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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第八单元
课标要求 内容要求：1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。学业要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；并能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想.此外，本章对于数学文化也予以关注.“阅读与思考一次方程组的古今表示及解法”中，从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就.希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶.
学情分析 学生在之前的学习过程中，已经掌握了一元一次方程的概念和解法，以及代数式、整式等基础数学知识。在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。教师在教学过程中可以根据学生的实际情况，采取适当的教学方法和策略，帮助学生逐步掌握二元一次方程组的知识和技能。同时，通过实际应用问题的练习，培养学生的数学应用意识和问题解决能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.2、体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法.3、了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.（二）教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法及实际应用。难点：列二元一次方程组解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元-解二元一次方程组28.3实际问题与二元一次方程组38.4三元一次方程组1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1二元一次方程组1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。掌握二元一次方程组的概念以及解的概念任务1：学生能利用实际问题理解二元一次方程组的概念任务2：能利用例题理解二元一次方程组解的概念8.2消元-解二元一次方程组1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.3.掌握加减消元法的意义.4.会用加减法解二元一次方程组.学生通过掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组来解决实际问题任务1：学生能利用代入消元法解题步骤解决问题任务2：学生能利用加减消元法解题步骤解决问题8.3实际问题与二元一次方程1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.3.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等.4.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.和差倍分、配套、数字问题、几何问题、行程问题、工程问题、图表信息、决策、商品问题能利用二元一次方程组表示，并能利用代入或加减消元法计算。任务1：学生能利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题；任务2：学生能利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、工程问题任务3：学生能利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品问题8.4三元一次方程组的解法1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.通过类比理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法。任务一：通过实例了解三元一次方程组的概念；任务2：会用三元一次方程组解决实际问题。
《第八章》单元教学设计
任务1：通过案例总结二元一次方程组的概念
8.1二元一次方程组
任务2：通过例题认识一元二次方程组的解的概念
任务3：例题解析
任务1：通过案例总结代入消元法的步骤
8.2消元-解二元一次方程组
二元一次方程组
任务2：通过案例总结加减消元法的步骤
任务3：例题解析
任务1：研究和差倍分、配套、数字问题用二元一次方程
解决
任务2：研究几何问题、行程问题、工程问题用二元一次
方程解决
8.3实际问题与二元一次方程组
任务3：研究图表信息、决策、商品问题用二元一次方程
解决
任务4：例题解析
任务1：通过例子的类比引出三元一次方程组的概念
8.4三元一次方程组
任务2：例题探究解三元一次方程组的步骤
任务3：例题解析
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8.4 三元一次方程组的解法
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
在之前学过了二元一次方程的概念、解法、实际问题的解决，利用类比的思想可以更好的推理出三元一次方程的概念、解法（消元）以及实际问题的应用，且能将这种思想迁移到解决四元一次方程组、五元一次方程组……等问题中。
教学目标
1.知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组.
2.学会用己学过的知识解诀新知识，学会转化的思想.
新知导入
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.
新知讲解
一、三元一次方程组的概念
小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张.
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ②
x=4y ③
观察方程①、②你能得出什么？
新知讲解
一、三元一次方程组的概念
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ②
x=4y ③
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
新知讲解
一、三元一次方程组的概念
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此我们把这三个方程合在一起写成：
这个方程组有什么特点？
①含三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；
③有三个方程.
新知讲解
一、三元一次方程组的概念
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
新知讲解
二、解三元一次方程组
如何解三元一次方程组呢？
我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解。
新知讲解
二、解三元一次方程组
如何解三元一次方程组呢？
所以解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
新知讲解
二、解三元一次方程组
解：将③代入①②，得 解得
把 y=2 代入③，得 x=8.
因此，这个三元一次方程组的解为
答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张．
新知讲解
二、解三元一次方程组
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；
新知讲解
二、解三元一次方程组
解三元一次方程组的一般步骤：
(5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起.
注意：
解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.
典例分析
例 解三元一次方程组
分析：方程①只含 x，z，因此，可以由②③消去 y，得到一个只含 x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
典例分析
解： ②×3+③ ， 得 11x +10 z = 35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，所以
因此，这个三元一次方程组的解为
典例分析
例2：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
分析：把a、b、c看做三个未知数，分别把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
典例分析
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
解得
把 代入①，得
c=-5,
因此
a=3，
b=-2.
a=3，
b=-2
a=3，
b=-2，
c=-5.
