沪教版八年级数学下册试题 22.4梯形（含解析）

22.4梯形
一、单选题
1．下列四边形中，对角线相等且互相平分的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形
2．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
3．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，则CD＝（ ）
A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形
B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
5．下列事件中，确定事件是（ ）
A．向量与向量是平行向量
B．方程有实数根；
C．直线与直线相交
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
6．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　）
A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量
C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量
7．下列命题中：
①有两个内角相等的梯形是等腰梯形； ②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形； ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
其中真命题有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在梯形中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为的等腰梯形，底差等于，面积为，那么这个等腰梯形的纵横比等于（ ）
A． B． C． D．
10．我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在中，，分别在边上，添加下面什么条件是无法证明四边形是等对角线四边形（ ）
A． B．
C． D．是和角平分线
二、填空题
11．如图，等腰梯形的一条对角线平分，且与腰垂直，已知腰长为，则梯形的面积为__________
12．如果一个梯形的上底长为，中位线长是，那么这个梯形下底长为__________．
13．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝8cm，AD＝10cm，点P在边BC上从B向C运动，点Q在边DA上从D向A运动，如果P，Q运动的速度都为每秒1cm，那么当运动时间t＝_____秒时，四边形ABPQ是直角梯形．
14．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的长为3，高AH的长为，那么梯形的中位线长为 ___．
15．在直角梯形中，，，，，则的度数是________．
16．已知等腰梯形一个底角是，它的两底分别是和那么它的腰长是__________．
17．如图，等腰梯形ABCD中，AB//DC，∠A＝60°，AD＝DC＝CB＝10，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝4，BF＝x，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x的函数关系式是 ___．（无需写出定义域）
18．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为_______．
19．等腰梯形的腰长为，对角线互相垂直且交点为对角线的三等分点，则梯形的周长为__________
20．如图，正方形中，为边中点，折叠正方形使得点与点重合，折痕为，设梯形面积为，梯形面积为，则_________
三、解答题
21．如图，在梯形中，，，点M在边的延长线上，点N在边上．
（1）如果，求证：；
（2）如果∠ANB=2∠ACB，求证：四边形是菱形．
22．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．
23．如图，己知等腰梯形中，，、分别是两腰的中点，联结，过点作，交于点，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：四边形是矩形．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，且．
（1）求点的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在梯形中，，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，点从点开始沿向终点以每秒的速度移动，设运动时间为秒，连接．
（1）线段的长度是 ；
（2）当 秒时，四边形是矩形；
（3）在点运动过程中，当取何值时，线段与相等？
（4）连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
26．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．
27．如图，在中，，，．点O是的中点，过点O的直线与从重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交于点D，过点Ｃ作交直线于点Ｅ，设直线的旋转角为．
（1）当四边形是等腰梯形时，则=_______，此时________；
（2）当四边形是直角梯形时，则=_________，此时_________；
（3）当为几度时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
28．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分别为、的中点，和分别与交于和，和交于点．
（1）求证：；
（2）当点在四边形内部时，设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的长．
29．在平面直角坐标系xOy中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线的图像与y轴交于点C，与已知直线交于点D，点D的横坐标是2
（1）求直线的解析式；
（2）将直线的图像向上或向下平移，交直线于点E，设平移所得函数图像的截距为b，如果交点E始终落在线段AB上，求b的取值范围．
（3）在x轴上是否存在点P，使点P与点A、B、C构成的四边形为梯形，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
30．在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设．
（1）求边的长；
（2）如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式；
（3）如果的长为，求梯形的面积．
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
根据平行四边形、菱形、矩形和等腰梯形的性质进行判断．
【详解详析】
解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项符合题意；
D、等腰梯形的对角线相等，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．C
【思路指引】
先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．
【详解详析】
解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则
2x+2x+x+3x=360°，
解得x=45°．
则2x=90°，3x=135°．
∴这个四边形的形状是直角梯形．
故选：C．
3．B
【思路指引】
分别用斜边AD、AB、BC把S1、S2、S3表示出来，然后根据S1+S3=4S2求出AD、AB、BC之间的关系．在过点B作BK∥AD交CD于点K后，根据数据发现△KBC又是一个直角三角形，再次利用勾股定理即可发现CD和AB之间的关系．
【详解详析】
解：∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
其面积分别是S1、S2、S3，
∴，， ,
∵S1+S3=4S2，
∴AD2+BC2=4AB2
过点B作BK∥AD交CD于点K，
∵AB∥CD
∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC
∵∠ADC+∠BCD=90°
∴∠BKC+∠BCD=90°
∴BK2+BC2=CK2
∴AD2+BC2=CK2
∴CK2=4AB2
∴CK=2AB
∴CD=3AB．
故选：B.
