1.2 幂的乘方与积的乘方导学案 （第1-2课时） 2023-2024学年度北师大版数学七年级下册 含解析

2 幂的乘方与积的乘方（2课时，后附答案）
第1课时
一、学习目标
1、经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义. 了解幂的乘方的运算性质，并能解决实际问题；
2、在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力. 学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力；
3、在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣.
二、重点难点
重点：熟练掌握幂的乘方的运算性质
难点：熟练地进行幂的乘方运算并感受数学与现实生活的密切联系
【学习策略】自主探究与合作交流相结合。
【学习过程】
一、复习回顾
1、回顾同底数幂乘法法则：____________________________________
2、计算：（简要提示：进行同底数幂的乘法运算，首先要弄清是否是同底数幂相乘，如果是，底数、指数分别是多少？怎样计算？；如果不是，能否变成同底数相乘，然后计算）
（1） （2）
（3） （4）
3、幂的意义：你能说出an的意义吗？an=___________________.
二、新课学习
探索发现：
(一)探索幂的乘方的性质
1、你能解决下面的问题吗？
（1）如果甲球的半径是乙球半径的n倍，那么甲球的体积是乙球的_______倍.
（2）地球、木星、太阳可以近似的看做是球体. 木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？你的结论是________________和________________
2、你会计算：吗？下面的各式你能计算吗？说说你是怎样算的
(1) (62)4 (2) (a2)3
(3) (am)2 (4) (am)n
3、你能找出其中的规律吗？请进行总结
幂的乘方的运算性质：(am)n=______________________________
幂的乘方，底数_______________，指数___________________________
例1 计算（请利用幂的乘方的性质进行计算，并归纳计算的注意事项或者技巧）
(1) (102)3 (2) (b5)5 (3) (an)3
(4) –(x2)m (5) (y2)3 (6) 2(a2)6-(a3)4
三、尝试应用：
1、下面的计算是否正确？如有错误请改正
(1) (x3)3=x6 (2) a6
2、计算
(1) (2) (a4)2 (3)-(b5)2
(3) (y2)2n (5) (bn)3 (6) (x3)3n
3、计算
(1) (2)
(3) (4)
四、自主总结：
幂的乘方的法则：
（am）n=amn(当m、n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5
2．下列运算正确的是（　　）
A．a+2a=3a2 B．a3 a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4
3．已知32m=8n，则m、n满足的关系正确的是（　　）
A．4m=n B．5m=3n C．3m=5n D．m=4n
二．填空题（共3小题）
4．16=a4=2b，则代数式a+2b=　 　．
5．若81x=312，则x=　 　．
6．﹣（﹣x2）5=　 　．
三．解答题（共3小题）
7．a6b6=（a2b2）（　　）=（ab）（ab）（　　）．
计算[（m﹣n）2]6﹣[（n﹣m）3]4的值．
9．比较3555，4444，5333的大小．
2 幂的乘方与积的乘方
第2课时
一、学习目标
1、经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；
2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
二、重点难点
重点：熟练掌握积的乘方的运算性质
难点：熟练地进行积的乘方运算并能解决一些实际问题
【学习策略】自主探究与合作交流相结合。
【学习过程】
一、复习回顾
1、回顾幂的乘方法则：____________________________________
2、计算：（简要提示：幂的乘方运算关键在与认清底数和指数，记住底数_______，指数_______）
（1） （2）
（3） （4）
二、新课学习
（一）探索积的乘方的性质
1、请你解决下面问题
地球可以近似地看做球体，如果用V，r分别代表球的体积和半径，那么,地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米？
=
那么=？
2、做一做
(1) (3×5)4=3( )( )
(2) (3×5)m=3( )( )
(3) (ab)( )=a( )b( )
你能对上面的（3）、（4）作出合理的说明吗？
归纳法则：(ab)n=____________；积的乘方等于____________________
（二）巩固与练习
例1 计算（请利用积的乘方的性质进行计算，并归纳计算的注意事项或者技巧）
(1) (3x)2 (2) (-2b)5
(3) (-2xy)4 (4) (3a2)n
例2 计算：
三、尝试应用：
1. 计算：
(1) (5xy)3 (2) –(ab)2 (3) (-4a2)3
(4) –(p2q)n (5) (xy3n)2+(xy6)n (6) (-3x3)2-[(2x)2]3
2. 下面的计算是否正确？如有错误请改正
(1) (ab4)4=ab8 (2) (-3pq)2=-6p2q2
3. 信息技术的存储设备常用B、K、M、G等作为存储的单位，例如，我们常说某计算机的硬盘容量是160G，某移动存储器的容量是512M，某个文件大小是640K等，其中1G=210M，1M=210K，1K=210B（字节），对于一个512M的U盘，其容量有多少个字节？
4. 计算：
5. 不用计算器，你能很快算出下列各式的结果吗？
（1）22×3×52 （2）24×32×53
四、自主总结：乘方的运算法则：（ab）n＝anbn
积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
五、达标测试
一．选择题（共3小题）
1．计算（ab2）3的结果是（　　）
