2024 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 f x f x8 1 2 ． 已知定义在 R上的函数 y f x ，对任意的 x1, x2 , 且 x1 x2，都有 0， 4 x1 x2
高一数学试卷
且函数 y f x
为奇函数. 若锐角 的三个内角为 ，则（ ）
4
A． f A f B 0 B． f A f B 0
考试时间：2024年 4月 15日下午 15：00－17：00 试卷满分：150分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 C． f A f B 0 D． f A f B 的符号无法确定
题目要求的）
2 i 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合1． 复数 z 的虚部是（ ）1 3i 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
1 1 1 1 9． 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集A． B． C． i D． i
2 2 2 2 周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线
2． 下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ） π π 函数为 f x 3sin x ，且经过点 2,3 ，则下列说法正确的是（ ）
6 2
A．若 a b，则 a b B．若 a //b 且 a b ，则 a=b π
A．函数 y f x 的最小正周期 T=12 B．
6
C．若 a b 0 , 则a 0或 b 0 D．若 a与b 不共线，则a与b 都是非零向量
C．函数 y f x 在区间 2,8 上单调递减 D．函数 y f x 2 是奇函数
3． 已知平面向量 a
1,2 ,b 3,4 ，则向量 a 在向量b 上的投影向量是（ ）
10．已知复数 z1， z2， z3，则下列结论正确的有（ ）
A． 3 4 6 8 3 4 3 4 ,
B．
, C．
,
D．
,
25 25 5 5 5 5 5 5 A． z 2 21 z1 B． z1 z2 z1 z2
tan 1
4． 已知 2 cos(2
，则 )的值为（ ）
1 tan 4 C． z1z2 z1 z2 D．若 z1z2 z1z3,且z1 0，则 z2 z3
A 7 2． B 2． C 2． D 7 2．
10 10 10 10 11．如图，设Ox,Oy是平面内相交成 角的两条数轴，其中 0, π ， e
1
,e2 分别是与 x轴，y轴正方
5
5． 在△ABC中，D在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=10，若 PA mPB ( m)PC（m为常数），
4 uuur uur ur ur 向同向的单位向量，若向量OP a xe1 ye ，则把有序数对 x, y2 叫做向量OP在夹角为 的
则 PD的长度是（ ）
uur
A．9 B．8 C．7 D．6 坐标系 xOy中的坐标，记为 a x, y ，则下列结论正确的是（ ）
1 1
6． 若实数 x，y满足3x 3y 2 n ( )x ( ) y 2， ，则 n的最小值为（ ） r3 3 A．若 a (1, 2)
( π )，则 a 7
A．2 B．8 C．9 D．12 3
7． 在△ABC中，点E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若△ABC的面积为 4， B．若a 1, 2 ,b 3, 2 2 ,则a⊥b（ ） （ ）
4 4
2
则 PB PC BC 的最小值是（ ） R 5e πC．若对任意的 , 1 e
5
2 2 最小值为 ，则 2 6
3 D．若对任意的 0, π ，都有 e1 e2 e1 e2 恒成立，则实数 ( , 3] [1, )A．2 B． 2 3 C．4 D．
2
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三、填空题；本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
6 18．（17分）如图，在 ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，D为 BC边上一点，已知12．已知 sin cos ，则 sin 2 .
4 b 2,c 2 4, A π ．
13．在 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为 a，b， c，若 acosB bcosA c b，则角 A ， 3
3 （1）若 AD平分 BAC，求 AD的长；
若 I为 ABC 的内心，且 AI IB IC , 则 .