4．C
【思路指引】
根据梯形的判定方法即可得到正确的答案．
【详解详析】
A、利用梯形的定义可以判定两腰相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题；
B、根据梯形的判定定理可知对角线相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题；
C、根据等腰梯形的判定定理可知同一底上的两个底角相等的梯形的等腰梯形，故本答案是假命题；
D、平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形是真命题．
故选C．
5．B
【思路指引】
根据“必然事件和不可能事件统称确定事件”逐一判断即可．
【详解详析】
A. 向量与向量是平行向量，是随机事件，故该选项错误；
B. 方程有实数根，是确定事件，故该选项正确；
C. 直线与直线相交，是随机事件，故该选项错误；
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，是随机事件，故该选项错误；
故选：B．
6．C
【思路指引】
根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．
【详解详析】
解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．
B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．
C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．
D、+＝2≠，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．C
【思路指引】
根据等腰梯形的判定方法、菱形的判定、矩形的判定逐个判断即可．
【详解详析】
同一底边上两底角相等的梯形是等腰梯形，则命题①是假命题
如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点
连接AC、BD
由中位线定理得：
，
四边形EFGH是平行四边形
又四边形ABCD是矩形
平行四边形EFGH是菱形，则命题②是真命题
由等腰梯形的判定定理可知，两条对角线相等的梯形是等腰梯形，则命题③是真命题
由矩形的判定可知，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，则命题④是真命题
综上，真命题的有②③④，共3个
故选：C．
8．A
【思路指引】
A、根据三角形的三边关系即可得出A不正确；B、通过等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质即可得出∠ADB=90°，从而得出B正确；C、由梯形的性质得出AB∥CD，结合角的计算即可得出∠ABC=60°，即C正确；D、由平行线的性质结合等腰三角形的性质即可得出∠DAC=∠CAB，即D正确．综上即可得出结论．
【详解详析】
A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A不正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正确，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，C正确．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D正确；
故选：A．
9．C
【思路指引】
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据BC-AD=6求出BE=CF=3，利用勾股定理求出高AE的长，利用梯形面积公式求出AD的长，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案．
【详解详析】
解：如图，由题意得：AB=CD=5，BC-AD=6，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴BE=CF=3，
∴，
∵梯形面积，
∴，
∴BC=9，
∴梯形的中位线=，
∴这个等腰梯形的纵横比=，
故选：C．
．
10．C
【思路指引】
根据已知条件及各个选项所提供的条件，利用等腰梯形性质、三角形全等证明等方式尝试证明，如果不能证明，那么该选项就是要选择的选项．
【详解详析】
选项：当时，且，即，所以是等腰梯形，所以对角线相等，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意；
选项：因为，所以、都是直角三角形，所以，所以，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意；
选项：根据已知条件，再加上选项的条件，不能证明，故符合题意；
选项：因为是和角平分线，所以，所以，所以，所以，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意；
故选．
二、填空题
11．
【思路指引】
依据平行线的性质与角平分线得到，依据三角形等角对等边得到上底，依据角平分线及等腰梯形的两底角相等，得到，结合直角三角形两锐角互余，得到，，作于点E，在直角三角形ABC和直角三角形ABE中，依据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得下底和高，最后依据梯形面积公式即可求解.
【详解详析】
解：在梯形中，，
，
平分，则，
，
=2，
四边形为等腰梯形，
，
，
，，
∴，
作于点E，则，
∴,，
∴梯形的面积为=，
故答案为：.
