）解：存在点，使与全等，
在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：
，，
，，
设，则，，，
而，
，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，
，，，
，
同理可得，
②若时，如图：
，，
，
在中，令得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
【考点二 一次函数与平行四边形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，．
(1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式；
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)的值为或
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．
（1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式；
（2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（）的关系式可得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，，
把代入中可得，即，，
把代入中可得，即 ，，
当时，；
当时，．
（2）解：由题意可知，
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
则，
，解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是；
②AD的长度为3cm；
③a的值为7；
④当时，t的值为或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【详解】解：∵，点M的速度为，
∴当点M从点A到点B，用时，
当时，过点N作于点E，
∴，
∴，
在中，，
∴，，，
∴，
∴N点的运动速度是；故①正确；
∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s，
∴，故②正确；
∴，故③正确；
当点M未到点B时，过点N作于点E，
同理可得：，
∴，
解得，负值舍去；
当点N在上时，过点N作交延长线于点F，
此时，
∴，
∴， 解得，
∴当时，t的值为或9．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键．
2.如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．
(1)点的坐标为： ；
(2)求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)直线的函数解析式为y＝2x
【分析】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作轴于点，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作轴于点，如图，
、两点的坐标分别为，，
，，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
四边形是平行四边形，
，，
．
，轴，
四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：；
（2）设直线的函数解析式为，将点代入
得：，
解得：，
直线的函数解析式为．
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当时，当，当时，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，
∴，，，，
∴，
∴总的运动时间为：秒，
当点P在，点Q在上运动时，即时，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当点Q在，点P在上运动时，即时，
如图，过点B作于E，过点P作于点F，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
根据题意，得，，
∴，
∴，
即；
当点Q在，点P在上运动时，即时，
如图所示：
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
综上可得：；
（2）解：函数图象如图，
性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）解：当时，，
当时，，解得，
由图象可知，当时，．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键．
【考点三 一次函数与矩形的综合问题】
例题：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段的长分别是且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形的对角线上的点处．
(1)求的长；
(2)求直线的解析式；
(3)点在直线上，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)点N的坐标为或或．
【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、的长；由勾股定理求得，由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得，
（2）由（1）可得点D的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式即可；
（3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得的长，再利用勾股定理求得的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分两种情况求得点N的坐标即可．
【详解】（1）解：∵线段的长分别是且满足，
∴，，
∴，；
设，
由翻折的性质可得：，，，
而，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
（2）由（1）点D的坐标为，
设的解析式为：，
把，代入解析式可得： ，
解得： ，
∴直线的解析式为：；
（3）过E作，在中，，
即，
解得：，
在中， ，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式可得： ，
解得： ，
所以的解析式为：，
把代入的解析式，可得：，
此时，
即，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且为边时，
∴，
∴，，
∴点N的坐标为或．
如图，当为平行四边形的对角线时，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴；
综上：的坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，，，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
（1）先说明，由折叠可得，进而得出，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出，即，进而得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）①当为对角线时，于互相平分，即的中点也是的中点，再求出的中点坐标，设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a.为对角线时，先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b.为对角线时，的中点，也是的中点，得出的中点在直线上，先求出的中点坐标，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴解得：，
∴，
∵点E在上，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为对角线时，于互相平分，
∴的中点也是的中点，
由（2）知，，
∵，
∴的中点坐标为，
设，，
∴，，
∴，，
∴，；
②当为边时，
a.为对角线时，，
由（2）知，直线的解析式为，
∵点
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，
根据待定系数法可得：直线的解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
②为对角线时，的中点，也是的中点，
∴的中点在直线上，
设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴的中点坐标为，
设，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴满足条件的点，，．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转（）得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
(1)如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式；
(2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度；
(3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】
（1）由矩形，点，得，，，可得，即知，，设的函数表达式为，求出，代入可得，故的函数表达式为；
（2）过点作于，连接、，证明，可得，又，有，可得，设，由勾股定理有；解得，即，从而可得；
（3）当在的左侧且时，到直线的距离最大，设于的交点为，求出，由面积法得，故点到直线的距离最大值是．
【详解】（1）
解：矩形，点，
，，，
矩形是由矩形旋转得到，
，，
在中，，
，
，，
直线表达式为，
设的函数表达式为，
由，得，
，
解得，
的函数表达式为；
（2）
解：如图，过点作于，连接、，
矩形是由矩形旋转得到，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
；
解得，
，
，
，
；
（3）
解：在矩形旋转过程中，点到直线的距离存在最大值，这个最大值是，理由如下：
当在的左侧且时，到直线的距离最大，设于的交点为，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点到直线的距离最大值是．
【点睛】
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，旋转问题等，解题的关键是掌握旋转的性质．
【考点四 一次函数与菱形的综合问题】
例题：（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在y轴上，菱形的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点P是对角线上的一个动点，当取到最小值时，求点P的坐标；
(3)y轴上是否存在一点Q，使的面积等于菱形的面积，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）先由菱形的性质得出点C的坐标，再用待定系数法即可求出解析式；
