2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第六章第3-4节）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
2．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
3．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
4．（2023·泸州）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，
∴∠APD=∠CDP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=2，
∵是中点，的对角线，相交于点，
∴OE为△BDP的中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线先求出∠ADP=∠CDP，再利用平行四边形的性质和三角形的中位线计算求解即可。
5．（2022·达州）如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上.添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
若DE=EF，又∠CEF=∠BED，CE=BE，
∴△CEF≌△BED（SAS），
∴∠B=∠FCE，
∴CF∥DB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∴添加DE=EF.
故答案为：B.
【分析】根据中位线定义及性质可得DE∥AC，再证出△CEF≌△BED，得∠B=∠FCE，从而得CF∥DB，即CF∥AD，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可求解.
6．（2021·衢州）如图，在 中， ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD= 2，AF= ，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF= 2，DE== ，
∴四边形ADEF的周长=2+2+ =9，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可求出EF，DE的长，同时可证得四边形ADEF是平行四边形，即可求出四边形ADEF的周长.
7．（2023·永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和=（n-2）×180°（n为多边形的边数，且n≥3）
∵（n-2）×180°=360°，
∴n=4，
∴四边形的内角和为360°，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
8．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH=360°，
∵，
∴∠HAB+∠ABH=360°-()=360°-224°=136° ，
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH=180°，
∴∠AHB=44°.
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论.
9．（2024八上·梅县区期末）如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板
∴∠4=45°，∠5=60°
∵两条斜边互相平行
∴∠3=∠2=180°-∠4=135°
∴∠1=360-∠2-∠5-90°=75°
故答案为：A
【分析】根据平行倒角四边形内角和倒角，注意三角板提供了角度
10．（2023八上·花垣期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故答案为：B．
【分析】根据多边形内角和定理求出∠B+∠C的和，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再结合对顶角的性质和三角形内角和定理即可求解。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·雨花期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
12．（2024·湖南模拟）在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米．
【答案】400
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得△ABC的周长为800m，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，
∴水渠总长为，
故答案为：400
【分析】先根据题意标点，进而结合三角形中位线定理即可得到2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，从而即可求解。
13．如图，小华在一个不完整的正多边形图案中，量得一边与一条对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=15°，AB=BC，
∴ ∠CAB=15°，
∵ △ABC的内角和是180°，
∴ ∠ABC=150°，
∴正多边形的一个外角是30°，
又∵ 多边形的外角和是360°，
∴ 这个正多边形的边数是12.
故答案为：12.
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC，再根据平角求出一个外角，最后根据外角和定理求出边数即可.
14．（2023九上·衡阳期末）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，已知，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接CF并延长交AB于点G，如图，
，
∠FDC=∠FBG，
，分别是，的中点，
DF=FB，CE=AE，
∠CFDC=∠GFB，
BG=DC=6，CF=FG，
AG=AB-BG=12-6=6，
CE=AE，CF=FG，
故答案为：3.
【分析】连接CF并延长交AB于点G，利用ASA证明得到BG=DC=6，CF=FG，进而求出AG的值，再利用三角形中位线定理即可求解.
15．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
16．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
【答案】（1）解：∵EF ∠AE，∴∠AEF= 90°．
∵四边形AEFD的内角和是360°，∠D= 90°，∠EAD=60°，
∴∠DFE= 360°-∠D-∠EAD-∠AEF= 120°．
（2）解：∵四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF=90°，∠D=90° ，
∴∠EAD+∠DFE=180°．∵∠DFE+∠CFE=180°，∴∠EAD=∠CFE．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BAE=∠CFE．
∵∠B+∠BAE+∠AEB=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠AEB =∠CEF，∴∠B= ∠C．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据四边形的内角和是360°求解即可；
(2)根据四边形的内角和是360°得到∠EAD + ∠DFE = 180°，根据邻补角的定义求出∠EAD= ∠CFE，再根据角平分线的定义得到∠BAE = ∠CFE，最后根据三角形的内角和是180°即可得解.
18．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.
（1）求∠BDC的度数.
（2）连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.
【答案】（1）解：∵ ∠BAC=70°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∵ BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴ ∠DBC+∠DCB=（∠ABC+ACB）=55°，
∴ ∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=125°；
（2）证明：连接AD，如图
∵ E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点，
∴ EG，FH，EF，GH分别是△ABD，△ACD，△ABC，△BCD的中位线，
∴ EG=FH=AD，EF=GH=BC，
∴ 四边形EGHF是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可求得；
（2）根据三角形的中位线的性质可得EG=FH=AD，EF=GH=BC，进而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形即可证明.
