长 春 市 第 五 中 学
长春市田家炳实验中学
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
2．设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．用这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．48
4．若的展开式中常数项是15，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ）
A．248种 B．168种 C．360种 D．210种
7．已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，则的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9．已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则（ ）
A． B．
C．双曲线的方程为 D．
11．已知，则（ ）
A．展开式中所有二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大项为第1012项
C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．是函数的极大值点
C．函数有3个零点
D．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______．
14．已知直线过抛物线的焦点，与相交于两点，且．若线段的中点的横坐标为3，直线的斜率为_______．
15．已知长方体型泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
16．定义在上的奇函数的导函数满足，且函数的周期T=4，若，则不等式的解集为_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
18．（12分）已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
20．（12分）已知函数，其图象在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数在区间上的最值．
21．（12分）椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
22．（12分）已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值高二年级第一学程考试答案
1.因为在等差数列中，，解得，故，故选B．
2．，则，故选C．
3．D
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择.
由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数.
故选:.
4．C
【分析】
利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于的方程，解出即可.
【详解】二项展开式通项为
则时常数项为．
故选：C．
5．由条件知点在圆上，直线的斜率为切线的斜率为，即直线方程为，整理得：直线与直线平行，直线方程为，则直线与的距离为，故选A．
6．D
【分析】
根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可.
【详解】根据题意进行分类：
第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3分，（种）.
所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法．
故选：D.
7．因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，又当时，函数，在时取得最大值4，所以，所以的最小值为4，故选D．
8．B
【分析】
根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.
【详解】设，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减,
故.
则，即；
由可知，故.
故选：B.
9．对于A，B，若，则，两式相减可得，为周期2的周期数列，，则，故A正确；，故B正确；对于C，D，若，则，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则，故C错误；，故D正确，故选ABD．
10．设过与一条渐近线垂直的直线为，则的方程为，与联立可得，因为，又，得，联立得：，则，所以离心率为，双曲线的标准方程为，故选ABC．
11．ACD
【分析】
由二项式定理及组合数性质判断A、B；特殊值取、即可判断C；对等式两侧求导，再代入判断D.
【详解】
对于A：展开式中所有二项式的系数和为，正确；
对于B：根据二项式系数的性质知，且是二项式系数中最大的两项，于是展开式中二项式系数最大项为第1012项和第1013项，错误；
对于C：取，得，取，得，
故，正确；
对于D：等式两边同时求导，得到，
取，得，正确．
故选：ACD
12．BCD
【分析】求出，利用、可得的单调区间及极值，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，，
当时，，单调递减，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，上单调递减，故A错误；
对于B，所以是函数的极大值点，故B正确；
对于C，所以是函数的极小值点，
且，，
所以在上有一个零点，
且，
，
所以在、上各有一个零点，
所以函数有3个零点，故C正确；
对于D，若函数在区间上存在最小值，则
，解得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．由进行求导得：，可得：，解得．
14．抛物线的焦点，如图1，令，由，可得，又，则，则，此时抛物线，其焦点．由题意可得直线的斜率存在，则其方程可设为，由整理得，则则，即，即，解得．
15．
【分析】
将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果.
【详解】
由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）；
表示较短池壁长，，解得：，
池壁的总维修费用表达式为，
，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低.
故答案为：.
16．，即的周期为4，是定义在上的奇函数，．①时，令，，即单调递减，，不等式的解集为；②时，时，不等式成立．
四、解答题
17．(1)720种
(2)1440种
(3)960种．
【分析】
（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果；
（2）根据题意，由插空法，即可得到结果；
（3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）
根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）
根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
18．
解：（Ⅰ）因为，
令得，
因为，
所以，
两式相减得，
即．
所以，
所以，
即，
所以当时，，
又，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行；
（2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得．
【详解】（1）设，则是中点，连接，
又∵是中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵，∴，
平面，平面，
∴，同理，
，平面，
∴平面，而平面，故，
∴是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
∴二面角的正切值为．
20．
解：（1），
所以在点处切线的斜率为，
因为切线方程为，
所以切线的斜率为0，且，
所以
解得，
所以．
（2）由（Ⅰ）知．
，
令得或3，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增，
所以处取得极大值，
处取得极小值，
又，
，
所以在上的最大值为20，最小值为0．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得：解得
则，
椭圆的方程为．
（Ⅱ）如图2，由（Ⅰ）可知，
图2
，
由题意可知直线斜率必存在，设直线，
设，
联立整理可得：，
，
，
，
，
令，可得，
，
则，
又在上单调递增，
当，即，即时，面积最大．
此时直线．
22（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解；
（2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值；
（3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解.
【详解】（1）由函数可得
，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是；无单调递增区间.
当时，令解得，
令，解得；
令，解得，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，
当时，的单调递减区间是；单调递增区间是.
2）当时，不等式恒成立，
即，
即，
，
，
，
，
即，
令，
，
令，
，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以存在唯一一点，使，
即，所以，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；
所以，
，
，
因为，
所以，
即，
所以，
所以整数的最大值是4.
