初中数学（通用版）九年级历年中考常考知识点综合练习题03（精华）
文档属性
| 名称 | 初中数学（通用版）九年级历年中考常考知识点综合练习题03（精华） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-18 09:24:47 | ||
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文档简介
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初中数学（通用版）九年级历年中考常考知识点综合练习题03（精华）
一、单选题
1．平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴上，，，且斜边轴．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=2019-(x-m)(x-n)，并且a，b是方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n< p=""> <> B．m＜a＜n＜b< p=""> <>
C．a＜m＜b＜n< p=""> <> D．a＜m＜n＜b< p=""> <>
5． 二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列结论；；若方程有两根为和，且，则，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
6．二次函数 （ ， ， 为常数， ）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为 ，与 轴的一个交点在点 和点 之间，给出的四个结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 时，方程 有解
三、填空题
7．如图，点P把线段的黄金分割点，且.如果，那么 （结果保留一位小数）.
8．化简： ．
9．如图，在菱形中，，则的度数为 ．
10．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为
11．如图所示．在矩形中，，则 度．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则点A2 018的横坐标是 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 ，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 .
四、计算题
14．解方程：
15．用配方法解方程：．
16．计算：8a6÷2a2+4a3 2a﹣（3a2）2
17．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
18．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
五、解答题
19．随着人民生活水平的不断提高，某小区家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，这个小区2010年底拥有家庭轿车144辆，2012年底家庭轿车的拥有量达到225辆.
（1）若该小区2010年底到2012年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2013年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
20．如图，，与相交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0 的一个根，求m的值及另一个根．
22．一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证： ．
23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
24．如图所示，圆O为△ABC的外接圆，AM，AT分别为中线和角平分线，过点B和点C的圆O的切线相交于点P，连结AP，与BC和圆O分别相交于点D、E.
求证：点T是△AME的内心。
六、作图题
25．已知抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交下点 ，请仅用无刻度直尺按要求作图：
（1）在图1中，直线 为对称轴，请画出点 关于直线 的对称点；
（2）在图2中，若 轴，请画出抛物线的对称轴.
26．在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图.
（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；
（2）在AB上找点F，使∠CFA＝∠DFB；
（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC.[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中].
七、综合题
27．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
28．如图，抛物线W与x轴交于A(1，0)，M(﹣3，0)两点，交y轴于点B(0，3)，抛物线W关于y轴的对称图形为抛物线L.
（1）求抛物线W的表达式；
（2）如果E是点A关于原点的对称点，D是抛物线L的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△EBO是相似三角形？若存在，求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由.
29．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数.摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球.
（1）用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
（2）求乒乓球球面上的数之和是正数的概率.
30．（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
31．如图1， 中， ， ， 为 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ，点 的对应点分别为点 ，且 三点在同一直线上.
（1）填空： （用含 的代数式表示）；
（2）如图2，若 ，请补全图形，再过点 作 于点 ，然后探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若 ， ，直接写出四边形 面积的最大值 .
32．已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
（1）求，的值；
（2）分别求出直线和的解析式；
（3）若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
33．某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完.实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天 第二天 第三天
销售单价（元） 10 10-x 4
销售数量（个） 200 余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
八、实践探究题
34．综合与探究
如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标；
（3）已知点在抛物线上，求时的点坐标；
（4）已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标．
35．把两个等腰直角三角形和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．
（1）特例问题：如图①，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，点D在内部，若，，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：B.
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此求解．
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，且斜边轴，比例函数的图象恰好经过的中点D，
∴，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：，
故答案为：C；
【分析】根据反比例函数的性质，结合勾股定理求解。根据轴得到点坐标，结合中点得到点坐标，在利用勾股定理求解；
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：D.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵- (x-m)(x-n)=0 ，解得x1=m，x2=n，
∵a，b是方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根 ，∴x1=a，x2=b，
函数y=2019-(x-m)(x-n)图象是由y=-(x-m)(x-n)向上平移得到的，
如图所示，若m＜n，a＜b，
∴a＜m＜n＜b.
故答案为：D.
【分析】先求出- (x-m)(x-n)=0 的根x1=m，x2=n，方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根是x1=a，x2=b，而函数y=2019-(x-m)(x-n)图象是由y=-(x-m)(x-n)向上平移得到的，若m＜n，a＜b，利用函数图象即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故错误，
抛物线的顶点为：，
，，
，，
抛物线为：，
抛物线与轴的交点坐标为：，，
当时，，故错误，
方程的解可看作抛物线与直线的交点，如图，
，故正确，
故选：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
6．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的负半轴，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，即 ，故A不符合题意；
由图象可知， 时， ，
∴ ，故B符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，故C符合题意；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，
∴ （ 为任意实数），即 时，方程 有解．故D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】A.根据抛物线与X周有两个交点，可知 ，
B.根据 时， ，可判断；
C.根据对称轴 ，即可判断；
D.根据抛物线的顶点坐标为（2，1），函数有最大值，即可判断。
7．【答案】1.2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴，
∴==≈
故答案为：1.2.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程，求解即可.