即a、b、c的值分别为3、-2、-5.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图所示，已知前两架天平的两端保持平衡，要使第三架天平的两端也保持平衡，则应在天平的右托盘上放___个圆形物品.
3
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2. 已知某个三角形的周长为18,其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的,则这个三角形三边的长度分别为 .
7,5,6
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.解三元一次方程组:
解:②＋③得：3a+4b=11 ④，
①×4-④得：5a=5，a=1
把a＝1代入①,得2＋b＝4.解得b＝2.
把a＝1,b＝2代入②,得1＋2＋c＝－2.解得c＝－5.
∴原方程组的解为
课堂练习
【综合实践类作业】
4.已知某个三角形的周长为18 cm,其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的.求这个三角形的三边长.
解:设这个三角形的三边长分别为a cm,b cm,c cm.
依题意,得解得
答:这个三角形的三边长分别为7 cm,5 cm,6 cm.
课堂总结
三元一次方程组得解法
1.三元一次方程组的概念
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
2.解三元一次方程组
板书设计
三元一次方程组的解法
三元一次方程组得解法
三元一次方程组的概念
解三元一次方程组
作业布置
【知识技能类作业】
1.购买铅笔7支,作业本3本,中性笔1支共需18元;购买铅笔10支,作业本4本,中性笔1支共需24元.则购买铅笔11支,作业本5本,中性笔2支共需( )
A．33元 B．32元
C．31元 D．30元
D
作业布置
【知识技能类作业】
2.在三元一次方程x＋y＋2z＝5中,若x＝－1,y＝2,则z＝___.
2
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图，每个圆圈中的字母下都隐藏着一个数字，分别将相邻两个圆圈中的数字相加，并将所得结果写在两个圆圈之间相连的线段上，求字母 下隐藏的数字是多少.
解：设字母 下隐藏的数字是 ，字母 下隐藏
的数字是 ，字母 下隐藏的数字是 .
由题意，得
作业布置
【知识技能类作业】
，得 ，即 .④
把②代入④，得 ，解得 .
故字母下A隐藏的数字是2.
作业布置
【综合实践类作业】
4.一个三位数，个位、百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字之和大2，个位、十位、百位上的数字之和是14，求这个三位数.
解：设这个三位数个位上的数字为 ，十位上的数字为 ，百位上的数字为 .
由题意，得
作业布置
【综合实践类作业】
把①代入③,得 .
把 代入①,得 .④
把 代入②,得 .⑤
,得 .
把 代入④,得 .
这个三位数是 .
答：这个三位数是275.
谢谢
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分课时教学设计
《8.4三元一次方程组的解法》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在之前学过了二元一次方程的概念、解法、实际问题的解决，利用类比的思想可以更好的推理出三元一次方程的概念、解法（消元）以及实际问题的应用，且能将这种思想迁移到之后的学习中去。
学习者分析 三元一次方程组的解法，是学生在具备二元一次方程组解法这一基础知识后的拓展内容。学生刚刚比较熟练二元一次方程组的解法，但对三元一次方程无从下手，所以如何正确、灵活求解三元一次方程组是值得探究的问题。
教学目标 1.知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路，会解三元一次方程组. 2.学会用己学过的知识解诀新知识，学会转化的思想.
教学重点 了解三元一次方程组的概念.
