沪教版八年级数学下册试题 22.6.1三角形中位线的应用（含解析）

22.6.1三角形中位线的应用
一、单选题
1．如图，将三角形纸片沿过边中点D、E的线段折叠，点A落在边上的点F处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①是等腰三角形 ② ③四边形是菱形 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边运动，，，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（ ）．
A．1 B． C．2 D．
3．如图，矩形中，交于点，点在上，连接交于点，且，若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．
4．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．边长为1的等边，分别取，边的中点，，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作照此规律作下去，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
7．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、填空题
11．如图，在梯形ABCD中，，，，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论正确的是______．
①是等腰三角形；②四边形EFAM是菱形；③；④平分．
12．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为_____．
13．在边长为8的正方形中，E为对角线上一动点，F为边上一动点，，点E从点A出发，沿方向移动，若E点移动的路径长为，则的中点G移动的路径长______．
14．如图，在边长为4的菱形中，，点、分别是边，的中点，连接，，点、分别处，的中点，连接，则的长度为______．
15．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则_____．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
17．如图，四边形是长方形，是的中点，将折叠后得到，延长交于点，若，，则的长为______．
18．如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为________．
19．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．
20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：
①∠BOC＝90°＋∠A；
②设OD＝m，AE＋AF＝n，则；
③EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是_______．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．
（1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ：
（2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．
①直接写出E、F、G、H四点的坐标；
②证明：四边形EFGH是矩形；
③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ．
22．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
（1）如图1，当，
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，当，边长，，则的长为_________（直接写出结果）．
23．（获取新知）如图①，在四边形中，，点E、F分别是、的中点，连结，则．获取这一结论，可以连结并延长交的延长线于点G，从而转化为三角形的中位线解决．请你完成这个结论的证明过程．
（旧知铺垫）
如图②，在中，，分别以、为边向外作正方形、正方形，连结，点M是的中点，于点N，若，，求的长．
（新知应用）
如图③，在中，，分别以、为边向外作正方形、正方形，连结，点M是的中点，于点N．若，，则的长为_______．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E．已知AD＝4，BD＝3．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长．
25．如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图中用一把无刻度的直尺画出边的中点（保留画图痕迹，无需证明过程）；
（3）若，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
①若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形可以是菱形？
②在点运动过程中，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．
26．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．
（1）小明发现，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，请你帮他求出此时的长．
（3）填空：
①在旋转过程中，如图3，连接，，，，则四边形的面积最大值为__________．
②如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为___________．
27．如图1，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为BD上一动点，在点E的运动过程中，始终保持EFAB，EF＝AB，连接DF，CF，CF与BD相交于点O．
（1）如图1，求证四边形CDFE为平行四边形；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形CDFE为矩形？并说明理由；
（3）如图2，延长DA到M，使AM＝AD，连接ME，判断ME与CF的数量关系，并说明理由．
28．已知，如图．正方形ABCD，点F为平面内一点．连接FC，H是FC的中点，连接DH，将DH绕点H逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接HE、AE、EF．
（1）①补全图形
②猜想AE与EF的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．
（2）在（1）的基础上，连接AF．其中AB=a，AE=b，将△AEF绕点A旋转一周，直接写出DH的最大值．
29．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC
（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，AQG为等腰三角形？
30．（问题情景）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 　 　，请选择正确的一项．
A．SSS；B．SAS；C．AAS；D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　 　．
（初步运用）
（3）如图2，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
（灵活运用）
（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；
（拓展延伸）