8．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ．
故填： ．
【分析】根据分式的基本性质化简求值即可。
9．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=40°，CD=CB，
∴∠CBD= =70°.
故答案为：70°.
【分析】根据菱形的性质可得∠A=∠C=40°，CD=CB，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可得到∠CBD的度数.
10．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴a-1=3，
解得：a=4
故答案为：4.
【分析】根据同类二次根式，可得a-1=3，即可求解．
11．【答案】120
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等，且互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：120．
【分析】根据题意先求出，再求出是等边三角形，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由直线l： 与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0， ），
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝ ，
即A1的横坐标为 ，
由题意可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝ ，
即A2的横坐标为 ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝
即A3的横坐标为 ，
同理可得，A4的横坐标为 ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A2018的横坐标是 ，
故答案为
【分析】先根据直线l： 与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1＝1，∠OB1D＝30°，再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为 ，A2的横坐标为 ，A3的横坐标为 ，An的横坐标为 ，据此可得点A2018的横坐标.
13．【答案】3或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝ ，AC＝2，
∴tanB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F
∴DB＝DC＝ ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，cosB＝ ，
∴BF＝ cos30°＝ ，
∴EF＝ ﹣（4﹣x）＝x﹣ ，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即4﹣x＝2（x﹣ ），解得x＝3，此时AE为3；
若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝ B′E＝ （4﹣x），EH＝ B′H＝ （4﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴ （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2＝x2，解得x＝ ，此时AE为 .
综上所述，AE的长为3或 .
故答案为：3或 .
【分析】利用解直角三角形求出∠B的度数，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长；利用折叠的性质可求出DB，DC的长，同时可证得EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°；设AE＝x，可表示出BE，EB′的长，利用解直角三角形可表示出EF的长，同时可证得EB′＝2EF，得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，利用HL可证得Rt△ADB′≌Rt△ADC，利用全等三角形的性质可求出AB′的长，利用解直角三角形表示出B′H，EH的长，利用勾股定理可得到关于x的方程求出x的值，可求出AE的长.
14．【答案】解：方程两边同乘 ，得 ，
移项及合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】将分式方程化为整式方程求出 ， 再检验求解即可。
15．【答案】解：，
移项得，，
两边加4得，，
配方得，
两边开平方得，，
或
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+2)2=7，接下来利用直接开平方法进行计算即可.
16．【答案】解：原式＝4a4+8a4﹣9a4＝3a4.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先同时计算除法、乘法、乘方，再合并同类项.
17．【答案】（1）解：）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k的最大值为 ．
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= 中，找出最大值即可．
18．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先由A点和D点坐标求出AD=4 ；再根据正方形的性质和A点坐标得出答案。
（2）由点P在抛物线上可设点P（m，m2+2m）， 当四边形PEOF 是正方形时，PE=PF，再由P点在第二象限 可得P点的纵横坐标互为相反数；据此列方程求出m即可得到正方形PEOF的边长；
（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则点E（m，0），F（0，m2+2m）， 由E为抛物线顶点可得抛物线解析式为y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得 ；由点P 在正方形ABCD 内部，得 -1＜ m ＜ 1，且 .最后根据 反比例函数性质分①当 -1 ＜ m ＜ 0 时②当 0＜ m ＜1 时两种情况讨论即可得出答案。
19．【答案】（1）解：设每年的平均增长率为x，144(1+x)=225，x=1/4或x=-9/4(舍去)
225×(1+1/4)=281
（2）解：设可建室内车位a个，露天车位b个，
3a≤b≤4.5a
6000a+2000b=250000≤a≤
三种方案：a=17，b=74；a=18，b=71；a=19，b=68；a=20，b=65
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的实际应用，2010年的家庭轿车数量×（1+x）=2011年的家庭轿车数量，解方程即可；
（2）根据题意，可知露天停车位的范围；根据每个车位费×车位数=总费用，可列一元二次方程，进而求出室内停车位的取值范围；分类讨论即可得到不同的分配方案.
20．【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ∵AB∥CD，CD=1，BD=2，AB=3，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE=3DE，
∴AD=DE+3DE=4DE，
∵∠A=∠CBD，∠BDE=∠ADB，
∴△ABD∽△BED，
∴，
∴AD DE=BD2=22=4，
∴4DE2=4，
解得DE=1或DE=-1（不符合题意，舍去），
∴DE的长是1．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再化简可得；
（2）先证出△ABE∽△DCE，可得，再求出AD=DE+3DE=4DE，再证出△ABD∽△BED，可得AD DE=BD2=22=4， 将数据代入可得 4DE2=4， 最后求出DE的长即可.