3
（2）若 D
为 BC边的中点， E,F分别为 AB边及AC边上一点（含端点），
14．已知平面向量 a， b ， a 2，b 3，若存在平面向量 c， c 1，使得 a c b c 0，则
且 AE xAB, AF yAC， x y 1
uuur uuur
，求DE DF的取值范围．
a b a b 的最小值是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
r
15．（13分）已知向量 a 1,2 ， b 2 5．
19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数 n，满足
（1）若a∥b，求b的坐标；
zn 1 0的所有复数 z cos
2kπ
i sin 2kπ k Z 称为 n次单位根，其中，满足对任意小于 n
n n
（2）若 5a b a b ，求 a与b夹角的余弦值．
的正整数m，都有 zm 1，则称这种复数为n次本原单位根. 例如，n 4时，存在四个 4 次单
1 i 2位根 ， ，因为11 1， 1 1，因此只有两个 4 次本原单位根 i；
② 分 圆 多 项 式 ： 对 于 正 整 数 n ， 设 n 次 本 原 单 位 根 为 z1, z2 , , zm ， 则 多 项 式
16．（15分）在 ABC中，角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，且b2 c2 bc a2． x z1 x z2 x zm 称为 n次分圆多项式，记为 x ；
（1）求角A n的大小；
1
（2）若b 2， sinC ，求 ABC的面积． 例如 4 x x i x i x2 1；回答以下问题：7
（1）直接写出 6次单位根，并指出哪些为 6次本原单位根（无需证明）；
（2）求出 6 x ，并计算 6 x 3 x 2 x 1 x ，由此猜想
12 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 x 的结果，
17．（15分）已知向量m 3sin x,cos x ,n cos x, cos x ( 0, x R)， f x m n 1 ，且2
（将结果表示为 n x anxn a n 1n 1x a1x aπ 0 的形式）（猜想无需证明）；y f (x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ．
2
（3）设所有 12次本原单位根在复平面上对应的点为 A1, A2 , , Am ，两个 4 次本原单位根在复平面
（1）求函数 y f (x)的解析式；
上 对 应 的 点 为 B1,B2 ， 复 平 面 上 一 点 P 所 对 应 的 复 数 z 满 足 z 2 ， 求
（2）若a 0，且函数 y f (x)在区间 a, 2a 上单调，求a的取值范围.
PA1 PA2 PAm PB1 PB2 的取值范围.
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高一 数学参考答案
一、二选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A D C B B B C A AC BCD ABD
8. 【答案】A
f x , 【详解】由题可知， 在区间 上单调递增，且函数 y f x 为奇函数，则 f 4 4
x f x ，
4 4
故 f x f x
，当 x 0
时，有 f f
，即 f 0，
2 4 4 4
又因为 y f x 图象关于原点 0,0 对称，则 f x 图象关于点 , 0
对称，所以， f x 在 R上单调递增.
4 4
f A f B f A f B
π π
，而 ABC为锐角 ，故 A + B > 2，则 A > B, 2 2
所以 f A f B 0，即 f A f B 0，选 A.
2
11、【答案】ABD
u
【详解】 aur ur ur 2 ur 2 ur ur ur 2 1,2 e1 2e2 e1 4 e1 e cos60o2 4 e2 4 1 4 1 7，故 A正确；
3 2
uur
a b e1 2e2
uur
3e1 2 2e2 2 3 4 2 2 3 2 0，即 a b ，故 B正确2
5e 5 5 3 π 5π1 e2 最小值为 可知5e1在 e2方向投影向量的长度为 3，即2 2 cos
，可得 或 ，C错误
2 6 6
e e e e 1 2 1 2 两边平方得1 2 2 cos 2 2cos 对 0,π 成立
则 2 1 2 1 cos ，即2 1 cos 2 1 0，由于 0,π ，cos 1,1 ，
2 1 1 2 1 0
故 ，解得 3或 1，综上所述 ( , 3] [1, )，故 D正确
2 1 （ -1） 2 1 0
三、填空题
5
12. 13. A = 2 3（对一个给 2分，全对给 5分）
8 3 3
14. 4 3
【详解】设 a OA，b OB，c OC，点C在单位圆上，点 A,B也在圆上
a c
则 CA，b c CB，由 a c b c 0可得：CA CB，
2 2 2 2
作矩形 ACBD , 则 | a b | |OA OB | | BA | . 下证： OA OB OC OD .
