沪教版八年级数学下册试题 第二十章 一次函数与二元一次方程组（含解析）

一次函数与二元一次方程组
一、单选题
1．如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值小
D．关于，的方程组的解是
2．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知两直线与相交于第四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．
A． B． C．2 D．3
7．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE．作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，根据函数图象回答问题：方程组的解为_________．
12．如图，点A是一次函数图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数的图象于B． 设点A的横坐标为，当____________时，AB=1．
13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________．
14．若函数y＝2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b＝_______．
15．如图，已知一次函数y＝－x＋6的图像与x轴，y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝x的图像相交于点C，若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，则点Q的坐标为__________________．
16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C．点G，H是线段CD上的两个动点，且∠GOH＝45°，过点G作GA⊥x轴于A，过点H作HB⊥y轴于B，延长AG，BH交于点E，则过点E的反比例函数y＝的解析式为_____．
18．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
19．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b]＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．
20．若直线与直线交于点，且函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是______．
三、解答题
21．如图1，直线的解析式为，点坐标为，点关于直线的对称点点在直线上．
（1）求直线、的解析式；
（2）如图2，若交于点，在线段上是否存在一点，使与的面积相等，若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，过点的直线.当它与直线夹角等于时，求出相应的值．
22．定义：图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）关于l的对称函数y＝与直线x＝1交于点C，如图．
①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）；
②P为关于l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标；
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
23．如图1，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．
　　　 　　　
（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线、及x轴于点M、N和Q．设运动时间为，连接．
①当时，求t的值．
②若四边形为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．△ABO的顶点A在y轴的正半轴上，且OA=16，顶点B在x轴正半轴上，且B（12，0），BE是△ABO的角平分线，且AB=20．
（1）直接写出E点坐标；
（2）点D是射线BO上的一个动点（点D不与点B、点O重合），连接DE，设D点的横坐标为t，△BDE的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图3，当点D在线段OB上，连接AD，AD、BE相交于点F，过点F作FM⊥AD交AB于点M，FN⊥BE交AB于点N，当S=20时，求线段MN的长度．
25．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为平面图形的一条面积等分线．
（1）如图1，已知，请用尺规作出的一条面积等分线．
（2）已知：如图2，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴的正半轴上、在y轴的正半轴上，．
①请判断直线是否为矩形的面积等分线，并说明理由；
②若矩形的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此面积等分线的函数表达式．
（3）如图3，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标，求过点D的一条的面积等分线的解析式．
（4）在中点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，直线是的一条面积等分线，请直接写出b的取值范围．
26．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）当时，求点的坐标；
（2）如图1，点为的中点，过点作轴于，交直线于点，若，求的值；
（3）如图2，点在第二象限内，轴于，以为边向左作正方形，的延长线交直线于点，若，求点的坐标．
27．已知：在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A．
（1）请证明：无论m为何值，直线，总经过点．
（2）当时，求点A的坐标．
（3）函数的图像与直线、直线围成的封闭区域（不含边界）为W，横纵坐标都为整数的点叫做整点．
①当时，画出函数图像，并直接写出区域W内整点的个数．
②当区域W内恰好有三个整点时，直接写出m的取值范围．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣0.5x＋2与x轴，y轴分别交于点A和点B，与直线y＝x交于点C、P（m，0）为x轴上一动点（P不与原点重合），过P作x轴垂线与直线y＝x和y＝﹣0.5x＋2分别交于点M和点N，过N作x轴的平行线交直线y＝x于D．
