2024年北师版数学八年级下册周测卷（第六章第1-2节）培优卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·宁波模拟）在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（ ）组.
（1）AB∥CD （2）AD∥BC（3）AB=CD（4）AD=BC（5）∠A=∠C（6）∠B=∠D
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有：
(1)(2)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(1)(3)，(2)(4)，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)(4)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(5)(6)，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)，这几组都是一组对边平行，一组对角相等，由这个条件可以推导出另一组对边平行(或另一组对角相等)，根据两组对边分别平行的四边形(或两组对角分别相等的四边形)是平行四边形可得到平行四边形；
综上，共有9组.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5、两组对角分别相等 的四边形是平行四边形，据此一一判断得出答案.
2．（2023八下·洪山期中）在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、根据利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、
∵，
又∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
3．（2022九下·开福期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD）=16．
故选：C．
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，AB=CD，AD=BC，结合已知可得到OE是线段AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AE=CE，再证明△CDE的周长就是AD+CD的长，据此可求出平行四边形ABCD的周长.
4．（2021八上·大庆期末）在 ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质求出AE、BE的值，然后在ABE中根据三角形的三边关系得出结果。
5．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵AB=CD，AD∥BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
6．（2023八下·达川期末）如图，四边是平行四边形，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④若，则是直角三角形，正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边是平行四边形 ，
∴AD∥BC，AD=BC
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
∴AD=BE，EF=DF
∴BE=BC，即，故②正确；
∵AD∥BE，
∴∠ADF=∠BEF，
∵，
∴∠BEF=∠ADF，
∴EF=CF，
∵BE=BC，
∴BF⊥EC，即∠FBC=90°，故③正确；
∵EF=DF，DF=FC，
∴EF=DF=FC，
∴∠ECD=90°，即 是直角三角形 ，故④正确；
∴正确的结论有4个.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合 ，可证四边形是平行四边形，可得AD=BE，EF=DF，据此判断①②；由AD∥BE可得∠ADF=∠BEF，即得∠BEF=∠ADF，
利用等角对等边可得EF=CF，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF⊥EC，据此判断③；由EF=DF，DF=FC，可得EF=DF=FC，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ECD=90°，据此判断④.
7．（2021八下·沈河期末）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，不符合题意；
D、三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定分别判断即可.
8．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，不需借助三角形全等，就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，取AC和BD的交点为O，
由作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】取AC和BD的交点为O，根据作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，然后根据平行线四边形判定定理即可作答.
9．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
10．（2022八下·芜湖期中）在面积为的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝，BC＝，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=6，
∴AE=3，AF=2．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=3，AE=3代入求出BE=6＞2，
∴E在BC延长线上，
同理DF=4＜3，即F在DC上（如图1），
∴CE=6-2，CF=3-4，
∴CE+CF=2+；
②如图2中，同①可得：BE=6，DF=4，
∴CE=6+2，CF=3+4，
∴CE+CF=10+5，
综上可得：CE+CF=2+或10+5．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，再求出BE、DF的值，再分两种情况，即可得出结论。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·双柏模拟）已知平行四边形ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠DCB的平分线分别交AD边于点E、F，且EF＝3，则边AD的长为 ．
【答案】13或7
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE =∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
同理：DF=CD=5，
分两种情况：
如图1，
∵EF=3，
∴AD=AE+EF+DF=5+3+5=13；
如图2，
∵EF=3，AE=DF=5，
∴AF=AE-EF=2，
∴AD=AF+DF=2+5=7；
综上所述：AD的长为13或7．
故答案为：13或7
【分析】分两种情况，再利用平行四边形的性质和角平分线的定义求解即可。
12．（2023八下·江夏期中）如图，将沿翻折得到，若，，则的度数为 .
【答案】118°
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可得， ，
由翻折的性质可得， ， ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 118° .
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，再由二直线平行，内错角相等得∠CDB=∠ABD=37°，由翻折性质得∠A'=∠A，∠A'DB=∠ADB，进而根据角的和差可算出∠A'DB的度数，最后根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数，此题得解.
13．（2022八下·大兴期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△BCD的面积的大小关系为：S△ABC S△BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】＝
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD
故答案为：＝．
【分析】连接AD，由勾股定理可求出AB=BC=2，AB=CD=2，根据两组对边分别相等可证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据同底等高可得S△ABC=S△BCD；
14．（2023八下·上海市期中）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DA=CB，DC=BA，
∴∠ECD=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∴∠ECB=∠CEB，
∴CB=EB=5，
∴DA=5，
∵，
∴△DEA为直角三角形，
∴∠DEA=90°，
∴BA=CD=8，∠EDC=90°，
由勾股定理得，
故答案：
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC∥AB，DA=CB，DC=BA，进而根据平行线的性质得到∠ECD=∠BEC，再根据角平分线的性质得到∠ECD=∠ECB，进而得到∠ECB=∠CEB，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到DA=5，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠DEA=90°，进而得到BA=CD=8，∠EDC=90°，最后根据勾股定理即可求出CE的长。
15．（2022八下·临海月考）如图，在中，，，、分别平分、，则长为 .
