云南省文山州砚山县第三高级中学2023-2024学年高二下学期4月半月考数学试卷（含解析）

砚山县第三高级中学2023-2024学年高二下学期高二半月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（试卷满分：100分 考试时间：100分钟 ）
一、单选题（每题3分，共66分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，则∠A=（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数的最小正周期为π的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（ ）
A．1 B． C．-1 D．
13．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
14．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
15．某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（　　）
A． B． C． D．
16．已知向量满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
17．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A．1 B． C． D．
18．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数、中位数与平均数分别为（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（ ）
A．，，则
B．，，，则
C．，，，则
D．，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线
21．函数，则的值为（ ）．
A．2012 B． C．2013 D．
22．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法不正确的是（ ）
A．对任意点，平面
B．三棱锥的体积为
C．线段长度的最小值为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
二、填空题（每题4分，共16分）
23．若函数，则 ．
24．已知向量，若，则 .
25．已知，，且，则的最小值为 ．
26．已知是定义在上的奇函数， 当时，，则的值为 .
三、解答题（27题5分，28题6分，29题7分）
27．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递增区间．
28．如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．
(1)证明；
(2)求点B到平面的距离．
某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.
(1)求居民月收入在的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
参考答案：
1．C
【分析】利用并集的定义直接求解即可.
【详解】集合，，所以.
故选：C
2．A
【分析】利用复数的除法及减法运算求解即得.
【详解】由，得，所以.
故选：A
3．A
【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.
【详解】当时，，
当时， ，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．C
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
5．C
【分析】根据中间值0与指数、对数函数的单调性判断大小即可.
【详解】由对数函数的单调性可知，，即.
函数在R上是减函数，于是，即.
所以．
故选：C.
6．B
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理求解即可.
【详解】易得为增函数，且，，故函数的零点所在的区间是.
故选：B．
7．B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
8．D
【分析】根据及特殊角的函数值得到答案.
【详解】因为，所以.
故选：D
9．D
【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
10．B
【分析】先求得扇形的半径，然后求得扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，则，
所以扇形的面积为.
故选：B
11．B
【分析】求出各选项函数的最小正周期即得.
【详解】对于A，函数的最小正周期是，A不符合题意；
对于B，函数的最小正周期是，B符合题意；
对于C，函数的最小正周期是，C不符合题意；
对于D，函数的最小正周期是，D不符合题意.
故选：B
12．D
【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
【详解】
.
故选：D.
13．D
【分析】问题等价于求该正方体内切球的表面积，结合已知数据求解.
【详解】易知体积最大的球为该正方体的内切球，球的半径为1，
则该球的表面积为
故选：D.
14．C
【分析】
由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.
【详解】高三年级被抽到的男生人数为.
故选：C.
15．C
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】掷出两枚骰子，设得到向上的点数分别为，，
则基本事件总数为，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共36种情况，
其中点数和为的有、、、共种情况，
所以点数和为的概率.
故选：C
16．B
【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】∵向量满足，
，
，
，
.
故选：B
17．B
【分析】先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
【详解】由题意可得，则．
故选：B
18．C
【分析】本题可通过频率分布直方图中数据求出众数、中位数与平均数.
【详解】众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，则众数是，
中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线的横坐标，
第一个矩形的面积是，第三个矩形的面积是，
故将第二个矩形分成即可，中位数是，
平均数为，
故选：C.
19．A
【解析】根据三角函数的诱导公式和基本关系式，化简：，代入即可求解.
【详解】由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，
可得：
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和基本关系式，化简为“齐次式”是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
20．D
【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况，可知D错误.
【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确；
由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确；
由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确；
由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误，
综上不正确的是D，
故选：D.
21．B
【分析】由题意可得，再由倒序相加法求解即可.
【详解】由可得：，
所以，，
所以设
，
则两式相加可得：．
故选：B.
22．D
【分析】连接，证得平面平面，可判定A正确；根据，可判定B正确；当点为线段的中点时，求得线段的长度最小值，可判定C正确；求得与平面所成角的正切值的取值范围，可判定D错误.
【详解】连接，由且，
可得四边形为平行四边形，所以，
又由平面，且平面，所以平面，
同理可得平面，又，可得平面平面，
所以对于任意点，则平面，所以A正确；
由，所以B正确；
当点为线段的中点时，可得，
此时线段的长度最小，最小值为，所以C正确；
当点在线段上运动时，长度的最小值为，最大值为，
又由长度的取值范围为，而点到平面的距离为定值1，
因为平面平面，
所以与平面所成角与与平面所成角相等，
又由平面，可得在平面射影为，
所以在平面所成角的正切值为，
即与平面所成角的正切值的取值范围为，
其最大值小于，则不存在点使得与平面所成角的大小为，
所以D错误.
故选：D.
【点睛】1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
2、等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.
3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值.
23．3
【分析】由解析式先求出，然后即求的函数值即可.
【详解】，所以，
故答案为：3.
24．
【分析】利用数量积的坐标运算求得，，再根据数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，，
因为，所以，所以，解得.
故答案为：
25．16
【分析】根据常值代换法，妙用“1”，构造基本不等式的条件，即可求得所求式的最小值.
【详解】因
当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16.
故答案为：16.
26．
【分析】
先利用奇偶性得，再代入计算即可.
【详解】是定义在上的奇函数,
,
又当时，，
.
故答案为：.
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.
【详解】（1）
，
∴函数的最小正周期．
（2）由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．
28．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可；
（2）利用等体积法求解店面距离即可.
【详解】（1）如图、连接BD，
∵，，∴，
∴，∴．
∵平面ABCD，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴．
（2）解：连接BM，．
由已知可得，，，
∴，∴．
设点B到平面的距离为h，
由（1）知BC⊥平面，
∴三棱锥的体积，
即，
解得，即点B到平面的距离为．
29．(1)0.15
(2)2400元
(3)25人
【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率.
（2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数.
（3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数.
【详解】（1）月收入在的频率为：
∴居民月收入在的频率为0.15.
（2），
，
，
，
∴样本数据的中位数为
∴样本数据的中位数为2400元.
（3）居民月收入在的频率为：
，
∴10000人中月收入在的人数为：
，
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，
则月收入在的这段应抽取：
，
∴月收入在的这段应抽25人.