（1）求C点坐标；
（2）求当MN＝OB时，m的值；并直接写出此时四边形COPN的面积＝ 　 　；
（3）直接写出当DN＝2NP时，m的值＝ 　 　；
（4）过D作y轴平行线交直线AB于点E，P点在运动过程中，的值＝ 　 　．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．
（1）求出点A、点B的坐标；
（2）求△COB的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【思路指引】
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解详析】
解：∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
∵由图可知，直线在直线上方时，都在点的左侧，
∴关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
∵当x＜0时，直线在直线上方，
∴当x＜0时，函数的值比函数的值小，选项C判断正确，不符合题意；
∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于，的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
2．B
【思路指引】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解详析】
解：联立两函数解析式成方程组，得： ，
解得： ．
∴当x＜1时，y＝max（2x﹣1，﹣x+2}=-x+2＞1；当x≥1时，y＝max（2x﹣1，﹣x+2}=2x-1≥1．
∴函数y＝max（2x﹣1，﹣x+2}最小值为1．
故选B．
3．C
【思路指引】
根据 ，得到OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，根据题意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐标，再根据求解即可．
【详解详析】
解：∵ ，
∴OB=2OA，
设OA=a，则OB=2a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，
∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
CE=OE=，
∴OD的解析式是y=x，
根据题意得： ，
解得： ，
则D的坐标是（，），
∴CE=OE=，
∴C的坐标是（，），
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
4．C
【思路指引】
联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．
【详解详析】
解：根据题意，联立方程组，
解得：，
则两直线交点坐标为，，
两直线交点在第一象限，
，
解得：,
故选：C．
5．A
【思路指引】
先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．
【详解详析】
解：由题意得，
，
解得
，
∵两直线与相交于第四象限，
∴，
∴-6＜k＜0；
故选：A．
6．B
【思路指引】
首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解详析】
解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），
∴，，
∴AB=CD，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=CD，
故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，
∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴点C在直线y=-x上运动，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， BC⊥直线y=-x 时，BC的值最小，如下图所示：
易求得直线BC的解析式为：y=x-3
C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：
，解得，故，
故选：B．
7．B
【思路指引】
建立如下图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，可将各点坐标求出，并通过两点式分别求出直线BF、直线AE的解析式，直线BF与AE相交于点G，即可求出BG的长度．
【详解详析】
解：建立如图所示坐标系，使BC与x轴重合，AC与y轴重合，
∵ABC和ACD都是等腰直角三角形，且BC=，
∴AC=BC=，AB=，AD=CD=，
可将各点坐标表示出来，A(0，)，B(，0)，C(0,0)，D(,),
∴点E为CD中点，故E的坐标为(,),
又∵CF为CE关于AC的对称线段，故F的坐标为(,),
设直线BF的解析式为：y=kx+b，将B点、F点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
设直线AE的解析式为：y=mx+n，将A点、E点坐标代入，
，解得：，
∴直线BF的解析式为：，
直线BF与AE相交于点G，
，解得：，即G(,)，
线段BG的长度为：，
故选：B．
8．B
【思路指引】
根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为-1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【详解详析】
解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
9．B
【思路指引】
先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．
【详解详析】
解：将函数的图像向上平移m个单位长度后的图像的解析式为，
联立后可以得到：，
解得，
因为它们的交点在第二象限，
即，
解得，
，
故选：B．
10．C
【思路指引】
将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．
【详解详析】
解：将点代入函数中，
得：，
又∵，
化简可得：
此时联立方程组可得： ，
解得：，
∴点的坐标可表示为（-k，2k），
将（-k，2k）代入得：
，
解得，
∵为常数且，
∴，
此时一次函数，
令，
解得：，
∴交点坐标为．
故选：C．
二、填空题
11．
【思路指引】
