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专题19.7 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数问题之四大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 一次函数中折叠问题】 1
【考点二 一次函数的规律探究问题】 12
【考点五 一次函数——分段函数】 19
【考点四 新定义型一次函数】 26
【典型例题】
【考点一 一次函数中折叠问题】
例题：（22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求，两点的坐标．
(2)求直线的函数表达式．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求的函数表达式；
(3)求折痕的长．
4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张纸片，，．如图，将其放在平面直角坐标系中，点在线段上，点在线段上，将沿折叠得到（点与点重合）．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，当点恰好落在点时，求的长；
(3)当点固定在点时，交轴于点，设点为，当为直角三角形时，求满足的条件．
5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）（1）【问题发现】中，，，，斜边上的高 ；
（2）【问题探究】如图①，将置于平面直角坐标系中，直角顶点与原点重合，点落在轴上，点落在轴上，已知，，是轴上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处；求点的坐标；
（3）【问题解决】如图②，将长方形置于平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，是上一点，将长方形沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，求所在直线的函数表达式．
【考点二 一次函数的规律探究问题】
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…分别在x轴上，点，，，…分别在直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
2．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形，点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．
3．（2023·山东青岛·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【考点五 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【变式训练】
1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
2．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
3．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量的取值范围是______．
(2)下表是与的几组对应值．
… －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… 4 3 2 0 1 3 4 …
填空：______，______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
【考点四 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”．
(1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______；
(2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，，如果点满足， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：，、当点满足 = 1， = 3，则称点是点A 、B的“麓外点”．
(1)写出点，的“麓外点”C的坐标；
(2)若点， ，点是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的坐标； 若不存在，请说明理由．
2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
(1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象；
(2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线，若满足点N在直线上，则称点M为直线的“反炫点”．
(1)已知直线，
①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由；
②若点B是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点B的坐标；
(2)点是直线的反炫点，当时，求a的取值范围．
4．（22-23八年级下·福建福州·期末）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，．
(1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ；
(2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式．
(3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围．
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专题19.7 能力提升专题：一次函数中折叠、规律、分段与新定义问题之四大考点
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【典型例题】 1
【考点一 一次函数中折叠问题】 1
【考点二 一次函数的规律探究问题】 12
【考点五 一次函数——分段函数】 19
【考点四 新定义型一次函数】 26
【典型例题】
【考点一 一次函数中折叠问题】
例题：（22-23八年级下·天津和平·期末）以长方形的边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知，，将长方形沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（）利用勾股定理求的长可得的坐标；
（）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求的长，得的坐标，利用待定系数法求直线的解析式；
（）根据轴对称的最短路径，作关于点的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，利用待定系数法求直线的解析式，令代入可得的坐标．
【详解】（1）由折叠得：，
∵，，
由勾股定理得：
∴；
（2），
设，则，，
中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，得：
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
（3）存在，作关于点的对称点，
连接交轴于，此时的周长最小，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴．
【点睛】此题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题、利用待定系数法求直线的解析式，熟练掌握折叠的性质是关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得，，由一次函数可得，，进而由勾股定理得到，，设，由列方程即可求出，进而得到点的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，
∵直线，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．
(1)求，两点的坐标．
(2)求直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)直线的解析式为．
【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据轴上的点，轴上的点，代入求解即可．
（2）本题根据勾股定理得出的长，设，利用折叠的性质，推出，，又，在中通过勾股定理求得，给出的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】（1）解：当时，有，解得，即，
当时，有，解得，即．
（2）解：设，则，
将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．
，，
，，
，
，
在中，，解得，
，
设直线的解析式为，
将代入解析式，有，解得，
直线的解析式为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出的长度．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求的函数表达式；
(3)求折痕的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质求出，得到即可；
（2）在中，利用勾股定理求出，进而得到，可得点E、F的坐标，然后利用待定系数法求的函数解析式即可；
（3）利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，即为等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，，
由折叠得：，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