12．8
【思路指引】
根据梯形的中位线得出EF＝×（AD＋BC），代入求出即可．
【详解详析】
如图：
∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，
∴EF＝×（AD＋BC），
∵EF＝5cm，AD＝2cm，
∴5cm＝×（2cm＋BC），
解得：BC＝8cm，
故答案为：8．
13．7
【思路指引】
过点A作AE⊥BC于E，因为AD∥BC，所以当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值
【详解详析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
过点A作AE⊥BC于E，
∴当AE∥QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，
∵∠B＝60°，AB＝8cm，
∴BE＝4cm，
∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，
∴AQ＝10﹣t，AP＝t，
∵BE＝4，
∴EP＝t﹣4，
∵AE⊥BC，AQ∥EP，AE∥QP，
∴QP⊥BC，AQ⊥AD，
∴四边形AEPQ是矩形，
∴AQ＝EP，
即10﹣t＝t﹣4，
解得t＝7，
故答案为7．
14．6
【思路指引】
过点作于，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据梯形的中位线定理计算，得到答案．
【详解详析】
解：过点作于，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
同理可得：，
，
梯形的中位线长，
故答案为：6．
15．或
【思路指引】
分两种情形：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，求出四边形ABED是矩形，根据矩形的性质得出∠ADE=90°，AB=DE=3，求出∠C，即可得出答案．②如图2中，过点C作CE⊥AD于E，同法可得∠D=30°．
【详解详析】
解：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠ADE=90°，AB=DE=3，
∵CD=6，
∴∠C=30°，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADC=90°+60°=150°．
②如图2中，过点C作CE⊥AD于E，
同法可得∠D=30°，
即∠D的度数是30°或150°，
故答案为：150°或30°．
16．4
【思路指引】
过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE=DC，AD=BE=6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C=∠B=60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE=DC即可求出答案．
【详解详析】
过D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，AD=BE=6，
∴CE=BC-BE=10-6=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=60°，AB=DC=DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=CE=4，
故答案为：4．
17．
【思路指引】
过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，求出等腰梯形的面积，根据等腰梯形ABCD的面积=S△AEG+S△BFH+S梯形EFHG+y，分别求得各部分的面积从而可得到函数关系式．
【详解详析】
解：过作垂直于，过作垂直于，过点D作DM⊥AB，
∵AD=DC=CB=10，∠A=60°，
∴AM=AD=5，
∴AB=10+5+5=20，DM==，
∴，
，，垂直，
，，
，
，垂直，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
18．8
【思路指引】
过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．
【详解详析】
解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC=DF，AD=CF，
∴BD=DF ，
∵，
∴DF⊥BD，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥BF，
∴
∴，即梯形的中位线是8cm，
故答案为：8．
19．
【思路指引】
根据题意画出图形，作交CB的延长线于点E，设，用勾股定理求出、，依据等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质得到，依据等边对等角及平行线的性质得到等腰直角三角形AEC，依据勾股定理求出EC，继而求得梯形的周长.
【详解详析】
解：如图，等腰梯形，,,，，
作交CB的延长线于点E，设
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
∴梯形的周长为，
∵等腰梯形，
∴，,
又∵,
∴≌(SAS),
∴,
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴梯形的周长为.
故答案为：.
20．
【思路指引】
连接AM、EM，设正方形边长为，设，则，设，则，在、、中运用勾股定理及翻折的性质，求得，最后运用梯形的面积公式即可求解.
【详解详析】
解：连接AM、EM，设正方形边长为，
∵为边中点，
∴，
由翻折知，，
设，则，设，则，
∵正方形，
∴，,
∴，，
∴，，，，
∵梯形面积为，梯形面积为，且,
∴.
故答案为：.