设 AB,CD
交于点 P，连接OP ,因OA OP PA, 2 2 2则 OA OP PA 2OP PA，
2 2 2
同理可得：OB OP PB 2OP PB，两式左右分别相加得：
2
2 2
2 2 2 2 2 2
OA OB 2OP PA PB 2OP
1
BA 2 2
2 2(OP
BA DC
) 2(OP )
4 4
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2[(OC OD )2 (OC OD 2
) ] 2
2
2 2 OC OD
.
2 2 2 2
即 a b c OD ，故 |OD | 2 3 .
又 | a b | | a b | BA 2 OP CD 2 OP 2 PD 2 OP 2 OD 4 3
，故 a b a b 的最小值是 4 3 ．
四、解答题
1
15.【答案】(1)b 2,4 或b 2, 4 (2)
8
r r
【详解】（1）由题意，设b a , 2 ． b 2 5， 2 2 2 2 5，
2， b 2,4 或b 2, 4 ． ……6分，有漏解扣 2分
2 （ ） 5a b a b ， 5a b a b 0， ……8分
2 2 5
5a 4a b b 0， a b ． ……10分4
5
设 a与b的夹角为 ，则 cos a b 4 1 ．
a b 5 2 5 8
∴ 1a与b的夹角 的余弦值为 . ……13分8
π
16.【答案】(1) (2) S 2； 3
3 13
.
【详解】（1）在 ABC中，由余弦定理， a2 b2 c2 2bccos A ,又b2 c2 bc a2，则 cosA = 1,2
π
而 0 < A < π,则 A ……6分
3
sinC 1 4（2）由 得 cosC 3， ……8分
7 7
若 cosC
4
3 sin B sin A C sin AcosC cos AsinC 3 4 3 1 1 137 ，那么 ……11分2 7 2 7 14
a b
由正弦定理， , a
bsin A
则
sin A sin B sin B
2 3 1
S 1 b
2 sin AsinC 2 2
因此 ab sinC 2 7 3 ……13分
2 2sin B 2 13 13
14
若 cosC
4
3，那么 sin B sin A C sin AcosC cos AsinC 3 4 3 1 1 11 （舍）7 2 7 2 7 14
因此 S
2
3
13 ……15分
1 4
注：也可以通过角的大小关系,由 sinC sin A ,得到C A，故直接判断出 cosC 3，若无判断且无讨论
7 7
扣 3分
π π π 5π
17.【答案】(1) f x sin(2x ) 1 (2) (0， ] [ , ]
6 6 3 12
1 3 1 π
【详解】（1） f x 3sin xcos x cos2 x sin2 x cos2 x 1 sin 2 x 1， ……3分2 2 2 6
f x π 2π由 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，有T π，得 1， ……5分
2 2
π
故 f x sin(2x ) 1 ……6分
6
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f x sin 2x π (2) 方法一： 1，由于 x a, 2a
π π π
，则 2x
6 6
2a , 4a
6 6
2a a T
π
a 0, 又 得到 ， ……9分
2 2
2a π π 5π 故 , ，则 2a
π
, 4a π [ π , π] 2a π ,4a π [ π , 3π 或 ]6 6 6 6 6 2 2 6 6 2 2
……12分
a (0, π] a [π , 5解得 或 π] ……14分
6 3 12
所以 a的取值范围 (0 π] [π , 5π， ] ……15分
6 3 12
方法二： f x sin 2x π 1
π π π
，令 kπ 2x kπ k Z ，
6 2 6 2
π kπ π kπ
解得单调区间为 x ， k Z ……8分 6 2 3 2
a, 2a π kπ π kπ故 ， k Z ， 6 2 3 2
a π kπ 6 2 π kπ π kπ
， a , k Zπ kπ ……11分 2a 6 2 6 4
3 2
π kπ π kπ
由于 ，故 k 0或 k 1
6 2 6 4
a 0, πk 0
π 5
当 时 ，当 k 1时 a [ , π] ……14分
6 3 12
a π π 5π所以 的取值范围 (0， ] [ , ] ……15分
6 3 12
注：两个区间漏写一个扣 3分
4
18.【答案】(1) ；(2) 3,3 .