【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴CD=AB=5，BC=AD=7， ，
∴∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，
∵、分别平分、，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴BE=AB=5，CF=CD=5，
∴EF=.
故答案为∶3.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD=AB=5，BC=AD=7，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，则∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，推出BE=AB=5，CF=CD=5，然后根据EF=BE+CF-BC进行计算.
16．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AB∥CD，
将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，
∴DC'=DC =，EC’=CE ，∠CDE=∠C'DE ，
∵AF=1，∴BF=+1，
延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠G，
∴∠G=∠C'DE ，
∴FG=FD，
∵ 点是的中点 ，
∴BE=CE，
∴△BEG≌△CED（AAS），
∴BG=CD=，
∴FG=FB+BG=2+1，
∴FD=FG=2+1.
故答案为：2+1.
【分析】延长DE交AB的延长线于G，由平行四边形的性质及折叠可得AB=CD=，AB∥CD，DC'=DC =，EC’=CE ，∠CDE=∠C'DE ，结合平行线的性质可推出∠G=∠C'DE ，从而得出FG=FD，证△BEG≌△CED（AAS），可得BG=CD=，从而得出FG=FB+BG=2+1，继而得解.
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023八下·武昌期中）已知：如图，点E，F分别为的边BC，AD上的点，且.求证：.
【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴ADBC
∴AFEC、∠2=∠BCF
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCF，
∴AECF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=CE.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠2=∠BCF，结合∠1=∠2可得∠1=∠BCF，推出AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，据此可得结论.
18．（2021七下·丽水期中）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠B＝∠GDC．请说明∠1＝∠2的理由．
【答案】证明：∵∠B=∠GDC，
∴DG∥AB，
∴∠1=∠BAD，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠2=∠BAD，
∴∠1=∠2.
【知识点】平行公理及推论；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先由同位角相等得出DG∥AB，则由平行线的性质得到∠1=∠BAD，然后由平行线的推论得到AD∥EF，则可得出∠2=∠BAD，从而证得∠1=∠2.
19．（2021八下·会昌期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD=9cm，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=6cm，
∴CE=CD-DE=9-6=3（cm）．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题。
20．（2021八下·南山期末）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为F，连接
（1）求证：；
（2）四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，
∵，，
∴，
在△AEF和△BAC中，
∴
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明即可；
（2）证明，，即可得到四边形是平行四边形。
21．（2022八下·南阳期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成下面的证明.
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，连接BE，DF，BF，DE，且____（填写序号）.
（1）选择的条件的序号是 ；
（2）求证：；
（3）求证：四边形DEBF是平行四边形.
【答案】（1）①
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴.
在和中，
∴，
∴.
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
∵由（2）易得，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）任选其中一个序号即可；
（2）由平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，根据SAS证明，可得；
（3） 由四边形ABCD是平行四边形，可得，OA=OC，由可得AE=CF，从而得出， 根据平行四边形的判定即证.
22．（2022八下·汽开区）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．
平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形中，ABCD且．
求证：四边形是平行四边形．
证明：连接．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【知识应用】如图①，在中，延长到点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形．
（3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形的面积为7，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）证明：连接，在和中
∴AB∥CD，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）证明：在中，AD∥BC，
∵
∴AD∥CF，
∴四边形是平行四边形
（3）解：7
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据题意判断四边形和四边形均为平行四边形，
∴平行四边形和平行四边形同底等高，
∴平行四边形面积=平行四边形面积=7
【分析】（1）先证明，可得，再结合，即可得到四边形是平行四边形；
（2）先证明AD∥CF，，即可得到四边形是平行四边形；
（3）先判断出四边形和四边形均为平行四边形，再求出平行四边形面积=平行四边形面积=7即可。
23．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为 ．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则 ．
【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
1 / 12024年北师版数学八年级下册周测卷（第六章第1-2节）培优卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·宁波模拟）在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（ ）组.
