北师大版数学八年级下册单元清测试（第五章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
2．（2022·铜仁）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；同底数幂的乘法；分式的约分；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一个负数的绝度值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数可判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，一个不为0的数的负指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数，据此判断B；根据平方差公式对C分式的分子进行分解，然后约分即可判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．（2021·临沂）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A．
【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
4．（2022·济南）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故答案为：D．
【分析】先化简分式，再将m-n＝2代入求解即可。
5．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
6．（2022·龙东）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故答案为：C．
【分析】先求出分式方程的解为，再根式分式方程的解为正数且分母不为0可得且，最后求出m的取值范围即可。
7．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
8．（2022·遂宁）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ＝ ，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或x＝﹣ ＝﹣ ，
∴m＝4或m＝0.
故答案为：D.
【分析】对原方程去分母并整理可得(4-m)x＝-2，根据分式方程无解可得4-m=0或x=，据此求解可得m的值.
9．（2023·淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，
根据题意，得：.
故答案为：D。
【分析】设初一年级平均每小时植树x棵，初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，即可得出方程。
10．（2023·鞍山）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等”可列出方程.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·福建）已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵=1，
∴=1，
∴ab=b+2a，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】对已知等式进行通分可得ab=b+2a，然后代入化简即可.
12．（2023·齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 .
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：，
且，
故答案为：且.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零；分式中字母的取值不能使分母为零.
13．（2017·枣庄）化简： ÷ = ．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷ = = ，
故答案为： ．
【分析】根据分式的乘除法的法则进行计算即可．
14．（2023·衡阳）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： 代数式，
∴当x=5时，原式，
故答案为：.
【分析】根据题意先化简分式，再将x=5代入计算求解即可。
15．（2023·青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲种劳动工具单价为x元， 则乙种劳动工具的单价为（x+4）元，
根据题意，得：。
故答案为：。
【分析】设甲种劳动工具单价为x元， 则乙种劳动工具的单价为（x+4）元， 用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍 ，即可得出分式方程。
16．（2023·永州） 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】x=4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
故答案为：x=4.
【分析】利用分式方程的增根的定义求解即可。
三、解答题（共11题，共72分）
17．（2023·连云）解方程.
【答案】方程两边同乘以，
得.
解得.
检验：当时，是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程先去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后需要检验.
18．（2021·南京）解方程 .
【答案】解： ，
，
，
，
检验：将 代入 中得， ，
∴ 是该分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x-1），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解；然后检验可得方程的根.
19．（2020·大庆）解方程：
【答案】解： ，
去分母得： ，
解得： ．
检验：把 代入 中，得 ，
∴ 是分式方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
20．（2020·湘潭）解分式方程： ．
【答案】解：
去分母得，3+2（x-1）=x，
解得，x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x=-1．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
21．（2023·盘锦）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
=
，
当
时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将除法转变为乘法，然后利用乘法分配律用括号外的因式分别与括号内的每一个加数都相乘，接着根据同分母分式加法法则进行计算；根据二次根式的性质、0指数幂的性质、负整数指数幂的性质将x的值化简，最后将x的值代入分式运算的结果计算可得答案.
22．（2023·丹东）先化简，再求值：
，其中．
【答案】解：原式
；
∵，
原式.
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】把括号内第一分式的分子分母分别分解因式后约分化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，最后计算分式乘法得出最简结果；根据负整数指数幂及零指数的性质计算得出x的值，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
23．（2023·淮安）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将被除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果即可算出答案.
24．（2019·成都）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式= .
将 代入原式得
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】 先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，将除式的分子、分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式，最后代入x的值分母有理化后约分即可得出答案.
25．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
26．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.4分式方程课时2）已知关于x的分式方程 + = .
（1）若方程的增根为x=2,求m的值;
（2）若方程有增根,求m的值;
（3）若方程无解,求m的值.
【答案】（1）解:去分母并整理,得mx=-8
若增根为x=2,则2m=-8,得m=-4
（2）解:若原分式方程有增根,则(x+2)(x-2)=0,
所以x=-2或x=2.当x=-2时,-2m=-8,
得m=4;当x=2时,2m=-8,得m=-4.
所以若原分式方程有增根,则m=±4
（3）解:由(2)知,当m=±4时,
原分式方程有增根,即无解;
当m=0时,方程mx=-8无解.
综上知,若原分式方程无解,则m=±4或m=0
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，然后将x=2代入，求解即可。
（2）根据原方程由增根，则分母为0，即(x+2)(x-2)=0，求出x的值，再将x的值分别代入mx=-8，即可求出m的值。
（3）根据（2）可知方程无解时m=±4；再根据mx=-8，若m=0时，此方程无解，即可求出满足条件的m的值。
27．（2023·济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，根据“A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据“停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”即可列出不等式组，进而即可得到a的取值范围，从而根据题意即可求出a，再分类计算费用即可求解。
1 / 1北师大版数学八年级下册单元清测试（第五章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．（2022·铜仁）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·临沂）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·济南）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·龙东）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·遂宁）若关于x的方程 ＝ 无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
9．（2023·淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树棵与初二植树棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·鞍山）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·福建）已知，且，则的值为 ．
12．（2023·齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 .
13．（2017·枣庄）化简： ÷ = ．
14．（2023·衡阳）已知，则代数式的值为 ．
15．（2023·青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ．
16．（2023·永州） 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
三、解答题（共11题，共72分）
17．（2023·连云）解方程.