代入、得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）∵，，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法的应用，坐标与图形性质，熟练掌握折叠的性质，求出点E、F的坐标是解题的关键．
4．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知：有一张纸片，，．如图，将其放在平面直角坐标系中，点在线段上，点在线段上，将沿折叠得到（点与点重合）．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，当点恰好落在点时，求的长；
(3)当点固定在点时，交轴于点，设点为，当为直角三角形时，求满足的条件．
【答案】(1)；
(2)的长为；
(3)或或5或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设，由由折叠的性质得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（3）分四种情况讨论，当点C在线段上，；当点C在线段上，；当点C在延长线上，；当点C在延长线上，；利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
设直线的表达式为，则，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：设，
∵点恰好落在点，
∴，由折叠的性质得，
在中，，即，
解得，
∴的长为；
（3）解：∵点固定在点，则，
∴，
作于点G，
∴，，，
当点C在线段上，即时，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴；
当点C在线段上，即时，
由折叠的性质得，，
∴，，
在中，，即，
解得；
当点C在延长线上，即时，
同理证得是等腰直角三角形，
∴，则，
∴；
当点C在延长线上，即时，
由折叠的性质得，，
∴，，
在中，，即，
解得；
综上，或或5或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，考查了勾股定理，二次根式的混合运算，坐标与图形，折叠的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）（1）【问题发现】中，，，，斜边上的高 ；
（2）【问题探究】如图①，将置于平面直角坐标系中，直角顶点与原点重合，点落在轴上，点落在轴上，已知，，是轴上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处；求点的坐标；
（3）【问题解决】如图②，将长方形置于平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，已知，是上一点，将长方形沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，求所在直线的函数表达式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据勾股定理求出斜边的长度，然后根据三角形面积可得结果；
（2）设为，根据折叠和勾股定理列方程即可得出点的坐标；
（3）求出的解析式，根据解析式设点的坐标，依据勾股定理列出方程求解即可求出坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【详解】解：（1）中，，，，
，
，即，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设为，
，，
，
由翻折可知，，，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴点的坐标为；
（3）∵长方形，点在轴上，点在轴上，，
，，
，
，
设直线的解析式为，把点和点坐标代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
由翻折可知，，，
设，
由勾股定理得，，
即，
解得，
即，
，
设点的坐标为，
，
即，
解得，
则点的坐标为，
设直线的解析式为，代入点坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质、待定系数法求解析式及勾股定理的知识是解题的关键．
【考点二 一次函数的规律探究问题】
例题：（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…分别在x轴上，点，，，…分别在直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质， 根据，是等腰直角三角形，得到和的横坐标为1，根据点在直线上，得到点的纵坐标，结合为等腰直角三角形，得到和的横坐标为，同理：和的横坐标为，和的横坐标为，依此类推，即可得到点的横坐标．此题是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，以数学结合思想灵活运用等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
【详解】解：根据题意得：
和的横坐标为1，
把代入得：，
∴的纵坐标为1，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴和的横坐标为，
同理：和的横坐标为，
和的横坐标为，
依此类推，
的横坐标为，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解．
【详解】
解：如图，过点作轴于点D，
∵直线与x、y轴交于B、C两点，
∴当时，，当时，，
∴点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∴第1个等边三角形的边长，
同理：第2个等边三角形的边长，
第3个等边三角形的边长，
……，
由此发现：第n个等边三角形的边长等于，
∴第2024个等边三角形的边长等于．
故答案为：．
2．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形，点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数中点的规律探究，正方形的性质，分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可．
【详解】解：当，，解得，
∴点，
∵是正方形，
∴，
∴点，
∴点的横坐标是，
当时，，解得，
∴点，
∵是正方形，
∴，
∴点，
即点的横坐标是，
当时，，解得，
∴点，
∵是正方形，
∴，
∴点的横坐标是，
……
以此类推，则点的横坐标是
故答案为：
3．（2023·山东青岛·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得．
【详解】（1）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
（2）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
；
故答案为：．
（3）由（1）（2）同理可得，，，，则点，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律；
【考点五 一次函数——分段函数】
例题：在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 2 2 2 …
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … ﹣2 ﹣1 0 1 2 2 2 2 …
函数图像如下图所示：
（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；
观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线与函数只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．
【变式训练】
1．我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析．
【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象：
（2）根据图象得出结论；
（3）根据平移的性质即可求得．
【详解】解：（1）列表：
0 1 2 3
3 2 1 0 1 2 3
描点、连线画出函数的图象如图：
（2）由图象可知，当时，随的增大而增大（答案不唯一），
故答案为当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
（3）函数是由函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，
利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图象如图所示．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
2．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 …
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．
（1）
解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）
解：当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为：1；
（3）
解：描点、连线，画出函数的图象如图：
；
（4）
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量的取值范围是______．
(2)下表是与的几组对应值．
… －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… 4 3 2 0 1 3 4 …
填空：______，______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
【答案】(1)全体实数
(2)1，2
(3)见解析
(4)函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直于x轴的直线对称．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m、n的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