3
【详解】（1）在 ABC中， S ABC S ABD S ADC ， ……2分
1
因此 AB AC sin
2 π 1 AB AD π 1 π sin AD AC sin ……4分
2 3 2 3 2 3
bc 4
即 AD ……7分
b c 3
（2）由D为 BC中点得： AD
1
AB 1 AC
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurDE DF DA AE DA AF x 1 AB 1 AC 1 AB y 1 AC 故 ……9分
2 2 2 2
1 x 1
2
AB 1 1
2 1 1 1
y
AC
x y
AB AC2 2 2 2 2 2 4
16 1 1 1 1
x 4 y 4
xy
1
x 1 y 1
2 2 2 2 2 2 2
2
4xy 6x 3 4y 2 2y 3 4 1 13 y ……13分
4 4
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2
又 y ∈ [0,1],DE DF 4 1 13 y 在[0,1]上单调递增 ……15分
4 4
因此 y 1时， DE DF 3； y 0时， DE DF 3 ……16分
max min
uuur uuur
即DE DF 3,3 ……17分
kπ kπ
19、【解析】（1） z6 1 0的解为 z cos i sin k 0,1,2,3,4,5 ，3 3
6 1, 1, 1 3故 次单位根为 i, 1 3 i, 1 3 i, 1 3 i，6 1 3次本原单位根为 i 1 3和 i
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
（6次单位根 3分，有漏写酌情扣 1-2分，有错误 0分，6次本原单位根 1个 1分） ……5分
1 3
（2） 6 x x i
1 3
x i 22 2 2 2
x x 1 ……7分
又 3 x
1 3 1 3
x i2 2
x i x 2 x 1； 2 x x 1, 1 x x 1,
2 2
因此 6 x 3 x 2 x 1 x x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 x6 1 ……10分
猜想 12 x 6 x 4 x 123 x 2 x 1 x x 1 ……11分
kπ kπ
（3）方法一：设 12次单位根分别为 z0 , z1, z11，其中 zk cos i sin6 6
则不难发现： z1, z5 , z7 , z11为 12次本原单位根， z3和 z9 为 4次本原单位根，其余的根分别为1,2,3,6次本
12
原单位根，因此 12 z 6 z 4 z 3 z 2 z 1 z z z1 z z2 z z11 z 1
PA1 PA2 PAm PB1 PB2 z z1 z z3 z z11 12 z 4 z ……13分
z
z z 12
6 z 4 z z 12 3 2 z 1 z z 1又 612 4 6 z z
z 1 ……15分 63 2 z 1 z z 1
6 6 6 6 6
又 z 1 z 1 z 1，且 z6 z 8，故 z 1 7,9
即 PA1 PA2 PAm PB1 PB2 7,9 ……17分
（若直接使用第二问的猜想 12 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 x x12 1扣 2分）
3 1 3 1 3 1 3 1
方法二：求出四个 12次本原单位根分别为 z1 i, z2 i, z3 i, z i ，2 2 2 2 2 2 4 2 2
两个 4次本原单位根分别为 z5 i,z6 i， ……13分
PA1 PA2 PA3 PA4 PB1 PB2 z z1 z z2 z z3 z z4 z z5 z z6
z z1 z z2 z z3 z z4 z z5 z z6 z6 1 ……15分
6 6 6 6 6
又 z 1 z 1 z 1，且 z6 z 8，故 z 1 7,9
即 PA1 PA2 PAm PB1 PB2 7,9 ……17分
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