三、解答题
21．
解：证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCM，
∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCM+∠D=180°，
∴∠ABM=∠D，
在△ABM和△CDA中，
，
∴△ABM≌△CDA（SAS），
∴AM=AC；
（2）∵∠ANB=∠CAN+∠ACB，∠ANB=2∠ACB，
∴∠CAN+∠ACB=2∠ACB，
∴∠CAN=∠ACB，
∴AN=CN，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠CAN=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
在△ACN和△ACD中，
，
∴△ACN≌△ACD（ASA），
∴AN=AD，
∴AN=CN=AD=DC，
∴四边形四边形ADCN是菱形．
22．
解：证明：（1）连接EG交AF于点O，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG=（AD+BC），EG∥AD∥BC，
∵BF=（AD+BC），
∴EG=BF，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BE=GF，BE∥GF，
∵AE=BE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形；
（2）∵四边形AEFG是矩形，
∴OA=OG，
∴∠OAG=∠OGA，
∵AD∥EG，
∴∠DAG=∠OGA，
∴∠OAG=∠DAG，即AG平分∠FAD．
23．
解：（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C，
∵AB∥FG，
∴∠FGC=∠B，
∴∠FGC=∠C，
∴FG=FC，
∵AB=CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∴AE=FG，
∴四边形AEGF是平行四边形；
（2）证明：连接DG，
∵FG=DF=CF，
∴∠DGC=90°，∠FDG=∠FGD，
∵∠CFG=∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG=2∠DGF，
∵∠GFC=2∠EGB，
∴∠DGF=∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC=90°，
∴∠FGC+∠BGE=90°，
∴∠EGF=90°，
∴四边形AEGF是矩形．
24．
解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，
令x=0，则y=4，
令y=0，则x+4=0，
∴x=-4，
，，
．
，
．
因为点在线段上，
所以设的坐标为．
，
解得：或（不符题意，舍去），
．
（2）存在，
由（1）知，A（-4，0），C（-3，1），
∵以A、C、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形，
∴①当等腰梯形是ACQO时，如图1，
AC=OQ，CQ∥AO，
过点C作CE⊥OA于E，过点Q作QF⊥OA于F，
∴∠AEC=∠OFQ=90°，
∴四边形CEFQ是矩形，
∴CE=QF，
∴Rt△AEC≌Rt△OFQ（HL），
∴AE=OF，
∵C（-3，1），
∴CE=1，E（-3，0），
∴QF=1，
∵A（-4，0），
∴AE=1，
∴OF=1，
∴Q（-1，1）；
②当等腰梯形ACOQ时，如图2，AC∥OQ，AQ=CO，
过点Q作QN⊥AC于N，过点O作OM⊥AC于M，
则四边形OMNQ是矩形，
∴QN=OM，
同①的方法得，Rt△COM≌Rt△AQN（HL），
∴CM=AN，
在Rt△AOB中，A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵OM⊥AC，
∴AM=BM=2，
∴M（-2，2），
∵AC=，
∴CM=，
∴AN=，
∴点N与点C关于点A对称，
∴N（-5，-1），
点M向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点O，
∴点N向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点Q，
∴Q（-3，-3）；
③当等腰梯形是ACOQ时，如图3，
AC=OQ，CO∥AQ，连接CQ，则CQ=OA=4，
∵点C（-3，1），
∴直线OC的解析式为y=-，
∵点A（-4，0），
∴直线AQ的解析式为y=--，
设Q（q，-q-）（q＞-3），
∴CQ==4，
∴q=-7（舍）或q=，
Q（，-），
即满足条件的点Q的坐标为（-1，1）或（-3，-3）或（，-）．
25．
解：（1）如图1
过点D作DG⊥BC于G，
则∠DGB=∠DGC=90°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG=AB=12cm，AD=BG，
∵BC=27cm，CD=15cm，∴（cm）
∴AD=BG=BC-CG=27-9=18（cm），
故答案为：18；
（2）如图2，连接PQ，由题意得：BP=3t cm，DQ=2t cm，
∴AQ=AD-DQ=（18-2t）cm，
∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ=BP，
∴18-2t=3t，解得.