（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB
所有正确选项的序号是 　 　．
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．
【详解详析】
解：①∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，
又∵△ADE≌△FDE，
∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；
同理可证，△CEF是等腰三角形，
∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，故②正确；
∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，
∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．
而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．
所以一定正确的结论个数有3个，
故选：C．
2．C
【思路指引】
根据三角形中位线定理,可得OF=EA,当点E在AB上运动时,EA逐渐变小,当点E在AD上运动时,EA逐渐变大,当与点D重合时,最大,解答即可．
【详解详析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵F是线段CE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=EA，
当点E在AB上运动时,EA逐渐变小,OF不会有最大值；
当点E在AD上运动时,EA逐渐变大,当点E与点D重合时,AD最大，且AD=4，
∴OF的最大值时2，
故选C．
3．D
【思路指引】
连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解详析】
解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
CD==，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x=，
∴CD=x=，
故选：D．
4．A
【思路指引】
①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
【详解详析】
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．
5．C
【思路指引】
根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2021的值．
【详解详析】
∵E是BC的中点，EF∥AC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴
∵BC 边的中点为 D ，
∴，
∴四边形EDAF是菱形，
∴ ；
同理求得：，
∴．
故选C．
6．A
【思路指引】
由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，因此，得出四边形是菱形，④正确；由菱形的性质得出，由证明，得出，得出②不正确；由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确；即可得出结果．
【详解详析】
解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，④正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，②不正确；
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故选：A．
7．A
【思路指引】
作出如图的图形，根据轴对称的性质得到PM+PN的最小值为M1N的长，利用三角形中位线定理以及勾股定理即可求解．
【详解详析】
解：如图，以BD为对称轴作△ABD的轴对称图形△A1BD，取A1B的中点M1，则点M和点M1关于直线BD对称，连接MN，MM1，M1N，AA1，AA1与BD交于点O，M1N与BD交于点P，
此时PM+PN最小，最小值为M1N的长，
在矩形中ABCD中，AB=2，BD=4，
则∠ABD=60°，∠BAO=30°，
∴BO=AB=1，
则AO==，
∴AA1=2，
∵点M，N，M1分别是AB，AD，A1B的中点，
∴MM1和MN分别是△ABA1和△ABD的中位线，且AA1⊥BD，
∴MM1//AA1， MN//BD， MM1=AA1=，MN=BD=2，MM1⊥M1N，
∴M1N=，
则PM+PN的最小值为，
故选：A．
8．B
【思路指引】
连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可．
【详解详析】
解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
9．C
【思路指引】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【详解详析】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°＋30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，即：，
故④正确；
故选：C．
10．D
【思路指引】
分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解详析】
如图，分别连接BD、
∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
二、填空题
11．①②③
【思路指引】
连接，得到，再由，可得出，根据平行四边形的判定推出四边形与四边形都为平行四边形，再由得出四边形为矩形，得出垂直平分，推出，即可判断①；由为的中位线，利用中位线定理得到，进而得到四边形为平行四边形，求出，可得出四边形为菱形，即可判断②；过作，得出，得出为的中位线，为的一半，再由，根据三角形的面积公式求出，即可判断③．
【详解详析】
解答：连接，
为的中点，
，
又，
，
又，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
即，
垂直平分，
，即为等腰三角形，①正确；
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，，
为中点，
，
，
，
又四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，②正确；
过作于点，
则，
又为的中点，
为的中点，
为的中位线，
又，，
，，
，③正确；
根据已知不能推出平分，④错误；
故答案为：①②③．
12．﹣．
【思路指引】
延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证，由勾股定理求得GP的值，再由三角形的中位线定理求解即可得到答案.
【详解详析】
解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：
则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，
∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，
∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，
∴OG＝，
由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，
∴
∵OG∥CM，
∴∠MOG＋∠OMC＝180°，
∴∠MCG＋∠OMC＝180°，
∴OM∥CG，
∴四边形OGCM为平行四边形，
∵OM＝CM，
∴四边形OGCM为菱形，
∴CM＝OG＝，
过N作NQ⊥MC于点Q，NQ⊥GP于K
根据题意得：KG是三角形MNQ的中位线，
∴MQ＝2KG，
∴∴DN＝．
故答案为：.