（1）AB∥CD （2）AD∥BC（3）AB=CD（4）AD=BC（5）∠A=∠C（6）∠B=∠D
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023八下·洪山期中）在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C．， D．
3．（2022九下·开福期中）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
4．（2021八上·大庆期末）在 ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．245．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
6．（2023八下·达川期末）如图，四边是平行四边形，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④若，则是直角三角形，正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021八下·沈河期末）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
8．已知△ABC(如图1)，按图2、图3所示的尺规作图痕迹，不需借助三角形全等，就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
9．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八下·芜湖期中）在面积为的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝，BC＝，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·双柏模拟）已知平行四边形ABCD中，AB＝5，∠ABC与∠DCB的平分线分别交AD边于点E、F，且EF＝3，则边AD的长为 ．
12．（2023八下·江夏期中）如图，将沿翻折得到，若，，则的度数为 .
13．（2022八下·大兴期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△BCD的面积的大小关系为：S△ABC S△BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．（2023八下·上海市期中）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是 ．
15．（2022八下·临海月考）如图，在中，，，、分别平分、，则长为 .
16．（2023九上·沙坪坝期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，，则的长为 ．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023八下·武昌期中）已知：如图，点E，F分别为的边BC，AD上的点，且.求证：.
18．（2021七下·丽水期中）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠B＝∠GDC．请说明∠1＝∠2的理由．
19．（2021八下·会昌期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长．
20．（2021八下·南山期末）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为F，连接
（1）求证：；
（2）四边形是平行四边形吗？请说明理由．
21．（2022八下·南阳期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成下面的证明.
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，连接BE，DF，BF，DE，且____（填写序号）.
（1）选择的条件的序号是 ；
（2）求证：；
（3）求证：四边形DEBF是平行四边形.
22．（2022八下·汽开区）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．
平行四边形的判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形中，ABCD且．
求证：四边形是平行四边形．
证明：连接．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【知识应用】如图①，在中，延长到点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形．
（3）【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形的面积为7，直接写出四边形的面积．
23．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为 ．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有：
(1)(2)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(1)(3)，(2)(4)，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)(4)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(5)(6)，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)，这几组都是一组对边平行，一组对角相等，由这个条件可以推导出另一组对边平行(或另一组对角相等)，根据两组对边分别平行的四边形(或两组对角分别相等的四边形)是平行四边形可得到平行四边形；
综上，共有9组.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；5、两组对角分别相等 的四边形是平行四边形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、根据利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、
∵，
又∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD）=16．
故选：C．
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，AB=CD，AD=BC，结合已知可得到OE是线段AC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可证得AE=CE，再证明△CDE的周长就是AD+CD的长，据此可求出平行四边形ABCD的周长.
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质求出AE、BE的值，然后在ABE中根据三角形的三边关系得出结果。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵AB=CD，AD∥BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边是平行四边形 ，
∴AD∥BC，AD=BC
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
∴AD=BE，EF=DF
∴BE=BC，即，故②正确；
∵AD∥BE，
∴∠ADF=∠BEF，
∵，
∴∠BEF=∠ADF，
∴EF=CF，
∵BE=BC，
∴BF⊥EC，即∠FBC=90°，故③正确；
∵EF=DF，DF=FC，
∴EF=DF=FC，
∴∠ECD=90°，即 是直角三角形 ，故④正确；
∴正确的结论有4个.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合 ，可证四边形是平行四边形，可得AD=BE，EF=DF，据此判断①②；由AD∥BE可得∠ADF=∠BEF，即得∠BEF=∠ADF，
利用等角对等边可得EF=CF，利用等腰三角形三线合一的性质可得BF⊥EC，据此判断③；由EF=DF，DF=FC，可得EF=DF=FC，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠ECD=90°，据此判断④.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，不符合题意；
D、三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定分别判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，取AC和BD的交点为O，
由作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】取AC和BD的交点为O，根据作图可知先作AC的垂直平分线，再取OD=OB，然后根据平行线四边形判定定理即可作答.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，BC=AD=2，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=6，
∴AE=3，AF=2．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=3，AE=3代入求出BE=6＞2，
∴E在BC延长线上，
同理DF=4＜3，即F在DC上（如图1），
∴CE=6-2，CF=3-4，
∴CE+CF=2+；
②如图2中，同①可得：BE=6，DF=4，
∴CE=6+2，CF=3+4，
∴CE+CF=10+5，
综上可得：CE+CF=2+或10+5．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，再求出BE、DF的值，再分两种情况，即可得出结论。
11．【答案】13或7
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE =∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
同理：DF=CD=5，
分两种情况：
如图1，
∵EF=3，
∴AD=AE+EF+DF=5+3+5=13；
如图2，
∵EF=3，AE=DF=5，
∴AF=AE-EF=2，
∴AD=AF+DF=2+5=7；
综上所述：AD的长为13或7．
故答案为：13或7
【分析】分两种情况，再利用平行四边形的性质和角平分线的定义求解即可。
12．【答案】118°
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由平行四边形的性质可得， ，
由翻折的性质可得， ， ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 118° .