18．（2021·南京）解方程 .
19．（2020·大庆）解方程：
20．（2020·湘潭）解分式方程： ．
21．（2023·盘锦）先化简，再求值：，其中
22．（2023·丹东）先化简，再求值：
，其中．
23．（2023·淮安）先化简，再求值：，其中．
24．（2019·成都）先化简，再求值： ，其中 .
25．（2021·镇江模拟）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
例如：已知 ，求 的值.
解：原式 .
问题解决：
（1）已知 .
①代数式 的值为 ▲ ；
②求证： .
（2）若x满足 ，求 的值.
26．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.4分式方程课时2）已知关于x的分式方程 + = .
（1）若方程的增根为x=2,求m的值;
（2）若方程有增根,求m的值;
（3）若方程无解,求m的值.
27．（2023·济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
2．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；同底数幂的乘法；分式的约分；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一个负数的绝度值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数可判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，一个不为0的数的负指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数，据此判断B；根据平方差公式对C分式的分子进行分解，然后约分即可判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A．
【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.
4．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故答案为：D．
【分析】先化简分式，再将m-n＝2代入求解即可。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故答案为：C．
【分析】先求出分式方程的解为，再根式分式方程的解为正数且分母不为0可得且，最后求出m的取值范围即可。
7．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
8．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ＝ ，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或x＝﹣ ＝﹣ ，
∴m＝4或m＝0.
故答案为：D.
【分析】对原方程去分母并整理可得(4-m)x＝-2，根据分式方程无解可得4-m=0或x=，据此求解可得m的值.
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，
根据题意，得：.
故答案为：D。
【分析】设初一年级平均每小时植树x棵，初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，即可得出方程。
10．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等”可列出方程.
11．【答案】1
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵=1，
∴=1，
∴ab=b+2a，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】对已知等式进行通分可得ab=b+2a，然后代入化简即可.
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：，
且，
故答案为：且.
【分析】根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零；分式中字母的取值不能使分母为零.
13．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷ = = ，
故答案为： ．
【分析】根据分式的乘除法的法则进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解： 代数式，
∴当x=5时，原式，
故答案为：.
【分析】根据题意先化简分式，再将x=5代入计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲种劳动工具单价为x元， 则乙种劳动工具的单价为（x+4）元，
根据题意，得：。
故答案为：。
【分析】设甲种劳动工具单价为x元， 则乙种劳动工具的单价为（x+4）元， 用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍 ，即可得出分式方程。
16．【答案】x=4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
故答案为：x=4.
【分析】利用分式方程的增根的定义求解即可。
17．【答案】方程两边同乘以，
得.
解得.
检验：当时，是原方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程先去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后需要检验.
18．【答案】解： ，
，
，
，
检验：将 代入 中得， ，
∴ 是该分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x-1），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解；然后检验可得方程的根.
19．【答案】解： ，
去分母得： ，
解得： ．
检验：把 代入 中，得 ，
∴ 是分式方程的根
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
20．【答案】解：
去分母得，3+2（x-1）=x，
解得，x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x=-1．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
21．【答案】解：
=
，
当
时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将除法转变为乘法，然后利用乘法分配律用括号外的因式分别与括号内的每一个加数都相乘，接着根据同分母分式加法法则进行计算；根据二次根式的性质、0指数幂的性质、负整数指数幂的性质将x的值化简，最后将x的值代入分式运算的结果计算可得答案.
22．【答案】解：原式
；
∵，
原式.
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】把括号内第一分式的分子分母分别分解因式后约分化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，最后计算分式乘法得出最简结果；根据负整数指数幂及零指数的性质计算得出x的值，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
23．【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将被除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果即可算出答案.
24．【答案】解：原式= .
将 代入原式得
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】 先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，将除式的分子、分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简形式，最后代入x的值分母有理化后约分即可得出答案.
25．【答案】（1）解：①1；
②证明：∵xy=1，
∴ =1，
∴
=
=
=
=
=1.
（2）解：设 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ =4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴ =2021
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】（1）①将1=xy代入分式，再利用分式减法法则进行计算，然后约分即可；②利用xy=1，可得到x2021y2021=1，再将分式通分计算，可证得结论；
（2）设2021-x=a，2020-x=b，可求出a-b的值；根据 ，可得到a2+b2的值 然后求出（a-b）2=1，整体代入求出ab的值，即可求解.
26．【答案】（1）解:去分母并整理,得mx=-8
若增根为x=2,则2m=-8,得m=-4
（2）解:若原分式方程有增根,则(x+2)(x-2)=0,
所以x=-2或x=2.当x=-2时,-2m=-8,
得m=4;当x=2时,2m=-8,得m=-4.
所以若原分式方程有增根,则m=±4
（3）解:由(2)知,当m=±4时,
原分式方程有增根,即无解;
当m=0时,方程mx=-8无解.
综上知,若原分式方程无解,则m=±4或m=0
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，然后将x=2代入，求解即可。
（2）根据原方程由增根，则分母为0，即(x+2)(x-2)=0，求出x的值，再将x的值分别代入mx=-8，即可求出m的值。
（3）根据（2）可知方程无解时m=±4；再根据mx=-8，若m=0时，此方程无解，即可求出满足条件的m的值。
27．【答案】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，根据“A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”即可列出方程，进而即可求解；
（2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据“停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”即可列出不等式组，进而即可得到a的取值范围，从而根据题意即可求出a，再分类计算费用即可求解。
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