13．4．
【思路指引】
取BC的中点M，连接MG并延长，交AC于点N，由题意可知，中点G在MN上移动，E点移动的路径长为时，中点G移动的路径为MN，求出长度即可．
【详解详析】
取BC的中点M，连接MG并延长，交AC于点N，
∵G是的中点，
∴MG∥CD，即中点G在MN上移动，N为AC的中点，
当点E在A点时，点F与点D重合，BF的中点即为AC的中点N，
正方形的边长为8，，
E点移动的路径长为，即E点与AC的中点N重合，点F与点C重合，BF的中点即为BC的中点M，
∴BF的中点G移动的路径长即为NM的长，
由中位线性质得，，
故答案为：4．
14．
【思路指引】
连接AH并延长交CD于点M，连接PM，根据ASA证明△AEH≌△MDH，得出H是AM的中点，AE＝DM＝2，根据勾股定理求出PM＝2，最后根据三角形中位线定理即可求解．
【详解详析】
解：连接AH并延长交CD于点M，连接PM，过点C作CN⊥PM，
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴∠C＝120°，AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，
∵点E，P分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CP＝×4=2，
∵AB∥CD，
∴∠AEH＝∠MDH，
∵H是DE的中点，
∴EH＝DH，
在△AEH和△MDH中，
∵ ，
∴△AEH≌△MDH（ASA），
∴AE＝DM＝2，AH＝MH，
∴CM＝CD DM＝2，
∵在△CMP中，∠C=120°，CP=CM=2，CN⊥PM，
∴∠CMP=∠CPM=30°，
∴CN=CM=1，
∴PN=MN=，
∴PM＝×2=2，
∵点G，H分别是AP，AM的中点，
∴GH＝PM＝．
故答案为：．
15．4
【思路指引】
连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG= 2HF= ，由ABCD，得CDM= A= 60°，设DM= x，则CD= 2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题．
【详解详析】
如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，
F、H分别为CE、GE中点，
FH是△CEG的中位线，
HF=CG，
四边形ABCD是菱形，
ADBC，ABCD，
DGE =E，
EHF= DGE，
E=EHF，
HF = EF = CF，
CG= 2HF =，
ABCD，
CDM= A = 60°，
设DM= x，则CD= 2x，CM=x，
点G为AD的中点，
DG= x，GM=2x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
，
x=2，
AB = CD= 2x= 4．
故答案为：4．
16．
【思路指引】
取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解．
【详解详析】
解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴AH//CE，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH//EC，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为，
故答案为．
17．
【思路指引】
首先过点作于，交于，易证得，是的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得，由折叠的性质，可得，继而求得的值，又由勾股定理，即可求得的长．
【详解详析】
解：过点作于，交于，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
在和中
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18．13
【思路指引】
首先证明，求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小．
【详解详析】
解：如图，连接．
，，
，
，
求出的最小值即可，
作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为13．
19．
【思路指引】
利用勾股定理求出AB，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，求出BK，根据三角形中位线定理得到，再利用三角形三边关系解答．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴,
如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，
∴，
∵M是AE的中点，F是EK的中点，
∴MF是△AEK的中位线，
∴，
在△ABK中，，
∴，即，
∴，
∴线段FM的最大值是，
故答案为：．
20．①③
【思路指引】
在中，和的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①，正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得②，设，，则，则②错误；当EF是△ABC的中位线时，OE=BE=AE，可得 B、O、C 在同一条直线上，与题意不符，所以EF不是△ABC的中位线．由此可判断③．
【详解详析】
解：
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，，
∵，
∴，
故①正确；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴，
∴，
故②错误；
当EF是△ABC的中位线时，OE=BE=AE，∴∠AOB=90°同理，∠AOC=90°，即B、O、C 在同一条直线上，与题意不符，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题
21．
（1）解：四边形是正方形，
，
；
（2）①解：，，，，、、、的中点分别为、、、，
，，，，，，，；
②证明：、为、的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
平行四边形是矩形；
③解：由①得：，，，，，，，，
矩形是正方形，
，
，
，
故答案为：．
22．
解：（1）①过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
又∵DM∥GH，
∴四边形DGHM是平行四边形，
∴GH=DM，GD=MH，