21．【答案】解：将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，
解得：m=2．
当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，
∴x1=﹣1，x2=2，
∴方程的另一个根为2．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=-1代入方程求出m的值，在利用因式分解法求解一元二次方程即可。
22．【答案】解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ，∴ × × = × × =1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
23．【答案】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。
（2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。
24．【答案】证明：作CF⊥AB，垂足为F，连结MF，如图，
则FM= BC=MC，
又∵∠BAC=∠BCP，
∴
∴ 又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP，
∴△AFM∽△ACP，故∠BAM=∠CAP.
由于M是BC的中点，所以，连结PO，它过点M，且OP⊥BC.连结OA，OC，OE，如下图：
由切割线定理及摄影定理，得
∴M、O、A、E四点共圆，
∴∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME，故∠AMD=∠EMD.
所以，点T是三角形AME的内心。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 作CF⊥AB，垂足为F，连结MF，如图， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 FM= BC=MC ，根据弦切角相等、等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 ，根据等角的补角相等得出 ∠AFM= ∠ACP， 从而判断出 △AFM∽△ACP，根据相似三角形的对应角相等得出∠BAM=∠CAP ； 由于M是BC的中点，所以，连结PO，它过点M，且OP⊥BC.连结OA，OC，OE，如下图 ， 由切割线定理及摄影定理，得 从而根据四点共圆的条件判断出 M、O、A、E四点共圆，所以∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME，故∠AMD=∠EMD，故点T是三角形AME的内心。
25．【答案】（1）解：如图1，点 即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图2，直线 即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图象的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB，AD交于一点，连接AC，BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.
26．【答案】（1）解：如图1，点D为所作
（2）解：如图1，点F为所作；
（3）解：如图2，点M、N为所作.
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；作图-角；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）取格点E使AE=AC=5，作出AE的中点P，连接AP，利用等腰三角形的性质可得 AP平分∠BAC，延长AP交BC于一点，即为点D；
（2）取点C关于AB的对称点Q，连接DQ交AB于F，利用对称得到∠CFA＝∠QFA，由对顶角相等得出∠DFB=∠QFA，从而得出∠CFA＝∠DFB ；
（3）根据平行分线段成比例，平行格线与线段BC的交点即为点M、N.
27．【答案】（1）函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m，
若这个函数是二次函数，则m2-m≠0，解得：m≠0且m≠1。
（2）若这个函数是一次函数，则m2-m=0，m-1≠0，解得m=0.
（3）这个函数不可能是正比例函数，
∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2-2m≠0.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不为零，二次项的系数等于0，列出混合组，求解得出m的值。
28．【答案】（1）解：∵抛物线W与x轴交于A（1，0），M（﹣3，0）两点，
∴设y＝a（x﹣1）（x+3），代入点B（0，3），
得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：存在符合条件的P点，如下图，
求解过程如下：
由（1）知W的顶点为（﹣1，4），得L的顶点D（1，4），
∵E是点A关于原点的对称点，A（1，0），
∴E（﹣1，0），
综上可知，OE=1，BO=3，AD=4，
设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=，
若△PAD∽△EBO，
则 ，
则 ，解得m＝或m＝，
∴P1（，0）或P2（，0），
若△DPA∽△EBO，
则，
则 ，解得m＝13或﹣11，
∴P3（﹣11，0）或P4（13，0），
综上，P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设y＝a(x-1)(x+3)，将B（0，3）代入可得a的值，据此可得抛物线W的表达式；
（2）由（1）知W的顶点为（-1，4），得L的顶点D（1，4），根据关于原点对称的点的坐标特征可得E（-1，0），则OE=1，BO=3，AD=4，设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=|m-1|，然后分△PAD∽△EBO、△DPA∽△EBO，利用相似三角形的性质求出m的值，进而可得点P的坐标.
29．【答案】（1）解：根据题意，画树状图如下：
（2）解：如图所示，
共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种，
∴概率为.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图即可；
（2）根据树状图可知共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种，从而根据概率公式即可算出答案.
30．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
∵，
∴原式.
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）通分计算括号中的异分母分式的减法，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入进行计算.
31．【答案】（1）
（2）解：
理由如下：如图2中，
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到
， ，
是等边三角形，且
.
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到
，
.
故答案为： ；
（3）如图3中，过点 作 交 的延长线于 ，设 交 于 .
绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，
，
，
，
，
点 在以 为直径的圆上运动，即图中 上运动，当 时，四边形 的面积最大，此时 ，
， ，
，
，
，
，
，
，设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=，即可得结果；
（2）由旋转的性质可得AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，可证△CDE是等边三角形，由等边的三角形的性质可得 可得结果；
（3）如图3中，过点C作CF⊥BE交BE的延长线于F，设AE交BC于J．证明∠ACJ＝∠BEJ＝90°，推出点E在以AB为直径的圆上运动，即图中 上运动，当 时，四边形 的面积最大，此时 ，分别求出△ABC，△BCE的面积即可解决问题．
32．【答案】（1）解：由，得，．
，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）解：由可得，
当时，，
．
设：，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）解：假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
，
∽，
，即．
解得．
点的纵坐标是，
点在直线上，
，解得，
，同理可求．
当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由∽，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
，
．
结合图形可知，，，
，
是，
也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即或或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 由，令y=0求出x值，即得A、B的坐标，再将A、B坐标代入抛物线解析式中，即可求出a、b的值；
（2）利用待定系数法分别求出直线解析式即可；
（3） 假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为． 分两种情况 当为腰时， 分别过点，作轴于，作轴于， 则和都是等腰直角三角形， 再证∽，利用相似三角形的性质求出m值，然后求出点D的纵坐标，即得点P的坐标； 当为底边时， 过的中点作轴于点， 同理求解即可.