(1)
解∶根据题意得∶ 自变量的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数
(2)
解：当x=-3时，，
当x=0时，；
故答案为：1，2
(3)
解：画出该函数的图象，如图，
(4)
解：由函数图象得：函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直于x轴的直线对称．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
【考点四 新定义型一次函数】
例题：（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”．
(1)若点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，则______， ______；
(2)若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求k的值．
【答案】(1)；4
(2)2或
【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型：
（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“7阶和点”的定义求得“7阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：；
∵点是y关于x的正比例函数的“n阶和点”，
∴点到两坐标轴的距离之和等于，
∴点是y关于x的正比例函数的“4阶和点”，
即．
故答案为：；4；
（2）解：设一次函数图象的“7阶和点”为，则，，
∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
∴；
∴一次函数图象的“7阶和点”为；
把代入得：
，解得：；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
∴；
∴一次函数图象的“7阶和点”为，
把代入得：
，解得：；
综上，k的值为2或．
【变式训练】
1.（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）定义： 在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，，如果点满足， ，那么称点 M 是点A、B的“麓外点”．例如：，、当点满足 = 1， = 3，则称点是点A 、B的“麓外点”．
(1)写出点，的“麓外点”C的坐标；
(2)若点， ，点是点A 、B的“麓外点”．求y 与 x 之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y 与x之间的函数图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，若点E在y轴上，点F在平面直角坐标系内， 是否存在点 E 使以C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出E点的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点的坐标为或或或时，以、、、为顶点的四边形为菱形
【分析】本题考查了新定义下点坐标的运算，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质．
（1）设，根据“麓外点”的定义求解即可；
（2）根据“麓外点”的定义求解可得表示的，，消元求解即可；
（3）由y与x之间的函数关系式求出，，得，再根据菱形的性质分三种情况：①当、是菱形的邻边时，，②当、是菱形的邻边时，，③当、是菱形的邻边时，，分别进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：设
由题意知，
∴．
（2）由题意得，
解得
将代入中得
整理得y与x之间的函数关系式为．
（3）存在，理由如下：
∵
∴当时，，，
当时，，，
在中，由勾股定理得，
①当、是菱形的邻边时，，
∴或；
②当、是菱形的邻边时，，
由菱形的性质可知，，
∴；
③当、是菱形的邻边时，，
由勾股定理可知，，即：，
可得：，
∴；
综上，存在点的坐标为或或或时，以、、、为顶点的四边形为菱形．
2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
(1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象；
(2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）；
(3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)的角平分线与对边的交点坐标为或或．
【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图；
（2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解；
（3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解．
【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为，
，
．
一次函数的解析式为．
该一次函数的“相反函数”为．
作图如下．
；
（2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质：
①两个函数的图象关于轴对称；
②两个函数的图象都过点．（答案不唯一）
（3）解：由题意，作图如下．
由题意，是等腰三角形．
平分．
此时角平分线与对边的交点坐标为．
当平分时，作于，
又，
．
．
．
．
设，
．
又在中，，
．
．
．
直线为：．
又为，
．
过的角平分线与对边交点坐标为．
又根据对称性，
过的角平分线与对边交点坐标为．
综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键．
3．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，我们将点M的横、纵坐标都乘以，得到点，同时给出如下定义：对于直线，若满足点N在直线上，则称点M为直线的“反炫点”．
(1)已知直线，
①判断点是不是直线的“反炫点”，并说明理由；
②若点B是直线上一点，同时也是直线的“反炫点”，求出点B的坐标；
(2)点是直线的反炫点，当时，求a的取值范围．
【答案】(1)①点是直线的“反炫点”；②；
(2)当，；当，．
【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）①先判断点在直线上，即可求得点是直线的“反炫点”；②设点，由题意得，，据此求解即可；
（2）根据定义求得，由，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，，
∴点在直线上，点是直线的“反炫点”；
②设点，
∵点是直线上一点，
∴，
∵点也是直线的“反炫点”，
∴，∴，
解得，，
∴；
（2）解：∵点是直线的反炫点，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴当，；
当，．
4．（22-23八年级下·福建福州·期末）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，．
(1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ；
(2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式．
(3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围．
【答案】(1)1或
(2)
(3)①过定点，；②或且
【分析】（1）根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．再分类讨论：当时和当时，求解即可；
（2）根据题意可求出一次函数的衍生函数图象过点，即得出，从而得出一次函数的衍生函数为．由题意可知，，即可求出点、、的坐标分别为、、，进而可求出，，，结合三角形和梯形的面积公式可列出关于k的方程，解出k的值，即可求解；
（3）①根据题意可得，代入并整理，得：，即说明过定点，定点坐标为；
②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和，
其解析式为：，且点在内．设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，结合图象可知时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，结合图象可知且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意．
【详解】（1）解：根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．
分类讨论：当时，则，解得：；
当时，则，解得：．
∴或．
故答案为：1或；
（2）解：根据题意得，当时，一次函数的衍生函数图象过点
代入得：，即，
∴一次函数的衍生函数为．
∵，，
∴，，，
解得：，，，
∴点、、的坐标分别为、、，
∴，，
∴，
．
∵，
∴，
解得：，
代入检验是方程的解，
将代入，解得，
∴该一次函数的解析式为；
（3）解：①∵，
∴，
代入，得：，
∵当时，，
∴过定点，定点坐标为；
②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和，
其解析式为：，且点在内．
设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，如图，
将代入，
解得：，，
∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；
点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，如图，
∴且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意．
∴当或且时，衍生函数图象恰好与有两个交点．
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