19．（2023八下·崆峒期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）求证：BF＝DC．
【答案】（1）解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，
∵EF=DE，
∴DF=2DE，
∴AB=DF，且AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF，且AD=CD，
∴BF=DC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理即可求出答案；
（2）根据平行四边形的性质即可求出答案。
20．（2023八下·泰山期末）如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证：
（1）四边形是平行四边形；
（2） ．
【答案】（1）解：∵，是的中线，
∴是的中位线，
∴且．
∵点P，Q分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵P是中点，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由已知条件得出EF和PQ分别是 和的中位线，再由中位线定理得出结论即可判定 四边形是平行四边形 ；
（2）由（1）所得结论四边形是平行四边形 和 P是中点得出，，通过转换即可得出。
21．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
22．（2023七下·长春期末）数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
（1）【回顾】如图①．请直接写出与、之间的数量关系： ．
（2）【探究】如图②，已知是四边形的外角，求、、与的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵是四边形的外角．
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∵ ▲ ．
∴ ▲ ▲ ．
∴ ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：∵是四边形的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）根据三角形的外角得，
故答案为：
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）先根据四边形外角的性质即可得到，进而得到．再结合题意运用四边形的内角和即可求解。
23．（2023七下·太康期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 度
（2）小明求的是几边形内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】（1）30
（2）解：这个多边形为边形，由题意得，
，
解得，
答：小明求的是边形内角和；
（3）解：正十二边形的每一个内角为，
答：这个正多边形的一个内角是．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）12边形的内角和为：而3边形的内角和为：，由于小红说"多边形的内角和不可能是是1830°，你一定是多加了一个锐角"，
∴这个"多加的锐角"是：
故答案为：30.
【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可；
（2）根据对话和多边形的内角和列方程计算即可；
（3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可.
24．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第六章第3-4节）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024八上·朝阳期末）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
4．（2023·泸州）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·达州）如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上.添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·衢州）如图，在 中， ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．（2023·永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·梅县区期末）如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·花垣期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·雨花期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 ．
12．（2024·湖南模拟）在周长为800米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为 米．
13．如图，小华在一个不完整的正多边形图案中，量得一边与一条对角线的夹角∠ACB=15°，则这个正多边形的边数是 .
14．（2023九上·衡阳期末）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，已知，，则 ．
15．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是 .
16．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，在四边形ABCD中，∠D=90° ，E是BC边上一点，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）若∠EAD= 60°，求∠DFE的度数；
（2）若CAEB=∠CEF，AE平分∠BAD，求证：∠B=∠C．
18．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC 和∠ACB的平分线相交于点 D，E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点.
（1）求∠BDC的度数.
（2）连结 EG，EF，HG，HF，求证：四边形EGHF 是平行四边形.
19．（2023八下·崆峒期末）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）求证：BF＝DC．
20．（2023八下·泰山期末）如图，的中线，相交于点G，点P，Q分别是，的中点．求证：
（1）四边形是平行四边形；
（2） ．
21．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
22．（2023七下·长春期末）数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
（1）【回顾】如图①．请直接写出与、之间的数量关系： ．
（2）【探究】如图②，已知是四边形的外角，求、、与的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵是四边形的外角．
∴ ▲ ．
∴ ▲ ．
∵ ▲ ．
∴ ▲ ▲ ．
∴ ▲ ．
23．（2023七下·太康期末）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 度
（2）小明求的是几边形内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
24．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出四边形ABFE的周长即可．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，
∴∠APD=∠CDP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=2，
∵是中点，的对角线，相交于点，
∴OE为△BDP的中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线先求出∠ADP=∠CDP，再利用平行四边形的性质和三角形的中位线计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
若DE=EF，又∠CEF=∠BED，CE=BE，
∴△CEF≌△BED（SAS），
∴∠B=∠FCE，
∴CF∥DB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∴添加DE=EF.
故答案为：B.
【分析】根据中位线定义及性质可得DE∥AC，再证出△CEF≌△BED，得∠B=∠FCE，从而得CF∥DB，即CF∥AD，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD= 2，AF= ，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF= 2，DE== ，
∴四边形ADEF的周长=2+2+ =9，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可求出EF，DE的长，同时可证得四边形ADEF是平行四边形，即可求出四边形ADEF的周长.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和=（n-2）×180°（n为多边形的边数，且n≥3）
∵（n-2）×180°=360°，
∴n=4，
∴四边形的内角和为360°，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH=360°，
∵，
∴∠HAB+∠ABH=360°-()=360°-224°=136° ，
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH=180°，
∴∠AHB=44°.