首先观察函数的图象y=kx+3经过点（-3，0），然后求得k值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；
【详解详析】
解：根据图象知：y=kx+3经过点（-3，0），
所以-3k+3=0， 解得：k=1，
所以解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
所以两个函数图象均经过（-1，2），
所以方程组 的解为，
故答案为：．
12．或
【思路指引】
分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．
【详解详析】
解：∵点A是一次函数图象上的动点，且点A的横坐标为，
∴
∵AC⊥x轴与C，
∴
∴
∵
∴
解得，或
故答案为或
13．或
【思路指引】
分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可．
【详解详析】
∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，
∴点A坐标（－1，2），
∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，
∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）．
∴，
解得
故答案为或．
14．±4
【思路指引】
利用一次函数y＝2x+b的图象与x轴交点和与y轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解．
【详解详析】
解：∵当y＝0时，0＝2x+b，
∴；
当x＝0时，y＝b，
∴一次函数y＝2x+b的图象与坐标轴所围成的三角形面积：，
解得，
故答案为：．
15．（－1，）（7，－）
【思路指引】
根据题意联立两个一次函数可确定点C的坐标，然后确定点A、点B的坐标，分两种情况讨论：①当点Q位于线段BC上时，设，求得，由此可得点Q必在点B左侧，即，可得，代入求解即可得点Q的坐标；②当点Q位于C点右侧时，设，根据图形可得，代入求解即可得点Q的坐标．
【详解详析】
解：根据题意分两种情况进行讨论，
，
解得：，
∴，
令代入得：，
令代入得：，
①当点Q位于线段BC上时，如图即点Q的位置，设，
，
∴点Q必在点B左侧，即，
，
，
，
解得：，
∴，
则，
∴；
②当点Q位于C点右侧时，如图即点Q的位置，设，
，
，
，
解得：，
则，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
16．(－12，－8)；(4,8)
【思路指引】
分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【详解详析】
(1)当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB=∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，
∴E点坐标为（4，8）；
(2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设C（m，0），
∵∠EAB=∠ABO，
∴AC=BC，
∴（4-m）2=m2+82，
解得m=-6，
∴C（6,0）
∴直线AC的解析式为，
∵E是直线AC与y=x+4的交点
∴联立，解得
∴E（-12，-8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）．
故答案为：（4，8）或（-12，-8）．
17．y＝
【思路指引】
过点G作GP⊥GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN⊥AE，交AE延长线于N，设点A（-，0）则AO＝，DO＝2，AD＝2-，由“AAS”可证△GAO≌△PNG，可得NP＝AG＝2-，AO＝GN＝，可求点P坐标，求出一次函数解析式，可求点H的纵坐标，即可求解．
【详解详析】
解：如图，过点G作GP⊥GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN⊥AE，交AE延长线于N，
设点A（-，0）
∴AO＝，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C，
∴点D（﹣2，0），∠ADC＝45°，
∴DO＝2，AD＝2﹣，
∵AE⊥OD，
∴∠ADG＝∠AGD＝45°，
∴AD＝AG＝2﹣，
∵GP⊥GO，∠GOH＝45°，
∴∠GPO＝∠GOP＝45°，
∴GP＝GO，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，∠AGO+∠NGP＝90°，
∴∠AOG＝∠NGP，
又∵∠GNP＝∠GAO＝90°，GO＝GP，
∴△GAO≌△PNG（AAS），
∴NP＝AG＝2﹣，AO＝GN＝，
∴AN＝2，
∴点P（2﹣2，﹣2），
∴直线OP解析式为：y＝ x，
联立方程组
∴
∴点H的纵坐标为，
∴点E（，）
∵反比例函数y＝的图象过点E，
∴k＝×（）＝2，
∴反比例函数解析式为：y＝，
故答案为：y＝ ．
18．（-2,3）．
【思路指引】
由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．
【详解详析】
解：∵
∴
∵直线与直线的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将代入中得
∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）．
19．2
【思路指引】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解详析】
解：联立两函数解析式成方程组，得：，
解得：．
∴当x＜﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2．
∴函数y＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．
故答案为：2．
20．
【思路指引】
根据一次函数与二元一次方程组的关系可得，求得，再由一次函数的性质可得，则可得出关于m的一元一次不等式组，求解后即可得出结果．
【详解详析】
解：∵直线与直线交于点，
∴ ，
∴，
∴，
∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
即，
∴或，
当时，，，此不等式组无解；
当时，，，不等式组的解集为．
∴的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题
21．
解：（1），
，即，
又，
，
设直线的解析式为，将点代入得，
直线的解析式为.