（2）先确定当取到最小值时点P的位置是直线与y轴的交点，即可根据、的解析式，求出点P的坐标，即可解答；
（3）存在，设点Q的坐标为，先求出菱形的面积，根据面积相等，即可求出y，从而求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设的解析式为，
则，解得：，
∴；
（2）连接，交于点P，连接，交于点N，
∵四边形是菱形，
∴，
∴ ，
由三角形三边关系可知：，
∴当A、P、D三点共线时，最小，
设的解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
∴，
联立，
解得，
∴P点坐标为；
（3）∵，，
∴，
如图，设交y轴于点E，则，设，
则
，
∴，
∴或，
∴Q点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的图象性质和菱形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别为，以为边作菱形，点B在x轴上，点C在第一象限．
(1)求直线的函数解析式；
(2)点M为x轴上的动点，将点D绕点M顺时针旋转得到点N，连接，DN．
①当点M与点B重合时，在直线BC上找一点P，使得，求点P的坐标；
②试探究的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点P的坐标为或，②存在最小值，最小值为7
【分析】（1）根据菱形的性质求出两点坐标，直线的函数解析式为，代入两点坐标，可得；
（2）①考虑点P在上、在延长线上两种情况；
②点M在x轴运动，，运动到点N在延长线上时，的值最小．
【详解】（1）解：由题意得
∵点A，D的坐标分别为，
∴，
则，
由菱形得，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的函数解析式为，代入B、C两点坐标，
，
解得：，，
∴直线的函数解析式为；
（2）解：①点M与点B重合，即，
∵，
∴在中，，即，
过点N作轴于点E，
∴，
点D绕点M顺时针旋转得到点N，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N的坐标为，
设直线的函数解析式为，代入D、N两点坐标，
，
解得：，，
直线的函数解析式为，
∵，
∴点P在如图所示两种情况，
图1：点P即为与的交点，
，
解得：，，即点P的坐标为，
图2：设直线的函数解析式为，
∵，
∴，
∵过点，
∴，
∴，
此时与的交点即为点P，
，
解得：，，即点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或，
②如图所示，M运动到x轴负半轴、原点、正半轴处，
则，
M运动到正半轴处，，
由此可见，点M运动到处时，点N在延长线上时，的值最小，
过N点作轴于点E，即，
设点M的坐标为，则，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即
∵
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∵M在x轴正半轴，
∴，舍去，
∴点M运动到处，的值最小，
，
那么的值为，
∴存在最小值，最小值为7
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的交点问题，难度大，综合性强，关键是注意分类讨论和动点问题．
2．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，边交y轴于点H．
(1)求直线的函数解析式及的长；
(2)连接，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；如不存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，1或
【分析】（1）由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线的解析式；令，解得y，得的长，易得；
（2）设点M到的距离为h，由的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线上运动；②当P运动到直线上时，分别得的面积；
（3）分类讨论：①当时，，解得t；②当时，利用勾股定理可得的长，易得t．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，则C点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令得：，
即，
∴；
（2）解：设点M到的距离为h，
由
即，
∴；
①当P在直线上运动时，的面积S与P的运动时间t的函数关系为：
，即；
②当P运动到直线上时，的面积S与P的运动时间t的函数关系为：
，即，
故；
（3）解：存在，
①当时，则，
∵点A的坐标为，
∴，，
∴，
∴；
②当时，即，
解得：，
综上所述，满足条件的t值为1或．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求函数解析式、解一元一次方程等知识，利用分类讨论的思想，数形结合的思想求解是解题关键．
【考点五 一次函数与正方形的综合问题】
例题：（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ．
(1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)能，点的坐标为
【分析】（1）令及可以求出，点的坐标，要求点，的坐标首先需要证，证出，即可求出的坐标，同理可以求出点的坐标；
（2）先作出关于x轴的对称点，连接，与轴交点就是符合条件的点，求出的坐标，进而求出直线，再求出与轴交点即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴的坐标，
当时， ，
∴的坐标，
如图所示，过点作轴于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵轴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D的坐标为，
同理可得C的坐标为；
故答案为：，，，．
（2）点关于轴对称的点为
直线与轴的交点就是能使的长最小的点
设直线的函数解析式为
直线的函数解析式为
把代入得
点的坐标为
【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是．
(1)在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标．
(2)直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由．
【答案】(1)或或
(2)或
【分析】（1）利用正方形的性质得到，，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）先证明直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为，则当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；当与交于E、F时，则，则，再证明，进而证明，得到；当中线时，由等腰直角三角形的性质得到，，同理，则三点共线，则，求出，得到，则，利用待定系数法即可求出直线解析式为；当中线时，过点E作于H，设，点T为中点，则，，由勾股定理得到，则，，求出，同理可得，则，求出，则直线解析式为．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点的坐标是，
∴，，
∴中点D的坐标为，
如图所示，当点P在上时，设；
∵是边上的“中线三角形”，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在上时，设；
∵是边上的“中线三角形”，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在上时，设；
∵是边上的“中线三角形”，
∴，
∴，
解得（负值舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或；
（2）解：在中，当时，，当时，，
∴直线与x轴，y轴的交点到原点的距离相同，
∴直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为，
∴当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；
当当与交于E、F时，则，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当中线时，
∵为的中点，
∴，，
同理，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，当中线时，过点E作于H，设，点T为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴直线解析式为；
综上所述，直线解析式为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角的平分线于点．
(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)点在轴正半轴上运动，点在轴上．若四边形为菱形，求直线的解析式．
(3)连，点是的中点，当点在轴正半轴上运动时，点随之而运动，点到的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）如图1中，取的中点，连接．只要证明即可；
（2）如图2中，作交作于，则，由四边形是正方形，可证，四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，推出四边形不可能是菱形，推出点在点的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出，可得当坐标，致力于待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明点到的距离为定值且等于平行线之间的距离即可．
【详解】（1）证明：如图1中，取的中点，连接．
为正方形的外角平分线，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2中，作交作于，由四边形是正方形，可证，
，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴四边形是平行四边形，当点在边上时，点在上，，
∴四边形不可能是菱形，
∴点在点的右侧，
如图3中，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则有，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图4或5，连接．
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵垂直平分，
∴点在直线上，
∵，
∴，
∴点到的距离为定值且等于平行线之间的距离，
∴点到的距离．
【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
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