∴∠GOD=∠MDE=90°，
∴∠MDC+∠EDC=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠MDC=∠ADE，
在△ADE和△CDM中，
∴△ADE≌△CDM（AAS），
∴DE=DM，
∴DE=GH；
②在BC上截取BN=BE，如图2，
则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，
由（1）知，△ADE≌△CDH，
∴AE=CH，
∵BA=BC，BE=BN，
∴CN=AE=CH，
∵PH=PE，
∴PC=EN，
∴PC=BE，
∴BE=PC；
（2）如图3，过点D作DN//GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN，
∵∠C=90°，CD=AB=3，HG=DN=，
∴，
∴BN=BC-CN=3-1=2，
作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，
在△ADM和△CDN中，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴AM=NC，∠ADM=∠CDN，DM=DN，
∵∠GOD=45°，
∴∠EDN=45°，
∴∠ADE+∠CDN=45°，
∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，
在△MDE和△NDE中，
∴EM=EN，
即AE+CN=EN，
设AE=x，则BE=3-x，
在Rt△BEN中，22+（3-x）2=（x+1）2，
解得：x=，
∴
23．
【获取新知】
∵，
∴，．
∵F为DC中点，即DF=CF，
∴，
∴AD=CG，AF=FG，
∴EF为中位线，
∴，
∴．
【旧知铺垫】如图，作交CB延长线于点H．
∴．
∵，四边形ABFG为正方形，
∴，，
∴．
∵AB=BF．
∴，
∴．
在中，，
∴．
∵M为DF中点，，
∴为的中位线，
∴．
【新知应用】如图，作于点H，交BC延长线于点P，交CB延长线于点Q．
∵四边形ACDE是正方形，
∴，AC=CD，
∵，
∴，
∴，
∴DP=CH．
同理可证，
∴．
由作图可知，四边形DPQF为直角梯形，
∵M为DF中点，，
根据（1）可知，为梯形DPQF中位线，
∴．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
24．
（1）证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，∠ABC=∠C，
∵AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，
∴∠MAN=∠BAN，
∵∠BAM=∠ABC+∠C，
∴∠MAN=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠DAE=∠ADC=∠ADB=90°，
∵BE⊥AN，
∴∠AEB=∠DAE=∠ADB=90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）如图，连接AG，
∵矩形ADBE中，AD=4，BD=3，
∴BE=AD=4，AE=BD=3，∠ADB=∠DBE=∠BDF=90°，
∴，
∴DF=1，
∴
∵G是BF的中点，
∴DG=BG，
∴∠BDG=∠DBG，
∴∠ADG=∠EBG，
∴△AGD≌△BEG，
∴EG=AG，
∵AG
∴；
（3）由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在，当P与B重合时，Q的位置在F，此时H分别在、的位置，
∵BE∥AD，
∴∠BEG=∠DG，
∴△EBG≌△FG，
∴F=BE=4，
由题意知是△CF的中位线，
∴．
25．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
又∵O是AD的中点，
∴OD是△EBC的中位线，
∴D是EC的中点，
∴ED=CD=AB，
又∵ED∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC交BD于M，连接MO并延长交AE于N，连接BN交AC于G，连接OG并延长交AB于F即为所求；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴M为BD的中点，
又∵O为AD的中点，
∴MO是△ADB的中位线，
∴MN∥AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴AE//BD，
∴四边形ANMB是平行四边形，
∴G为AM的中点，
∴OG为三角形AMN的中位线，
∴OF//BD，
∴GF是△AMB的中位线，
∴F为AB的中点；
（3）①∵∠BDC=90°，DC=4，BC=5，
∴， AB=ED=4，
当BC为菱形的边长时，则菱形的边长为5，
∴CP=5，
∴EP=EC-PC=3，
∴t=3；
当BC为菱形的对角线时，连接PQ交BC于G，
∴∠PGC=90°，
设CP=x，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴t=3或时以B、C、P、Q构成的四边形BCPQ可以是菱形；
②如图所示，当P在E点时，此时P到AE和DE的距离都为0符合题意，此时t=0；
当P在C点时，此时P到CE和BC的距离都为0符合题意，此时t=8，
同理当P在B点时t=13，当P在A点时，t=17；
当P在EC上时，P到AB和到AE的距离相等，即EP=HP=AE=3，
∴t=3，
∴BH=PD=1，
∴当P运动到图中H所在的位置时，也满足题意此时t=1+5+8=14；
当P在EC上，P到AB和BC的距离相等时，则PH=3，
∵ ，BC=5，PH=3，BD=3，
∴PC=5，
∴EP=3，此时t=3；
当P在BC上时，P到AB和到AE的距离以及P到AE和EC的距离不可能相等；
当P在AB上时，只有前面求解的如图所示的H位置，
∴综上所述，t=0或3或8或13或14或17时，P到四边形AECB相邻两边距离相等．
26．
解：（1）如图，延长交于
四边形与四边形是正方形，
，，
在和中，，
，
，
中，
，
中，，
，
；
（2）四边形与四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，，
，
，
如图，过点作交于点，
，
是正方形的对角线，
，，
，
在中，，
，
，
．
（3）①由（1）（2）可得：旋转过程中，
始终有：
所以当最大时，四边形的面积最大，
即当三点共线时，面积最大，
如图，
此时：
所以四边形的最大面积为：
故答案为：
②如图，连接 同理可得：
，，，分别是，，，的中点，
四边形是平行四边形，
同理可证：
四边形是正方形，
故答案为：正方形.