在中，，
点、点关于直线对称，
设，，，
，
在中，，
（面积法亦可）
，
直线的解析式为.
（2）由（1）得，BC=OB=3，CD=4，BD=5，
则，
解得：，
将代入中，求得：
则，直线的解析式为：，
直线的解析式为：.
，
，
，
设直线的解析式为：，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
联立得：，解得：.
故存在，.
（3）如图，设若直线、与直线夹角等于，
即为等腰直角三角形，作于，于，
则，
，，
直线过，
即，解得：，
直线的解析式为：，
设坐标为，则，，
点坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
，.
当直线过点时，，解得：，
当直线过点时，，解得：.
所以或.
22．
解：（1）①当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，令，即，解得，此时满足题意，故．
当时，，故．
故答案为：，2，2．
②∵，，，
∴AB=4，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴或．
当，且时，令，即，解得，此时与点C重合，故舍去．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
当，且时，令，即，解得，此时符合题意，故．
故点P坐标为或或．
（2）∵关于m的对称函数的解析式为
∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象．
∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵对于，令y=0，即，解得x=2，
∴x=2必须在的范围之内．
∴．
∵对于，令y=0，即，解得，
∴必须在的范围之内．
∴．
∴．
∵直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
23．
解：（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．
联立，
解得，
∴C（2，2），
（2）①设M（6-t，-（6-t）+3），N（6-t，6-t），
∴MN=|-（6-t）+3-（6-t）|=|t-6|，
∵OA=2MN，
∴6=2|t-6|，
解得t=2或6；
②∵四边形CMEN是平行四边形
∴CM∥EN，CN∥ME，
∴，，
设直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
把M（6-t，-（6-t）+3）代入中，
∴，
把N（6-t，6-t）代入中，
∴
∴直线ME的解析式为，直线EN的解析式为
解得：
∴E的坐标为（，）；
（3）∵C（2，2），
∴
当OC为菱形的边时，可得（，0），（，0），（，0），
当OC为菱形的对角线时，可得（2，0），
∴或或或时以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形.
24．
（1）过点作于点，如图1，
BE是△ABO的角平分线，
设点
则,
解得
（2）如图2，
点D是射线BO上的一个动点，点D不与点B、点O重合，D点的横坐标为t，
且
，
当，，
，，
（且），
；
（3）如图3，当点D在线段OB上，
，
解得，
，
，
，
设的解析式为，
则，
解得，
，
设的解析式为，
，
，
解得，
，
交点为，
，
解得，
，
过点作于点，过点作于点，连接，
则，
BE是△ABO的角平分线，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
即，
，
整理得：，
即，
解得，
．
25.解：（1）如图1所示，作出BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，
∴AD是三角形ABC的中线，
∴AC所在直线即要求的的一条面积等分线．
（2）①如图2所示，连接AC，OB交于点M．
∵OA=6，OC=4，
∴，，
∴，
∵四边形OABC是矩形，
∴矩形OABC的面积等分线必过点M，
将x=3代入中，得：
，
∴直线不过点M，
∴直线不是矩形OABC的面积等分线；
②如图所示，
由①知，矩形OABC的面积等分线必过点M(3,2)，
设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，
∴3k+b=2，
∴b=2 3k，
∴矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2 3k，
令x=0，y=2 3k，
∴F(0，2 3k)，
∴OF=|2 3k|，
令y=0，
∴x=，
∴E(，0)，
∴OE=，
∵矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，
∴，
∴OE OF=8，