33．【答案】（1）解：∵产品每降低1元，可多售出50个，
∴第2天的销售量为200+50x，
故答案为：50x+200；
（2）解：根据题意得：y＝200×（10-6）+（10-6-x）（50x+200）+（4-6）[600-200-（50x+200）]
＝800+（4-x）（50x+200）-2（200-50x）
＝-50x2+100x+1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝-50x2+100x+1200；
（3）解：根据题意得：200-50x≤ （200+50x+200），
解得x≥2，
又∵0＜x＜4，
∴2≤x＜4，
由（2）知，y＝-50x2+100x+1200＝-50（x-1）2+1250，
∵-50＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最大，最大值为1200，
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1200元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 该产品每降低1元，可多售出50个 ”， 设第二天的销售单价降低x元 ，则可多销售50x个，用原来每天的销售数量+因为降价多销售的数量即可得出答案；
（2）根据单个的利润乘以销售数量等于总利润及第一天的销售总利润+第二天的销售总利润+第三天的销售总利润=销售完这批冬奥纪念品的总利润，即可建立出y与x的函数关系式；
（3）根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，建立不等式，结合 0＜x＜4求解可得x的取值范围，然后根据二次函数的性质即可解决问题.
34．【答案】（1）解：将，代入得：
，解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，连结与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，
直线为，
当时，，
点的坐标为．
（3）解：在中，令得，解得或，
，，
，
，
，解得或，
当时，，解得，，
或，
当时，，解得，，
，
综上所述，的坐标为：或或
（4）解：坐标为或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（4）解：设，，，，
当、为对角线时，如图：
此时、的中点重合，
，解得，，
；
当、为对角线，如图：
，解得，，
；
当、为对角线，如图：
，解得，，
，
综上所述，坐标为或或．
【分析】（1）将点B、C的坐标带入抛物线表达式，即可求解；
（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴于点D，则点D为所求点，即可求解；
（3）设M（x，y），根据求出点M的纵坐标，即可求解；
（4）分AB是平行四边形的边，AB是平行四边形的对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式即可求解.
35．【答案】（1）；
（2）解：成立．
证明：由旋转的性质，得．
∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，．
延长交于点F，交于点G．
∵，
∴．
（3）解：将绕点C逆时针旋转到，连接．
由旋转的性质，得，，，
，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，
即AD=BE，
∵∠C=90°，
∴AD⊥BE；
故第1空答案为：AD=BE；第2空答案为：AD⊥BE；
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质知AC=BC，DC=EC，∠C=90°，从而得出AD=BE，AD⊥BE；
（2） 成立．延长交于点F，交于点G ，首先可以根据SAS证明 ， 进而得出 ，，然后根据三角形内角和定理可得出∠BFG=∠ACG=90°，即AD⊥BE；
（3） 将绕点C逆时针旋转到，连接 ，由旋转的性质知： ，，，，，然后根据勾股定理可求得DE=2，∠DEB=90°，进而 在中， 根据勾股定理即可求得BD的长度。
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初中数学（通用版）九年级历年中考常考知识点综合练习题03（精华）
一、单选题
1．平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C，A分别在x轴，y轴上，，，且斜边轴．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=2019-(x-m)(x-n)，并且a，b是方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n< p=""> <> B．m＜a＜n＜b< p=""> <>
C．a＜m＜b＜n< p=""> <> D．a＜m＜n＜b< p=""> <>
5． 二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列结论；；若方程有两根为和，且，则，其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
6．二次函数 （ ， ， 为常数， ）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为 ，与 轴的一个交点在点 和点 之间，给出的四个结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 时，方程 有解
三、填空题
7．如图，点P把线段的黄金分割点，且.如果，那么 （结果保留一位小数）.
8．化简： ．
9．如图，在菱形中，，则的度数为 ．
10．若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为
11．如图所示．在矩形中，，则 度．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则点A2 018的横坐标是 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 ，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 .
四、计算题
14．解方程：
15．用配方法解方程：．
16．计算：8a6÷2a2+4a3 2a﹣（3a2）2
17．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
18．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线 经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
五、解答题
19．随着人民生活水平的不断提高，某小区家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，这个小区2010年底拥有家庭轿车144辆，2012年底家庭轿车的拥有量达到225辆.
