沪教版八年级数学下册试题 22.4平面向量及其加减运算（含解析）

平面向量及其加减运算
一、单选题
1．下列关于向量的等式中，不正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．在四边形中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在矩形ABCD中，如果模长为, 模长为1，则向量（++）
的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（　　）
A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直 D．和之间夹角的正切值为5
5．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（　　）
A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量
C．2-＝ D．∥
6．已知、为非零向量，下列判断错误的是（　　）
A．如果=2，那么∥ B．如果||=||，那么=或=﹣
C．的方向不确定，大小为0 D．如果为单位向量且=2，那么||=2
7．下列命题中是假命题的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则
8．如图，已知在平行四边形ABCD中，向量在向量、方向上的分向量分别是（ ）
A．、 B．、— C．—、 D．—、—
9．下列命题正确是（　　）
A．长度相等的两个非零向量相等
B．平行向量一定在同一直线上
C．与零向量相等的向量必定是零向量
D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
10．下列命题：
①若，，则；
②若∥，∥，则∥；
③若||=2||，则或=﹣2；
④若与是互为相反向量，则+=0．
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为_____．
12．如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，F在边AD上，且AF：FD=2：1，如果=，=，那么=_____．
13．在平行四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是_______.
14．已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量=_____．
15．在△ABC中，＝_____．
16．如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果，那么＝_____（用表示）．
17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AB＝4AD，设，，那么向量 用向量、表示为_____．
18．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么＝_____
19．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么_________________．
20．已知点是的重心，如果，那么向量用向量表示为_____．
三、解答题
21．如图，已知梯形中，，对角线、相交于点，．
（1）求的值；
（2）若，用向量与表示．
22．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
23．如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．
（1）求BD的长；
（2）设＝，＝，用含、的式子表示．
24．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC．
（1）如果AC=6，求AE的长；
（2）设，，求向量（用向量、表示）．
25．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，AE与BD交于点F，DE∶EC=2∶3．(1)求BF∶DF的值；
（2）如果，，试用、表示向量．
26．如图，点在平行四边形的对角线上，设，，．
(1)用向量表示下列向量：
向量_______；向量__________；
(2)求作： (不写作法，保留作图痕迹，写出结果)
27．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，．
（1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　；
（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）．
28．如图，已知为内的一点，点、分别在边上，且.设，，试用表示.
29．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．
（1）用表示，；
（2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论）
30．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．
（1）求FG的长；
（2）设，，用、的线性组合表示．
答案
一、单选题
1．B
【思路指引】
根据平面向量的加法法则判定即可．
【详解详析】
A、，正确，本选项不符合题意；
B、，错误，本选项符合题意；
C、，正确，本选项不符合题意；
D、，正确，本选项不符合题意；
故选B．
2．B
【思路指引】
如图，连接BD．利用三角形法则解题即可．
【详解详析】
如图，连接BD．
∵，
∴．
又，
∴，即．
故选B．
3．B
【思路指引】
先求出，然后，利用勾股定理即可计算出向量（++）的长度为
【详解详析】
故选：B.
4．B
【思路指引】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解详析】
∵已知，为非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，与的方向相反，
故选：B．
5．D
【思路指引】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答．
【详解详析】
A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．
B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．
C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．
D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D．
6．B
【详解详析】
分析：根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
详解：
A、如果=2，那么∥，正确；
B、如果||=| |，没法判断与的关系；故错误．
C、的方向不确定，大小为0，正确；
D、如果为单位向量且=2，那么||=2，正确；
故选B．
7．D
【详解详析】
根据向量的性质对每一项分别进行分析，即可得出答案．
解：A、若，则，是真命题；
B、2（﹣）=2﹣2，是真命题；
C、若=﹣，则∥，是真命题；
D、若||=||，则不一定等于，故原命题是假命题；
故选D．
8．C
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则求解即可求得答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴向量在 ，方向上的分量分别是：- ，．
故选C．
9．C
向量即有长度，也有方向，方向不同的向量即使长度相同，两向量也不相等，结合各选项进行判断即可．
解：A、长度相等的两个非零向量不一定相等，还需要方向相同，故本选项错误；
B、平行向量，可以不在同一条直线上，但需要满足可以平移到同一条直线上，故本选项错误；
C、与零向量相等的向量必定是零向量，故本选项正确；
D、任意两个相等的非零向量的始点与终点是不一定是一平行四边形的四顶点，故本选项错误；
故选C．
10．C
【思路指引】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解详析】
①若，，则，正确；
②若∥，∥，则∥，正确；
③若||=2||，则或=﹣2，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；
④若与是互为相反向量，则+=0，正确．
综上所述，真命题的个数是3个．
故选C．
二、填空题
11．
【详解详析】
【思路指引】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．
【详解详析】如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴△DCE∽△FBE，
又E是边BC的中点，
∴，
∴EC=BE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
∴，
故答案是：.
