数学人教A版（2019）必修第二册8.3.3球的表面积与体积 课件（共22张ppt）

(共22张PPT)
8.3.3 球的表面积与体积
1、掌握球的表面积与体积公式，并能运用公式解决实际问题；
2、了解球的公式的推导方法；
3、掌握球的切、接问题；
4、通过学习球的表面积与体积公式，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养.
重点：球的表面积与体积公式
难点：球的公式的推导方法；球的切、接问题
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝____
表面积：S＝________
圆锥 底面积：S底＝___
侧面积：S侧＝___
表面积：S＝_______
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋转体 圆台 上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝____
侧面积：S侧＝__________
表面积：S＝_________________
πr′2
πr2
π(r′2＋r2＋r′l+rl)
π(r′l＋rl)
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝＝_____ 是底面圆半径，是底面积，是高
圆锥 V圆锥＝＝______ 是底面圆半径，是底面积，是高
圆台 ______________________ 分别是上、下底面圆半径，
是上底面积，是下底面积，是高
πr2h
πr2h
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
=
如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌
思考：如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗
追问：球的体积怎么计算？
曹
冲
称
象
祖暅原理
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R、高为R，请用实验的方法探究它们的体积之间是否存在着某种等量关系？
1、拿出圆锥和圆柱
2、将圆锥倒立放入圆柱
3、取出半球和新的几何体做它们的截面
R
所以
所以
从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展开成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展开成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢
古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得的圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.
思考：类比这种方法你能由球的体积公式推导出球的表面积公式吗？
1、把球O的表面分成n个小网格，表面积分别为：，，，，
2、连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”，
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，
“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R．
设小锥体的体积分别为：，
，
又因为，
所以有：
所以
则球的体积
一、球的表面积与体积：球的半径为
球的表面积：.
球的体积：
解决问题：如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗
例题：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取)
解：一个浮标的表面积为，
所以给个这样的浮标涂防水漆约需涂料
.
例题：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比和表面积之比.
解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为.
∵，，
∴.
圆柱容球
著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，
“圆柱容球”定理
这是我生平最得意的定理！
例题：(1)已知球的直径为2,求它的表面积和体积;
解：
解：，得，
则
解：，得，
则
(3)已知球的体积为,求它的表面积.
(2)已知球的大圆周长为16cm,求这个球的表面积.
思考：(1)球的半径变为原来的2倍，则体积变为原来的 倍.
(2)球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍.
(3)两球的体积之比是8︰27，则其表面积之比是 .
8
4:9
(4)一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是多少？
解：因为，即，所以
解：因为，所以
变式：已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，且AB=3，则球O的表面积为____.
解：，
所以
一、球的表面积与体积：球的半径为
球的表面积：.
球的体积：