（1）若该小区2010年底到2012年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2013年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的4.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
20．如图，，与相交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
21．若x=﹣1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0 的一个根，求m的值及另一个根．
22．一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证： ．
23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
24．如图所示，圆O为△ABC的外接圆，AM，AT分别为中线和角平分线，过点B和点C的圆O的切线相交于点P，连结AP，与BC和圆O分别相交于点D、E.
求证：点T是△AME的内心。
六、作图题
25．已知抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交下点 ，请仅用无刻度直尺按要求作图：
（1）在图1中，直线 为对称轴，请画出点 关于直线 的对称点；
（2）在图2中，若 轴，请画出抛物线的对称轴.
26．在10×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（6，3），C（4，6）仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图.
（1）在CB上找点D，使AD平分∠BAC；
（2）在AB上找点F，使∠CFA＝∠DFB；
（3）在BC上找点M、N，使BM＝MN＝NC.[（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中].
七、综合题
27．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
28．如图，抛物线W与x轴交于A(1，0)，M(﹣3，0)两点，交y轴于点B(0，3)，抛物线W关于y轴的对称图形为抛物线L.
（1）求抛物线W的表达式；
（2）如果E是点A关于原点的对称点，D是抛物线L的顶点，那么在x轴上是否存在点P，使得△PAD与△EBO是相似三角形？若存在，求出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由.
29．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数.摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球.
（1）用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
（2）求乒乓球球面上的数之和是正数的概率.
30．（1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
31．如图1， 中， ， ， 为 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ，点 的对应点分别为点 ，且 三点在同一直线上.
（1）填空： （用含 的代数式表示）；
（2）如图2，若 ，请补全图形，再过点 作 于点 ，然后探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若 ， ，直接写出四边形 面积的最大值 .
32．已知抛物线与轴相交于点，，且，是方程的两个实数根，点为抛物线与轴的交点．
（1）求，的值；
（2）分别求出直线和的解析式；
（3）若动直线与线段，分别相交于，两点，则在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
33．某商店购进了600个冬奥纪念品，进价每个6元，原计划以每个10元的价格每天销售200个，三天可以售完.实际销售中，销售价格与销售数量都有变化，市场调研显示，该产品每降低1元，可多售出50个，设第二天的销售单价降低x元（0＜x＜4），这批旅游纪念品三天的销售总利润为y元，三天的销售情况如表：请解决以下问题：
第一天 第二天 第三天
销售单价（元） 10 10-x 4
销售数量（个） 200 余量全部售出
（1）用含x的代数式表示第二天的销售数量；
（2）求这批旅游纪念品三天的销售总利润y关于x的函数表达式；
（3）若第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，求这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是多少？
八、实践探究题
34．综合与探究
如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标；
（3）已知点在抛物线上，求时的点坐标；
（4）已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标．
35．把两个等腰直角三角形和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．
（1）特例问题：如图①，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，点D在内部，若，，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：B.
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此求解．
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，且斜边轴，比例函数的图象恰好经过的中点D，
∴，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：，
故答案为：C；
【分析】根据反比例函数的性质，结合勾股定理求解。根据轴得到点坐标，结合中点得到点坐标，在利用勾股定理求解；
3．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得：，
解得：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：D.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵- (x-m)(x-n)=0 ，解得x1=m，x2=n，
∵a，b是方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根 ，∴x1=a，x2=b，
函数y=2019-(x-m)(x-n)图象是由y=-(x-m)(x-n)向上平移得到的，
如图所示，若m＜n，a＜b，
∴a＜m＜n＜b.
故答案为：D.
【分析】先求出- (x-m)(x-n)=0 的根x1=m，x2=n，方程2019-(x-m)(x-n)=0的两个根是x1=a，x2=b，而函数y=2019-(x-m)(x-n)图象是由y=-(x-m)(x-n)向上平移得到的，若m＜n，a＜b，利用函数图象即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故错误，
抛物线的顶点为：，
，，
，，
抛物线为：，
抛物线与轴的交点坐标为：，，
当时，，故错误，
方程的解可看作抛物线与直线的交点，如图，
，故正确，
故选：．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
6．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的负半轴，
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，即 ，故A不符合题意；
由图象可知， 时， ，
∴ ，故B符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，故C符合题意；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，
∴ （ 为任意实数），即 时，方程 有解．故D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】A.根据抛物线与X周有两个交点，可知 ，
B.根据 时， ，可判断；
C.根据对称轴 ，即可判断；
D.根据抛物线的顶点坐标为（2，1），函数有最大值，即可判断。
7．【答案】1.2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴，
∴==≈
故答案为：1.2.
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，据此列出方程，求解即可.
8．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ．
故填： ．
【分析】根据分式的基本性质化简求值即可。
9．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=40°，CD=CB，
∴∠CBD= =70°.
故答案为：70°.
【分析】根据菱形的性质可得∠A=∠C=40°，CD=CB，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可得到∠CBD的度数.
10．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴a-1=3，
解得：a=4
故答案为：4.
