三水华侨中学2023-2024学年下学期高二年级第一次测试
数学科参考答案
一、单选题：BACBA , CDC 二、多选题：9.AD; 10.ABD; 11. BC
1．B 任选1名学生，可以分两类方案完成；第1类，从名男生中选出1名，有5种不同选法；第2类，从4名女生中选出1名，有4种不同选法；根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为5+4=9.故选：B.
2.
3. C. 设{an}的公比为q，显然公比q≠1，则由题意，得
得所以S16＝＝＝－3×(1－24)＝45.选C.
4.B ，所以在区间上单调递增，因此的最小值为，最大值为.故选：B
C 易知，分别是递增、递减数列．设函数，则在上单调递增，所以在上单调递增，所以是递增数列．
7.D 先在{1,2,3}中取出一个元素，共有3种取法，再在{3,4,5,6}中取出一个元素，共有4种取法，取出的两个数作为点的坐标有2种方法， 由分步乘法计数原理知点的个数为3×4×2＝24，又点(3,3)计算了两次，所以共确定24－1＝23(个)点．故选：D
故选：C.
9. 由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，,等价于,即,等价于
7a7=0,与S610．ABD 因为，且，所以，
，A正确，C错误．因为，所以
，又，所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3，所以，所以an－3n =－3n所以为等差数列，且公差为－3，B，D均正确．故选:ABD.
11.BC 根据的图象，可得当时，，可得，即单调递减，当时，，可得，即单调递增，当时，，可得，即单调递减，当时，，可得，即单调递增，因此在和处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点，可得错误，C正确；选项为函数的极大值，即正确；不为函数的极小值，错误.
故选：BC
12. 因为，所以数列为常数列，所以，即.故答案为：.
1
－ 0 ＋
8 ↘ ↗
四、解答题（共5小题，共 77分）
15．解：（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①，由可得：，即②， 3分
联立①②解得：或，因，故， 6分
于是，. 7分
（2）由（1）得：，，则，
故 10分
. 13分
16. 解： (1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝3＋2a＋b，过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，2分
整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知该切线方程为y＝3x＋1，所以即4分 因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0，所以－4a＋b＝－12，6分 解方程组得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. 8分
(2)f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2).令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 9分
当x∈[－3，－2)时，f ′(x)>0；当x∈时，f ′(x)<0；当x∈时，f ′(x)>0. 12分 所以f (x)的单调递增区间为[－3，－2)和；
单调递减区间为. 13分 又f (－2)＝13，＝，f(－3)＝8，
f (1)＝4，所以f (x)在区间[－3，1]上的最大值为13. 15分
17. 解：（1）由数列的前n项和，当时，；
1分 当时，； 3分
令时，，满足题意，所以数列的通项公式， 4分
由得，∴时，时， 6分
∴的最小值为. 7分
（2）由（1）知，当时，；时，，9分 ，
当时，. 11分
当时，， 13分
∴. 15分
18.解：（1）由题意知：无盖方盒的底面为正方形，边长为(16-2x)，高为，所以方
＋ 0 －
↗ 极大值 ↘
故x为m时，方盒的容积最大，最大容积为 （17分）
19 解：（1）由题设，又，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.（4分）
（2）由（1）可得，故，所以，则. （10分）
（3）由（2）得，则，
所以，两式作差得，即，
所以. （17分）三水区华侨中学2023-2024学年下学期高二年级第一次测试
数学科试题
本试题共 4 页， 19 小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、考号、试室 号、座位号填写在答题卷上。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．现有名男生和名女生，从中任选1名学生参加一项活动，不同的选法种数是（ ）
A．20 B．9 C．5 D．4
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S16的值为( )
A．12 B．30 C．45 D．81
4. 函数在区间上的（ ）
A.最小值为0，最大值为 B.最小值为0，最大值为
C.最小值为，最大值为 D.最小值为0，最大值为2
5．在数列中，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．现有3个数列：，，．其中递增数列的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．从集合{1,2,3}和{3,4,5,6}中各取1个元素作为一个点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为( )
A．12 B．11 C．24 D．23
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
10．在数列中，，且，则（ ）
A． B．为等比数列 C． D．为等差数列
11.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.有两个极值点 B.为函数的极大值
C.有两个极小值 D.为的极小值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列且，则的通项公式__________.
13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
14.数列5,55,555,5555，…… 的前n项和为Sn ，则Sn =
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）已知等差数列和正项等比数列满足：，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)已知数列满足，求数列的前项和.
16.（本题15分）已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f (x)上的点P(1，f (1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f (x)在x＝－2时有极值.
(1)求f (x)的解析式；
(2)求y＝f (x)在[－3，1]上的单调区间和最大值.
17．（本题15分）设是数列的前n项和，.
(1)求的通项公式，并求的最小值；
(2)设，求数列的前n项和.
18.（本题17分）如图（图中单位为：m），将一个边长为16的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？最大
容积为多少？
19.（本题17分）已知数列满足：，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.