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，再由二直线平行，内错角相等得∠CDB=∠ABD=37°，由翻折性质得∠A'=∠A，∠A'DB=∠ADB，进而根据角的和差可算出∠A'DB的度数，最后根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数，此题得解.
13．【答案】＝
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD
故答案为：＝．
【分析】连接AD，由勾股定理可求出AB=BC=2，AB=CD=2，根据两组对边分别相等可证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据同底等高可得S△ABC=S△BCD；
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DA=CB，DC=BA，
∴∠ECD=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD=∠ECB，
∴∠ECB=∠CEB，
∴CB=EB=5，
∴DA=5，
∵，
∴△DEA为直角三角形，
∴∠DEA=90°，
∴BA=CD=8，∠EDC=90°，
由勾股定理得，
故答案：
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC∥AB，DA=CB，DC=BA，进而根据平行线的性质得到∠ECD=∠BEC，再根据角平分线的性质得到∠ECD=∠ECB，进而得到∠ECB=∠CEB，根据等腰三角形的性质结合题意即可得到DA=5，再根据勾股定理的逆定理即可得到∠DEA=90°，进而得到BA=CD=8，∠EDC=90°，最后根据勾股定理即可求出CE的长。
15．【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴CD=AB=5，BC=AD=7， ，
∴∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，
∵、分别平分、，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴BE=AB=5，CF=CD=5，
∴EF=.
故答案为∶3.
【分析】根据平行四边形的性质可得CD=AB=5，BC=AD=7，AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠DAE，∠ADF=∠CFD，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，则∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，推出BE=AB=5，CF=CD=5，然后根据EF=BE+CF-BC进行计算.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AB∥CD，
将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，
∴DC'=DC =，EC’=CE ，∠CDE=∠C'DE ，
∵AF=1，∴BF=+1，
延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠G，
∴∠G=∠C'DE ，
∴FG=FD，
∵ 点是的中点 ，
∴BE=CE，
∴△BEG≌△CED（AAS），
∴BG=CD=，
∴FG=FB+BG=2+1，
∴FD=FG=2+1.
故答案为：2+1.
【分析】延长DE交AB的延长线于G，由平行四边形的性质及折叠可得AB=CD=，AB∥CD，DC'=DC =，EC’=CE ，∠CDE=∠C'DE ，结合平行线的性质可推出∠G=∠C'DE ，从而得出FG=FD，证△BEG≌△CED（AAS），可得BG=CD=，从而得出FG=FB+BG=2+1，继而得解.
17．【答案】证明：∵ABCD是平行四边形，
∴ADBC
∴AFEC、∠2=∠BCF
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCF，
∴AECF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=CE.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠2=∠BCF，结合∠1=∠2可得∠1=∠BCF，推出AE∥CF，则四边形AECF是平行四边形，据此可得结论.
18．【答案】证明：∵∠B=∠GDC，
∴DG∥AB，
∴∠1=∠BAD，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠2=∠BAD，
∴∠1=∠2.
【知识点】平行公理及推论；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先由同位角相等得出DG∥AB，则由平行线的性质得到∠1=∠BAD，然后由平行线的推论得到AD∥EF，则可得出∠2=∠BAD，从而证得∠1=∠2.
19．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD=9cm，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=6cm，
∴CE=CD-DE=9-6=3（cm）．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题。
20．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，，
∵，，
∴，
在△AEF和△BAC中，
∴
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明即可；
（2）证明，，即可得到四边形是平行四边形。
21．【答案】（1）①
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴.
在和中，
∴，
∴.
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴.
∵由（2）易得，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）任选其中一个序号即可；
（2）由平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，根据SAS证明，可得；
（3） 由四边形ABCD是平行四边形，可得，OA=OC，由可得AE=CF，从而得出， 根据平行四边形的判定即证.
22．【答案】（1）证明：连接，在和中
∴AB∥CD，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）证明：在中，AD∥BC，
∵
∴AD∥CF，
∴四边形是平行四边形
（3）解：7
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）根据题意判断四边形和四边形均为平行四边形，
∴平行四边形和平行四边形同底等高，
∴平行四边形面积=平行四边形面积=7
【分析】（1）先证明，可得，再结合，即可得到四边形是平行四边形；
（2）先证明AD∥CF，，即可得到四边形是平行四边形；
（3）先判断出四边形和四边形均为平行四边形，再求出平行四边形面积=平行四边形面积=7即可。
23．【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
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