A．3ab2 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6
2．计算（﹣2a3）2的结果是（　　）
A．﹣4a5 B．4a5 C．﹣4a6 D．4a6
3．已知5x=m，5y=n，则52x+3y等于（　　）
A．2m+3n B．m2+n2 C．6mn D．m2n3
二．填空题（共3小题）
4．计算（x2y）3=　 　．
5．计算：（﹣2xy3z2）2=　 　．
6．计算：（﹣）2017×42017=　 　．
三．解答题（共3小题）
7．计算：22017×．
8．已知32m=4×22n﹣1，3n=9m，求m，n的值．
9．如果10m=a，10n=b，求
（1）102m+10n
（2）102m+n的值（m、n为整数）．
答案：
2幂的乘方与积的乘方
第1课时
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选A。原式=a6
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方公式
2．【解析】选B．
解：A、a+2a=3a，此选项错误；
B、a3 a2=a5，此选项正确；
C、（a4）2=a8，此选项错误；
D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；
【点评】本题主要考查幂的运算和整式的加法，掌握同类项的定义和同底数幂相乘、幂的乘方法则是解题的关键．　
3．【解析】选B．∵32m=8n，
∴（25）m=（23）n，
∴25m=23n，
∴5m=3n．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．　
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：∵16=24，16=a4=2b，
∴a=±2，b=4，
∴a+2b=2+8=10，或a+2b=﹣2+8=6，
答案：10或6．
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是明确16=24．
　5．【解析】：∵81x=312，
∴（34）x=312，
即34x=312，
∴4x=12，
x=3，
答案：3．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，关键是把原式化成底数相同的形式．
6．【解析】解：﹣（﹣x2）5=﹣（﹣x10）=x10．
答案：x10．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．
三．解答题（共3小题）
7．【解析】：a6b6=（a2b2）（　3　）=（ab）（ab）（　5　）．
答案：3，5．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算与同底数幂的乘法运算，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．
　8．【解析】解：[（m﹣n）2]6﹣[（n﹣m）3]4
=（m﹣n）12﹣（m﹣n）12
=0．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解析本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
9．【解析】解：∵3555=35×111=（35）111=243111，
4444=44×111=（44）111=256111，
5333=53×111=（53）111=125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即4444＞3555＞5333．
【点评】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
2幂的乘方与积的乘方
第2课时
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选D.原式=a3b6，
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．　
2．【解析】选D．原式=4a6
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3．【解析】选D．∵5x=m，5y=n，∴52x+3y=52x×53y=（5x）2×（5y）3=m2×n3=m2n3．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．　
二．填空题（共3小题）
4．【解析】解：原式=x2y）3=x6y3．
答案：x6y3．
【点评】本题考查积的乘方，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5．【解析】解：（﹣2xy3z2）2=4x2y6z4，
故答案为：4x2y6z4．
【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方的法则．
　6．【解析】解：原式=（﹣×4）2017=﹣1
答案：﹣1
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
三．解答题（共3小题）
7．【解析】：22017×．
=22017××（﹣）
=[2×（﹣）]2017×（﹣）
=﹣1×（﹣）
=．
【点评】本题主要考查了积的乘方法则的运用，解题时注意：积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．　
8．【解析】：∵32m=4×22n﹣1，3n=9m，
∴25m=22×22n﹣1，3n=32m，
∴5m=2n+1，2m=n，
∴m=1，n=2，
∴m，n的值分别为1和2．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则的逆运算是解题的关键．
　9．【解析】解：（1）原式=（10m）2+10n
=a2+b．
（2）原式=（10m）2×10n
=a2b．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法，解析本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．