27．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵EF∥AB，EF=AB，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形CDFE为平行四边形；
（2）解：当点E运动到BE=CE时，四边形CDFE为矩形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABC=30°，∠BCD=120°，
∵BE=CE时，
∴∠CBD=∠ECB=30°，
∴∠ECD=∠BCD-∠ECB=90°，
由（1）得四边形CDFE为平行四边形，
∴四边形CDFE为矩形；
（3）ME=CF，
理由：连接OA，
由（1）得四边形CDFE为平行四边形，
∴OE=OD，CF=2OC=2OF，
∵AM=AD，
∴OA是△DME的中位线，
∴ME=2OA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABO=∠CBO，
∵OB=OB，
∴△ABO≌△CBO（SAS），
∴OA=OC，
∵ME=2OA，CF=2OC，
∴ME=CF．
28．
解：（1）①补全图形，如图所示：
②猜想相等且垂直，理由如下：
如图1，延长到M，使，连接DE、ME、MF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠ADC=90°，
∵H是FC的中点，
∴FH=CH，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将DH绕点H逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（SAS），
∴，
∴，即，
∴AE⊥EF；
（2）的最大值为，理由如下：
如图2，连接AC、BD交于点O，连接OH，
∵正方形ABCD的边长为，
∴，O为AC的中点，
由（1）得，AE⊥EF；
∴，
∵H是FC的中点，
∴，
∵，（当点D、O、H三点共线时，等号成立）
∴，
∴的最大值为．
29．
（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴AB=AC，
∵线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，
∴AH=AG，∠HAD=90°，
∴∠BAH+∠HAF=∠HAF+∠CAG=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
在△ABH和△ABG中，
，
∴△ABH≌△ABG（SAS），
（2）①证明：∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AE=，AF=，EF∥BC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=，
在△AEH和△AFG中，
，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFE+∠AFG=45°+45°=90°，
∴∠HFG＝90°；
②解：∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，
根据勾股定理，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF=，
∵AQG为等腰三角形
分三种情况
当AQ=GQ时，
∵AH=AG，∠HAG=90°，
∴∠AHG=∠AGH=，
∴∠QAG=∠QGA=45°，
∴∠AQG=180°-∠QAG-∠QGA=90°，
∴HG⊥AC，
∴∠HAQ=90°-∠QAG=90°-45°=45°，
∴∠EAH=90°-∠HAQ=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，AE=AF，
∴EH=HF=
当AG=GQ=AH，∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠GQA=，
∴∠EAH=∠QAG=67.5，
∴∠AHE=180°-∠AEH-∠EAH=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠EAH=∠EHA=67.5°
∴EH=AE=；
当AQ=QG时，过A作AM⊥HG于M，
∵∠AQG是△AQM的外角，
∴∠AQG＞∠AMQ=90°＞∠AGQ=45°，
∴AQ=AG不成立．
综合得EH=或2．
30．
解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选：B；
（2）由（1）得：△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝6，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即10﹣6＜2AD＜10+6，
∴2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（3）AD＝AB+DC；
延长AE交DC延长线于点N，
∵点E是BC的中点，，
∴CE＝BE，
∵ABCD，
∴∠NCE＝∠ABE，
∵在△NCE和△ABE中，
，
∴△NCE≌△ABE（SAS），
∴CN＝AB，∠BAE＝∠N，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，，
∴∠EAD＝∠N，
∴AD＝DN＝AB+DC；
（4）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②所示：
∵AE＝EF．EF＝5，
∴AC＝AE+EC＝5+3＝8，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC＝8；
（5）取CE的中点F，连接BF．
∵AB＝BE，CF＝EF，
∴BF∥AC，BF＝0.5AC．
∴∠CBF＝∠ACB．
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC．
∴∠CBF＝∠DBC．
又∵CD是三角形ABC的中线，
∴AC＝AB＝2BD．
∴BD＝BF．
又∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCF，
∴CF＝CD．∠BCD＝∠BCE．
∴CE＝2CD．
故B、C选项正确．
若要∠ACD＝∠BCE，则需∠ACB＝∠DCE，又∠ACB＝∠ABC＝∠BCE+∠E＝∠DCE，则需∠E＝∠BCD．根据全等，得∠BCD＝∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC＝BE，显然不成立，故A选项错误；
若要CD＝CB，则需∠A＝∠BCD，也不一定成立，故D选项错误；
故答案为：B、C．