【分析】根据同类二次根式，可得a-1=3，即可求解．
11．【答案】120
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等，且互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：120．
【分析】根据题意先求出，再求出是等边三角形，最后计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由直线l： 与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0， ），
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝ ，
即A1的横坐标为 ，
由题意可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝ ，
即A2的横坐标为 ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝
即A3的横坐标为 ，
同理可得，A4的横坐标为 ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A2018的横坐标是 ，
故答案为
【分析】先根据直线l： 与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1＝1，∠OB1D＝30°，再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为 ，A2的横坐标为 ，A3的横坐标为 ，An的横坐标为 ，据此可得点A2018的横坐标.
13．【答案】3或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝ ，AC＝2，
∴tanB＝ ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F
∴DB＝DC＝ ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，cosB＝ ，
∴BF＝ cos30°＝ ，
∴EF＝ ﹣（4﹣x）＝x﹣ ，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即4﹣x＝2（x﹣ ），解得x＝3，此时AE为3；
若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝ B′E＝ （4﹣x），EH＝ B′H＝ （4﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴ （4﹣x）2+[ （4﹣x）+2]2＝x2，解得x＝ ，此时AE为 .
综上所述，AE的长为3或 .
故答案为：3或 .
【分析】利用解直角三角形求出∠B的度数，利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长；利用折叠的性质可求出DB，DC的长，同时可证得EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°；设AE＝x，可表示出BE，EB′的长，利用解直角三角形可表示出EF的长，同时可证得EB′＝2EF，得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AE的长；若B′不落在C点处，作EH⊥AB′于H，连接AD，利用HL可证得Rt△ADB′≌Rt△ADC，利用全等三角形的性质可求出AB′的长，利用解直角三角形表示出B′H，EH的长，利用勾股定理可得到关于x的方程求出x的值，可求出AE的长.
14．【答案】解：方程两边同乘 ，得 ，
移项及合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】将分式方程化为整式方程求出 ， 再检验求解即可。
15．【答案】解：，
移项得，，
两边加4得，，
配方得，
两边开平方得，，
或
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+2)2=7，接下来利用直接开平方法进行计算即可.
16．【答案】解：原式＝4a4+8a4﹣9a4＝3a4.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先同时计算除法、乘法、乘方，再合并同类项.
17．【答案】（1）解：）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）解：∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k的最大值为 ．
【知识点】因式分解的应用；二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= 中，找出最大值即可．
18．【答案】（1） ( ， )；
（2）设点 ( ， ).
当四边形 是正方形时， ，
当点 在第二象限时，有 .
解得 ， .
∵ ，
∴ .
∴正方形 的边长为 .
（3）设点 ( ， )，则点E（ ， ），则点F( ， ).
∵ 为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ，
∴ ，化简得 .
对于 ，令 ，解得 ； 令 ，解得 .
∵点 在正方形 内部，
∴ ＜ ＜ ，且 .
①当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＜ .
②当 ＜ ＜ 时
由反比例函数性质知 ，∴ ＞ .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先由A点和D点坐标求出AD=4 ；再根据正方形的性质和A点坐标得出答案。
（2）由点P在抛物线上可设点P（m，m2+2m）， 当四边形PEOF 是正方形时，PE=PF，再由P点在第二象限 可得P点的纵横坐标互为相反数；据此列方程求出m即可得到正方形PEOF的边长；
（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则点E（m，0），F（0，m2+2m）， 由E为抛物线顶点可得抛物线解析式为y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得 ；由点P 在正方形ABCD 内部，得 -1＜ m ＜ 1，且 .最后根据 反比例函数性质分①当 -1 ＜ m ＜ 0 时②当 0＜ m ＜1 时两种情况讨论即可得出答案。
19．【答案】（1）解：设每年的平均增长率为x，144(1+x)=225，x=1/4或x=-9/4(舍去)
225×(1+1/4)=281
（2）解：设可建室内车位a个，露天车位b个，
3a≤b≤4.5a
6000a+2000b=250000≤a≤
三种方案：a=17，b=74；a=18，b=71；a=19，b=68；a=20，b=65
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的实际应用，2010年的家庭轿车数量×（1+x）=2011年的家庭轿车数量，解方程即可；
（2）根据题意，可知露天停车位的范围；根据每个车位费×车位数=总费用，可列一元二次方程，进而求出室内停车位的取值范围；分类讨论即可得到不同的分配方案.
20．【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ∵AB∥CD，CD=1，BD=2，AB=3，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴AE=3DE，
∴AD=DE+3DE=4DE，
∵∠A=∠CBD，∠BDE=∠ADB，
∴△ABD∽△BED，
∴，
∴AD DE=BD2=22=4，
∴4DE2=4，
解得DE=1或DE=-1（不符合题意，舍去），
∴DE的长是1．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再化简可得；
（2）先证出△ABE∽△DCE，可得，再求出AD=DE+3DE=4DE，再证出△ABD∽△BED，可得AD DE=BD2=22=4， 将数据代入可得 4DE2=4， 最后求出DE的长即可.