∴|2 3k| ||=8，
∴k=2或k=，
∴矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x 4或y=x+．
（3）如图所示，设三角形ABC面积的等分线的表达式为，交x轴于点F，交AB于点E．
∵三角形ABC面积的等分线过点D，
∴将D代入表达式得：b=-2，
∴表达式为．
将y=0代入得：x=，
∴F．
∴AF=．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
利用待定系数法可得AB的表达式为，　
∵DE和AB交于点E，
∴联立表达式得：，
解得：．
∵，
∴，
∴，
代入得：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴三角形ABC面积的等分线的表达式为．
（4）如图所示，
∵直线是的一条面积等分线，
由图像可知，
当或时，无论a取何值，直线都不能把的面积平分，
∴．
26.解：（1）当k=1时，直线l2为y=x+2．
解方程组，
解得，
∴P；
（2）当y=0时，kx+2k=0，
∵k≠0，
∴x=-2
∴C（-2，0），OC=2
当y=0时，，
∴x=6，
∴A（6，0），OA=6
过点P作PG⊥DF于点G，
∵，
∴PG∥x轴，
∴∠GPD=∠EAD，∠PGD=∠AED=90°，
∵点为的中点，
∴PD=AD，
在△PDG和△ADE中
，
∴△PDG≌△ADE（AAS），
∴DG = DE，
∵，
∴FG+GD=DF=2DE，
∴FG=GD，
∵PG⊥DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF，
∵∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC=90°，
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA，
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH=CA=4，
∴OH=CH-OC=4-2=2，
当x=2时，，
∴点P（2，2），
把点P代入y=kx+2k，得2k+2k=2，
∴；
（3）∵以为边向左作正方形，
∴PQ=PM，∠RQP=∠CMP=90°
在Rt△PMC和Rt△PQR中
∴Rt△PMC≌Rt△PQR（HL），
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a，
则R（-a-2，a），
代入，得，
解得，a=8，
设P（m，n），
则，
∵ON=a+2=8+2=10，
∴NM=ON-OM=10+m，
∵PM=NM，
即10+m=，
解得m=，，
∴P．
27.（1）证明：当m=0时，直线为y=x，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当m=1时，直线为y=2x-2，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当m=2时，直线为y=3x-4，当x=2时y=2，此时直线经过点（2,2）；
当x=2时，，
∴无论m为何值，直线，总经过点．
（2）解：当时，直线为，
∵直线与直线交于点A，
∴当时，y=3，
∴A（4,3）；
（3）①如图，当x=1时，区域内函数值最小为1，最大为；
当x=2时，区域内函数值最小为，最大为2，存在整点（2,1）；
当x=3时，区域内函数值最小为，最大为，存在整点（3,1）、（3,2）；
故整点有（2,1）、（3,1）、（3,2）共3个；
②当区域W内恰好有三个整点时，即（2,1）、（3,1）、（3,2），且无论m为何值，直线总经过点，
∴当x=3时，，
∴．
28.解：（1）联立两直线解析式，可得
解得，即点坐标为
故答案为
（2）设，则，
线段
由题意可得：，，则
∴，解得或（舍去）
四边形COPN的面积
故答案为，
（3）设，则，
则的纵坐标为
又∵在直线上，
∴的横坐标为
即
，
由题意可得：
化简可得：或
解得或
故答案为或；
（4）由（3）得，则的横坐标为
则的纵坐标为，即
则
由（1）得
∴
故答案为
29.解：（1）∵A、B是直线与x轴，y轴的交点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，3）；
（2）联立，
解得，
∴C点坐标为（2，2），
∵B点坐标为（0，3），
∴OB=3，
∴；
（3）假设存在点P使得△PBC是等腰三角形，
∵B（0，3），C（2，2），
∴，
设P点坐标为（0，m），则，
当PB=BC时，则，
∴，
解得，
∴此时P点坐标为或；
当PC=BC时，过点C作CD⊥BP于D，
∴D点坐标为（0，2），PD=BD，
∴PD=BD=1，
∴BP=2
∴OP=OB-BP=1，
∴P点坐标为（0，1）
当PB=PC时，
∴，
解得，
∴P点坐标为；
∴综上所述，当P点坐标为或或（0，1）或时，使得△PBC为等腰三角形．