教学难点 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？这节课我们就来学习三元一次方程组及其解法.学生活动1： 独立思考二元一次方程组及其解法，进行类比 活动意图说明： 回顾所学，用新知带动旧知，加强新旧知识之间的练习，培养学生自主学习的习惯.环节二：新知讲解教师活动2： 三元一次方程组的概念 小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张. 设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张. x+y+z=12 ① x+2y+5z=220 ② x=4y ③ 观察方程①、②你能得出什么？ 都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此我们把这三个方程合在一起写成： 这个方程组有什么特点？ ①含三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③有三个方程. 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.学生活动2： 1.结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于内容比较容易理解，以谈话的方式解决即可. 2.类比二元一次方程组的解法，师生共同分析，得到三元一次方程组的解法，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演规范并梳理解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”． 3．体会三元一次方程组的不同解法之间的异同，增强思维的灵活性. 活动意图说明： 数学的学习都是建立在旧知的基础上进行学习，用旧知解决未知，符合学生认知规律.学生易于接受.环节三：新知讲解教师活动3： 二、解三元一次方程组 如何解三元一次方程组呢？ 我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解。 所以解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的. 解：将③代入①②，得 解得 把 y=2 代入③，得 x=8. 因此，这个三元一次方程组的解为 答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 解三元一次方程组的一般步骤： (1)消元：利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值； 解三元一次方程组的一般步骤： (5)写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起. 注意： 解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将“三元”化为“二元”.学生活动3： 类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有且只有一个二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入另两个方程，运用代入法消元，也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数. 活动意图说明： 培养学生的迁移思想，锻炼应用能力和运算能力. 通过例题进一步巩固学生对解三元一次方程组方法的掌握. 考查学生分析数据的能力，初步发展待定系数的思想，加深对解简单的三元一次方程组的掌握，提高解题能力.环节四：典例分析例 解三元一次方程组 分析：方程①只含 x，z，因此，可以由②③消去 y，得到一个只含 x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. 解： ②×3+③ ， 得 11x +10 z = 35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，所以 因此，这个三元一次方程组的解为 例2 在等式 y = ax2+bx+c 中，当 x= –1 时，y=0；当 x=2 时，y = 3；当 x=5 时，y=60.求 a，b，c 的值. 分析：观察题目，你能得到什么信息？ 预设：可以把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的三组x，y的值代入原等式，就可以得到 3 个三元一次方程.把这 3 个三元一次方程组成一个方程组，解这个方程组即可求出a，b，c. 解：根据题意，得三元一次方程组 (观察这个方程组，发现未知数c的系数都是1，因此先消去c.) ②–①，得 a + b = 1；④ ③–①，得 4a + b = 10；⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a =3，b = –2代入①，得c = –5. 因此， 即a，b，c的值分别为3，–2，–5.学生活动4： 可根据解三元一次方程组的步骤解决实际问题。活动意图说明： 考查列方程和运用三元一次方程组解决实际问题的能力.
板书设计 三元一次方程组的解法
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，已知前两架天平的两端保持平衡，要使第三架天平的两端也保持平衡，则应在天平的右托盘上放3个圆形物品. 2. 已知某个三角形的周长为18,其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的1/3,则这个三角形三边的长度分别为 7,5,6 . 解三元一次方程组: 解:②＋③得：3a+4b=11 ④， ①×4-④得：5a=5，a=1 把a＝1代入①,得2＋b＝4.解得b＝2. 把a＝1,b＝2代入②,得1＋2＋c＝－2.解得c＝－5. ∴原方程组的解为 【综合拓展类作业】 4.已知某个三角形的周长为18 cm,其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的1/3.求这个三角形的三边长. 解:设这个三角形的三边长分别为a cm,b cm,c cm. 依题意,得解得 答:这个三角形的三边长分别为7 cm,5 cm,6 cm.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.购买铅笔7支,作业本3本,中性笔1支共需18元;购买铅笔10支,作业本4本,中性笔1支共需24元.则购买铅笔11支,作业本5本,中性笔2支共需(D) A．33元 B．32元 C．31元 D．30元 2.在三元一次方程x＋y＋2z＝5中,若x＝－1,y＝2,则z＝2. 选做题： 如图，每个圆圈中的字母下都隐藏着一个数字，分别将相邻两个圆圈中的数字相加，并将所得结果写在两个圆圈之间相连的线段上，求字母 A 下隐藏的数字是多少. 解：设字母 A 下隐藏的数字是 x ，字母 B 下隐藏 的数字是 y ，字母 C 下隐藏的数字是 z . 由题意，得 ①+②+③ ，得 2(x+y+z)=12 ，即 x+y+z=6 .④ 把②代入④，得 x+4=6 ，解得 x=2 . 故字母下A隐藏的数字是2. 【综合拓展类作业】 4.一个三位数，个位、百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字之和大2，个位、十位、百位上的数字之和是14，求这个三位数. 解：设这个三位数个位上的数字为 x ，十位上的数字为 y ，百位上的数字为 z . 由题意，得 把①代入③,得 y=7 . 把 y=7 代入①,得 x+z=7 .④ 把 y=7 代入②,得 7z=x+9 .⑤ ④-⑤ ,得 z=2 . 把 z=2 代入④,得 x=5 . ∴ 这个三位数是 2×100+7×10+5=275 . 答：这个三位数是275.
教学反思 在教学和学习中应注意对基础知识进行提炼、归纳、整理，对基础知识和基本能力要有清晰的认识。通过必要的练习途径来提高基本能力。
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