21．【答案】解：将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，
解得：m=2．
当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，
∴x1=﹣1，x2=2，
∴方程的另一个根为2．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=-1代入方程求出m的值，在利用因式分解法求解一元二次方程即可。
22．【答案】解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ，∴ × × = × × =1
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
23．【答案】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。
（2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。
24．【答案】证明：作CF⊥AB，垂足为F，连结MF，如图，
则FM= BC=MC，
又∵∠BAC=∠BCP，
∴
∴ 又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP，
∴△AFM∽△ACP，故∠BAM=∠CAP.
由于M是BC的中点，所以，连结PO，它过点M，且OP⊥BC.连结OA，OC，OE，如下图：
由切割线定理及摄影定理，得
∴M、O、A、E四点共圆，
∴∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME，故∠AMD=∠EMD.
所以，点T是三角形AME的内心。
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 作CF⊥AB，垂足为F，连结MF，如图， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 FM= BC=MC ，根据弦切角相等、等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 ，根据等角的补角相等得出 ∠AFM= ∠ACP， 从而判断出 △AFM∽△ACP，根据相似三角形的对应角相等得出∠BAM=∠CAP ； 由于M是BC的中点，所以，连结PO，它过点M，且OP⊥BC.连结OA，OC，OE，如下图 ， 由切割线定理及摄影定理，得 从而根据四点共圆的条件判断出 M、O、A、E四点共圆，所以∠OMA=∠OEA=∠OAE=∠PME，故∠AMD=∠EMD，故点T是三角形AME的内心。
25．【答案】（1）解：如图1，点 即为所求（画法不唯一）；
（2）解：如图2，直线 即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用画对称轴的作图技巧，连接CB交于对称轴一点，再连接A点与此点，与函数图象的交点即对称点，（2）用无刻度直尺连接CB，AD交于一点，连接AC，BD并延长交于一点，再连接这两点，此线即直线m.
26．【答案】（1）解：如图1，点D为所作
（2）解：如图1，点F为所作；
（3）解：如图2，点M、N为所作.
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；作图-角；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）取格点E使AE=AC=5，作出AE的中点P，连接AP，利用等腰三角形的性质可得 AP平分∠BAC，延长AP交BC于一点，即为点D；
（2）取点C关于AB的对称点Q，连接DQ交AB于F，利用对称得到∠CFA＝∠QFA，由对顶角相等得出∠DFB=∠QFA，从而得出∠CFA＝∠DFB ；
（3）根据平行分线段成比例，平行格线与线段BC的交点即为点M、N.
27．【答案】（1）函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m，
若这个函数是二次函数，则m2-m≠0，解得：m≠0且m≠1。
（2）若这个函数是一次函数，则m2-m=0，m-1≠0，解得m=0.
（3）这个函数不可能是正比例函数，
∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2-2m≠0.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不为零，二次项的系数等于0，列出混合组，求解得出m的值。
28．【答案】（1）解：∵抛物线W与x轴交于A（1，0），M（﹣3，0）两点，
∴设y＝a（x﹣1）（x+3），代入点B（0，3），
得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：存在符合条件的P点，如下图，
求解过程如下：
由（1）知W的顶点为（﹣1，4），得L的顶点D（1，4），
∵E是点A关于原点的对称点，A（1，0），
∴E（﹣1，0），
综上可知，OE=1，BO=3，AD=4，
设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=，
若△PAD∽△EBO，
则 ，
则 ，解得m＝或m＝，
∴P1（，0）或P2（，0），
若△DPA∽△EBO，
则，
则 ，解得m＝13或﹣11，
∴P3（﹣11，0）或P4（13，0），
综上，P的坐标为P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设y＝a(x-1)(x+3)，将B（0，3）代入可得a的值，据此可得抛物线W的表达式；
（2）由（1）知W的顶点为（-1，4），得L的顶点D（1，4），根据关于原点对称的点的坐标特征可得E（-1，0），则OE=1，BO=3，AD=4，设P（m，0），则∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=|m-1|，然后分△PAD∽△EBO、△DPA∽△EBO，利用相似三角形的性质求出m的值，进而可得点P的坐标.
29．【答案】（1）解：根据题意，画树状图如下：
（2）解：如图所示，
共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种，
∴概率为.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图即可；
（2）根据树状图可知共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种，从而根据概率公式即可算出答案.
30．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
∵，
∴原式.
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）通分计算括号中的异分母分式的减法，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将a的值代入进行计算.
31．【答案】（1）
（2）解：
理由如下：如图2中，
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到
， ，
是等边三角形，且
.
（3）
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到
，
.
故答案为： ；
（3）如图3中，过点 作 交 的延长线于 ，设 交 于 .
绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，
，
，
，
，
点 在以 为直径的圆上运动，即图中 上运动，当 时，四边形 的面积最大，此时 ，
， ，
，
，
，
，
，
，设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=，即可得结果；
（2）由旋转的性质可得AD=BE，CD=CE，∠DCE=60°，可证△CDE是等边三角形，由等边的三角形的性质可得 可得结果；
（3）如图3中，过点C作CF⊥BE交BE的延长线于F，设AE交BC于J．证明∠ACJ＝∠BEJ＝90°，推出点E在以AB为直径的圆上运动，即图中 上运动，当 时，四边形 的面积最大，此时 ，分别求出△ABC，△BCE的面积即可解决问题．
32．【答案】（1）解：由，得，．
，，
把，两点的坐标分别代入联立求解，
得，．
（2）解：由可得，
当时，，
．
设：，把，两点坐标分别代入，联立求得，．
直线的解析式为．
同理可求得直线的解析式是．
（3）解：假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为．
当为腰时，分别过点，作轴于，作轴于，如图，
则和都是等腰直角三角形，，．
，
∽，
，即．
解得．
点的纵坐标是，
点在直线上，
，解得，
，同理可求．
当为底边时，
过的中点作轴于点，如图，
则，
由∽，
得，即，
解得．
同方法．求得，，
，
．
结合图形可知，，，
，
是，
也满足条件．
综上所述，满足条件的点共有个，即或或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 由，令y=0求出x值，即得A、B的坐标，再将A、B坐标代入抛物线解析式中，即可求出a、b的值；
（2）利用待定系数法分别求出直线解析式即可；
（3） 假设存在满足条件的点，并设直线与轴的交点为． 分两种情况 当为腰时， 分别过点，作轴于，作轴于， 则和都是等腰直角三角形， 再证∽，利用相似三角形的性质求出m值，然后求出点D的纵坐标，即得点P的坐标； 当为底边时， 过的中点作轴于点， 同理求解即可.
33．【答案】（1）解：∵产品每降低1元，可多售出50个，
∴第2天的销售量为200+50x，
故答案为：50x+200；
（2）解：根据题意得：y＝200×（10-6）+（10-6-x）（50x+200）+（4-6）[600-200-（50x+200）]
＝800+（4-x）（50x+200）-2（200-50x）
＝-50x2+100x+1200，
∴y关于x的函数表达式为y＝-50x2+100x+1200；
（3）解：根据题意得：200-50x≤ （200+50x+200），
解得x≥2，
又∵0＜x＜4，
∴2≤x＜4，
由（2）知，y＝-50x2+100x+1200＝-50（x-1）2+1250，
∵-50＜0，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，y最大，最大值为1200，
答：这批旅游纪念品三天的销售总利润的最大值是1200元.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 该产品每降低1元，可多售出50个 ”， 设第二天的销售单价降低x元 ，则可多销售50x个，用原来每天的销售数量+因为降价多销售的数量即可得出答案；
（2）根据单个的利润乘以销售数量等于总利润及第一天的销售总利润+第二天的销售总利润+第三天的销售总利润=销售完这批冬奥纪念品的总利润，即可建立出y与x的函数关系式；
（3）根据第三天销售数量不超过前两天销售数量之和的，建立不等式，结合 0＜x＜4求解可得x的取值范围，然后根据二次函数的性质即可解决问题.
34．【答案】（1）解：将，代入得：
，解得，，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，连结与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，
直线为，
当时，，
点的坐标为．
（3）解：在中，令得，解得或，
，，
，
，
，解得或，
当时，，解得，，
或，
当时，，解得，，
，
综上所述，的坐标为：或或
（4）解：坐标为或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】（4）解：设，，，，
当、为对角线时，如图：
此时、的中点重合，
，解得，，
；
当、为对角线，如图：
，解得，，
；
当、为对角线，如图：
，解得，，
，
综上所述，坐标为或或．
【分析】（1）将点B、C的坐标带入抛物线表达式，即可求解；
（2）点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴于点D，则点D为所求点，即可求解；
（3）设M（x，y），根据求出点M的纵坐标，即可求解；
（4）分AB是平行四边形的边，AB是平行四边形的对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式即可求解.
35．【答案】（1）；
（2）解：成立．
证明：由旋转的性质，得．
∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，．
延长交于点F，交于点G．
∵，
∴．
（3）解：将绕点C逆时针旋转到，连接．
由旋转的性质，得，，，
，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AC=BC，DC=EC，
∴AC-DC=BC-EC，
即AD=BE，
∵∠C=90°，
∴AD⊥BE；
故第1空答案为：AD=BE；第2空答案为：AD⊥BE；
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质知AC=BC，DC=EC，∠C=90°，从而得出AD=BE，AD⊥BE；
（2） 成立．延长交于点F，交于点G ，首先可以根据SAS证明 ， 进而得出 ，，然后根据三角形内角和定理可得出∠BFG=∠ACG=90°，即AD⊥BE；
（3） 将绕点C逆时针旋转到，连接 ，由旋转的性质知： ，，，，，然后根据勾股定理可求得DE=2，∠DEB=90°，进而 在中， 根据勾股定理即可求得BD的长度。
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