12．
【详解详析】
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为.
13．
【思路指引】
先由，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，然后根据30°角所对应的直角边是斜边的一半，可得到∠ABD=60°，求得三角形的面积.
【详解详析】
解：∵
∴平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC
∴四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，
∠ABD=60°，
∴SABCD=
故答案为.
14．
【思路指引】
由在平行四边形ABCD中，可得，即可得，又有，即可求得答案．
【详解详析】
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
故答案是：.
15．．
【思路指引】
由在△ABC中，根据三角形法则即可求得+的值，则可求得答案．
【详解详析】
∵．
故答案为：．
16．
【思路指引】
在Rt△ABC中，由∠C＝90°，∠A＝30°，可得∠ABC＝60°，根据BD平分∠ABC，
可得∠ABD＝∠CBD＝30°，继而可得∠A＝∠ABD，由等角对等边可得:AD＝BD，DB＝2DC，继而可得AD＝2DC，因此CD＝AC，即＝．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，DB＝2DC，
∴AD＝2DC，
∴CD＝AC，
∴＝，
故答案为．
17．
【思路指引】
利用三角形法则：＝+求解即可．
【详解详析】
∵AB＝4AD，
∴AD＝AB，
∴＝，
∵＝+，
∴＝
故答案为：．
18．
【思路指引】
首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得．
【详解详析】
解：
则
故答案为 ：
19．
【思路指引】
根据重心的意义可得出，然后根据解答即可．
【详解详析】
解：∵，，
∴，
∵点G是两条中线AD、BE的交点，
∴，
∴，
故答案为：．
20．
【思路指引】
如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．求出，证明
即可解决问题．
【详解详析】
如图，延长AE到H，使得EH=AE，连接BH，CH．
∵AE=EH，BE=EC，
∴四边形ABHC是平行四边形，
∴AC=BH，AC∥BH，
∵，
∵G是重心，
∴，
∵AE=EH，
∴，
∴.
三、解答题
21．
解：（1）∵CO=AC，
∴CO：OA=2：3，
∵CD∥AB，
∴．
（2）∵，，，
∴
∵DC=AB，
∴．
22．
（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作图如下：
∵，为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
23．
（1）∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF．
∵AC∥BD，
∴∠CBF＝∠ACB．
∴∠ABC＝∠ACB．
∴AC＝AB．
∵AE＝2，BE＝3，
∴AB＝AC＝5．
∵AC∥BD，
∴．
∴．
∴BD＝；
（2）∵AC∥BD，
∴．
∵＝，
∴＝．
∴＝+＝﹣．
24．
（1）如图，
∵DE∥BC，且DE=BC，
∴．
又AC=6，
∴AE=4．
（2）∵，，
∴．
又DE∥BC，DE=BC，
∴
25．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴．
∵DE∶EC =2∶3，
∴DC∶DE =5∶2，
∴AB∶DE =5∶2，
∴BF∶DF=5∶2．
（2）∵BF∶DF=5∶2，∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴．
26．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，即为所求．
27．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，OA＝OC，
∴＝＝＝﹣，
＝＝﹣﹣．
故答案为：﹣，﹣﹣．
（2）如图，延长BC到E，使得CE＝BC，则即为所求．
28．
∵，∴，
∵，∴
∴，∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴
29．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC
∴ ,
∵AE=2ED,
∴DF=AB,AE=AD,
∵,
∴,，
∴；
（2）
，
;
如图，平行四边形ABCD，取AB的中点，则,，
∴,
∴
30．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∵BE=EC，
∴，
∵FG∥BC，
∴，
∴FG=BC=．
（2）∵
∵BE∥AD，
∴AF：AE=DF：DB=2：3，
∴．