故答案为：
（3）如图3，
∵DQ1=2t cm，BP1=3t cm，
∴AQ1=（18-2t）cm，
①当P1Q1=CD=15cm时，
过点Q1作Q1H⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，则∠CGD=∠BHQ1=90°，
由（1）知，DG=AB=12cm，CG=9cm，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHQ1是矩形，
∴Q1H=AB=12cm，BH=AQ1=（18-2t）cm，
∴P1H=BH-BP1=（18-5t）cm，
∵DG=Q1H，CD=P1Q1，
∴Rt△P1Q1H≌Rt△CDG（HL），
∴P1H=CG，
∴18-5t=9，解得；
②当P2Q2=CD=15cm时，四边形P2Q2DC是平行四边形，
∴DQ2=P2C，
∵DQ2=2t cm，BP2=3t cm，
∴P2C=（27-3t）cm，
∴2 t =27-3 t，解得.
综上所述，当t取秒或秒时，线段PQ与CD相等；
（4）∵△PCD是等腰三角形，
∴PC=CD或PD=CD或PD=PC，
∵BP=3t cm，
∴PC=（27-3t）cm，
过点D作DG⊥BC于G，则∠DGP=90°，
由（1）（2）知，CD=15cm，BG=18cm，DG=12cm，BP=3t cm，
∴PG=（18-3t）cm，PC=（27-3t）cm，
∴PD2=PG2+DG2=（18-3t）2+122，
①当PC=CD时，27-3t=15，解得：t=4;
②当PD=CD时，则（18-3t）2+122=152，解得：t=3或t=9（舍去）;
③当PD=PC时，则（18-3t）2+122=（27-3t）2，解得；
综上所述，当△PCD是等腰三角形时，t的值为4或3或
26．
（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE，
∵AB＝CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°
∵AC∥DE
∴∠BDE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBC＝45°．
（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，
∵AD＝x，BC＝10，
∴OA＝x，OB＝5，
∴y＝．
（3）如图2中，
①当PQ＝PO＝BC＝5时，
∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，
∴PQ∥AC，PQ＝AC，
∴AC＝10，∵OC＝5，
∴OA＝10﹣5，
∴AD＝OA＝10﹣10．
②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝10，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在．
③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能，
综上所述，满足条件的AD的值为10﹣10．
27．
（1）∵
∴当时，四边形EDBC是等腰梯形
∵
∴
即当时，四边形EDBC是等腰梯形
在Rt△ABC中，
∴
∴
∵O是AC的中点
∴
∵
∴；
（2）∵
∴当时，四边形EDBC是直角梯形
∵
∴
∴当时，四边形EDBC是直角梯形
在Rt△ABC中，
∴
∴
∵O是AC的中点
∴
在Rt△AOD中，
∴；
（3）当时，四边形是菱形
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形
在Rt△ABC中，，
∴
∴
∴
在Rt△AOD中，
∴
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形．
28．
（1）证明：、分别是、的中点，
．
平分，
．
又，
，
，
．
点是的中点，
．
．
（2）过作交于点K，过点D作交于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
，．
，，
，
同理：．
在中，
，
，，
．
，
．
在中，．
，
即．
．
（3）①点在梯形内部．
∵是梯形的中位线，
，
即．
解得：，
即．
②点在梯形内部．
同理：．
解得：，
即．
综上所述，EG的长度为3或．
29．
解：（1）直线的图象与已知直线交于点，的横坐标是2，
当时，，
的坐标为，
将的坐标代入到直线得，，
直线的解析式为；
（2）令，则，
令，则，
，
直线分别与轴、轴交于点、，
的坐标为，的坐标为，
设直线经过平移后的解析式为，如图1，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图可得，当交点始终落在线段上时，；
（3）直线的图象与轴交于点，
时，，
的坐标为，
①如图2，当时，四边形为梯形，
直线的解析式为，
令，则，
，
②如图3，当时，四边形为梯形，
设直线的解析式为，代入点得，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
所以存在这样的点，使点与点、、构成的四边形为梯形，坐标为或．
30．
解：（1）如图1，过作，与、分别相交于点、，
梯形中，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
．
（2），，
，
，
，
，，
，
，
如图2，过点作，与、分别相交于、，
，，
，，
，
，
关于的函数解析式为；
（3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，
，
当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，
，
综上所述，梯形的面积为或．