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论.
9．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板
∴∠4=45°，∠5=60°
∵两条斜边互相平行
∴∠3=∠2=180°-∠4=135°
∴∠1=360-∠2-∠5-90°=75°
故答案为：A
【分析】根据平行倒角四边形内角和倒角，注意三角板提供了角度
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故答案为：B．
【分析】根据多边形内角和定理求出∠B+∠C的和，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再结合对顶角的性质和三角形内角和定理即可求解。
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
12．【答案】400
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得△ABC的周长为800m，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，
∴水渠总长为，
故答案为：400
【分析】先根据题意标点，进而结合三角形中位线定理即可得到2DE=BC，2DF=AC，2EF=AB，从而即可求解。
13．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=15°，AB=BC，
∴ ∠CAB=15°，
∵ △ABC的内角和是180°，
∴ ∠ABC=150°，
∴正多边形的一个外角是30°，
又∵ 多边形的外角和是360°，
∴ 这个正多边形的边数是12.
故答案为：12.
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC，再根据平角求出一个外角，最后根据外角和定理求出边数即可.
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接CF并延长交AB于点G，如图，
，
∠FDC=∠FBG，
，分别是，的中点，
DF=FB，CE=AE，
∠CFDC=∠GFB，
BG=DC=6，CF=FG，
AG=AB-BG=12-6=6，
CE=AE，CF=FG，
故答案为：3.
【分析】连接CF并延长交AB于点G，利用ASA证明得到BG=DC=6，CF=FG，进而求出AG的值，再利用三角形中位线定理即可求解.
15．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
17．【答案】（1）解：∵EF ∠AE，∴∠AEF= 90°．
∵四边形AEFD的内角和是360°，∠D= 90°，∠EAD=60°，
∴∠DFE= 360°-∠D-∠EAD-∠AEF= 120°．
（2）解：∵四边形AEFD的内角和是360°，∠AEF=90°，∠D=90° ，
∴∠EAD+∠DFE=180°．∵∠DFE+∠CFE=180°，∴∠EAD=∠CFE．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠BAE=∠CFE．
∵∠B+∠BAE+∠AEB=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠AEB =∠CEF，∴∠B= ∠C．
【知识点】余角、补角及其性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据四边形的内角和是360°求解即可；
(2)根据四边形的内角和是360°得到∠EAD + ∠DFE = 180°，根据邻补角的定义求出∠EAD= ∠CFE，再根据角平分线的定义得到∠BAE = ∠CFE，最后根据三角形的内角和是180°即可得解.
18．【答案】（1）解：∵ ∠BAC=70°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°，
∵ BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴ ∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴ ∠DBC+∠DCB=（∠ABC+ACB）=55°，
∴ ∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=125°；
（2）证明：连接AD，如图
∵ E，F，G，H 分别是线段 AB，AC，BD，CD的中点，
∴ EG，FH，EF，GH分别是△ABD，△ACD，△ABC，△BCD的中位线，
∴ EG=FH=AD，EF=GH=BC，
∴ 四边形EGHF是平行四边形.
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可求得；
（2）根据三角形的中位线的性质可得EG=FH=AD，EF=GH=BC，进而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形即可证明.
19．【答案】（1）解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，
∵EF=DE，
∴DF=2DE，
∴AB=DF，且AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF，且AD=CD，
∴BF=DC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理即可求出答案；
（2）根据平行四边形的性质即可求出答案。
20．【答案】（1）解：∵，是的中线，
∴是的中位线，
∴且．
∵点P，Q分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴且，
∴且．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵P是中点，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由已知条件得出EF和PQ分别是 和的中位线，再由中位线定理得出结论即可判定 四边形是平行四边形 ；
（2）由（1）所得结论四边形是平行四边形 和 P是中点得出，，通过转换即可得出。
21．【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
22．【答案】（1）
（2）解：∵是四边形的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）根据三角形的外角得，
故答案为：
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）先根据四边形外角的性质即可得到，进而得到．再结合题意运用四边形的内角和即可求解。
23．【答案】（1）30
（2）解：这个多边形为边形，由题意得，
，
解得，
答：小明求的是边形内角和；
（3）解：正十二边形的每一个内角为，
答：这个正多边形的一个内角是．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）12边形的内角和为：而3边形的内角和为：，由于小红说"多边形的内角和不可能是是1830°，你一定是多加了一个锐角"，
∴这个"多加的锐角"是：
故答案为：30.
【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可；
（2）根据对话和多边形的内角和列方程计算即可；
（3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可.
24．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
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