仁寿实验中学高 2023 级数学科第一次月考考试试题
（考试时间：150 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分）
3 i
1．复数 的虚部是（ ）
1 i
A．2 B． 2 C．1 D． 1
2． sin 50 sin 20 sin 40 cos 20 （ ）
A 3 B 3
1
． ． C 1． D．
2 2 2 2
3．在 ABC中，若 A 45 ,B 60 ,BC 3 2 ，则 AC （ ）
A．3 3 B． 4 3 C． 3 D． 2 3
4．已知向量 a x 1 , 2 , b 2 , 1 ，则“x＞0”是“ a 与b的夹角为锐角”的 ( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5
π
．为了得到函数 y cos 2x 的图像，可以将函数 y cos x的图像上（ ）
4
A 1 π．每个点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 8 个单位
B 1 π．每个点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 8 个单位
C π．每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 8 个单位
D π．每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 8 个单位
6．圆台上、下底面面积分别是 π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ）
A 2 3 7 3 7 3． π B．2 3 C． π D． π
3 6 3
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7．在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为 AB、BC的中点，则点 P为正方
形 A1B1C1D1内一点，当DP// 平面 B1EF 时，DP的最小值为（ ）
3
A 3 2 3 3． 2 B． C． D．2 4 4
π 8．如图，在 ABC中， BAC , AD 2DB， P为CD上一点，且3
1 AP mAC AB，若 | AC | 3,| AB | 4 ，则 AP CD的值为（ ）2
7 13 13
A 7． B． C． D．
6 6 12 12
二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分）
9．设 a，b为两条不重合的直线， 为一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a b，b ，则 a B．若 a ， a / /b，则b
C．若 a / / ，b ，则 a / /b D．若 a / / ，b ，则 a b
3 2i
10．已知复数 z z2024 ，复数 的共轭复数为 z，则下列结论正确的是（ ）i i
z z 1 5A．在复平面内复数 所对应的点位于第一象限 B． i
2 2
z z 13 z 12 5C． D． i
2 z 13 13
11．函数 f (x) Asin( x )
A 0,
π
0, 的部分图象如图所示，
2
下列结论中正确的是（ ）
πA．
3
π
B．函数 f (x) 的周期为
2
π
C．函数 f (x) 的图象关于点 , 0 对称
6
π π
D．将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位得到函数 g(x) sin 2x 的图象12 6
12．正方体 ABCD A1B1C1D1中， E F G H 分别为CC1 BC CD BB BB1 的中点，则下列结论
正确的是（ ）
A． B1G BC B．平面 AEF 平面 AA1D1D AD1
C． A1H // 面 AEF D． B1G与 EF 是相交直线
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三、填空题(共 4小题，每小题 5 分）
13．已知向量 a (1, 2)，b (3,4) .若 (3a b) / /(a kb) ，则 k ．
2π
14．圆锥的侧面展开图中扇形中心角为 ，底面周长为 2π，这个圆锥的侧面积是 ．
3
cos 415．已知
，则 sin 2
.
8 5 4
π π π π
16．已知函数 f (x) sin
π
x
( 0)
，若 f f ，且 f (x)
6 在区间
, 上有最小值 6 2 6 2
无最大值，则 ．
四、解答题（共 70 分）
17．（10 分）在平面直角坐标系中，已知向量 a=(1,1) , b=(2,-1) ．
(1)求 | 3a b |；
(2)若m = 2a - b,n = ta + b ，m n，求实数 t 的值．
18．（12 分）已知函数 f x 2sinxcosx 2sin2x 1．
(1)求 f x 的单调递增区间；
π
(2)求 f x 在区间 ,0
上的最小值及此时 x的取值． 2
19．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求：
(1)直线 AB1与平面 ACC1A1所成角的正切值；
(2)异面直线 AB1与 A1C1所成角的余弦值．
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20．（12 分）如图，缉私艇在 A处通过卫星发现正东方相距40nmile的 P处有一艘走私船，
走私船正以10 2nmile/h的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海35 6nmile ．缉
私艇立即以20nmile/h 的速度追缉．
（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？
（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？
21．（12 分）设 a，b，c分别为 ABC的内角A ，B，C的对边，且5bcos A 3c 5acosB．
(1)求证： tan A 4 tan B；
(2)若 2CD CA CB， c 2 CD 10 ，求 ABC的面积．
22．（12 分）如图，在三棱锥 P ABC中，PA 底面 ABC，AC BC，H为PC的中点，M
为 AH 的中点， PA AC 2， BC 1．
(1)求证： AH BC；
(2)求点C到平面 ABH 的距离；
(3)在线段 PB上是否存在点 N，使MN / / 平面 ABC？若存在，
| PN |
求出 | PB | 的值，若不存在，请说明理由．
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{#{QQABBQKAogAgAoBAABgCUQViCACQkBECCCoOgEAEsAABCQNABAA=}#}仁寿实验中学高2023级数学科参考答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A C B D C D BD AC ACD BC
填空题
13． 14． 15．/ 16．
17．【详解】（1），
所以
（2），
因为，
所以，
解得：
18．【详解】（1）∵，
∵，则，
∴的单调递增区间为.
（2）∵，则，
∴，即，
故当，即时，取到最小值.
19．【详解】
解：（1） 因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1.
因为ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面A1B1C1.
又B1C1 平面A1B1C1，所以CC1⊥B1C1，CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1 平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以∠B1AC1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．
在Rt△B1AC1中，AC1＝2，B1C1＝2，所以tan ∠B1AC1＝，
所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为.
（2） 因为AC∥A1C1，所以∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角或其补角．如图，连接B1C，
在△B1AC中，AB1＝2，B1C＝2，AC＝2，
所以cos ∠B1AC＝＝，
所以异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为.
20．【详解】解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．
在中，，解得，
则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉．
（2）在中，根据余弦定理得，
所以
化简得，
解得或（舍去），
此时走私船前进了．
所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．
21．【详解】（1）解法一：由及正弦定理可得，整理得．
又，所以，所以，
即，
所以，又，，
则，所以．
解法二：由及余弦定理可得，
整理得．
因为，即．
（2）因为，，即，两边同时平方，有，所以，．
又由（1）知，则，所以．
又，解得，所以的面积为
22．【详解】（1）因为底面，平面，所以.
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）设点到平面的距离为.
因为底面，，为的中点，
所以点到平面的距离为.
又因为在中，，，．
则，
.
又因为底面，平面，所以，
又因为，，为的中点，
所以，
又因为由（1）知平面，平面，所以，
则.
所以，则，
则的面积为，
所以，解得.
（3）线段上当点满足，使平面.
证明：取CH的中点K，连接MK，NK．
因为为的中点，
所以由为的中位线，可得.
又因为平面，平面ABC，所以平面；
由，可得，则，
又因为平面ABC，平面ABC，所以平面．
又因为平面，
所以平面平面，
又因为平面MNK，所以平面ABC．
