陕西省西安市阎良区重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·阎良开学考）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．小明跑步的速度是30米/秒 B．冬冬一分钟跳绳66下
C．等腰三角形中有两边相等 D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6
【答案】B
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、 小明跑步的速度是30米/秒，是不可能事件，此选项不符合题意；
B、冬冬一分钟跳绳66下是随机事件，此选项符合题意；
C、等腰三角形中有两边相等是必然事件，此选项不符合题意；
D、任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一 一判断得出答案.
2．（2024九下·阎良开学考）下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为；C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合图形即可判断求解.
3．（2024九下·阎良开学考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+9=0的根，
∴12+m+9=0，
解得：m=-10.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可将x=1代入原方程可得关于m的方程，解方程即可求解.
4．（2024九下·阎良开学考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=88°，
∴∠ADC=∠AOC=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-44°=136°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠ADC=∠AOC，然后根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC=180°可求解.
5．（2024九下·阎良开学考）已知点在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中， k＜0，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质“当k＜0时，函数的图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，反比例函数y随x的增大而增大”可求解.
6．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．6 B． C．． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴AB=，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，
∴BC=DE=1，AD=AB=，∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
BD.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得BC=DE，AD=AB，∠BAD=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AB的值，在Rt△ABD中，用勾股定理即可求出BD的值.
7．（2024九下·阎良开学考）如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于点C，
由题意得；AB=16cm，CE=4cm，E为弧AB的中点，
∴OE⊥AB，AC=BC=AB=8cm，
设⊙O的半径为R，则OC=（R-4）cm，
在Rt△OAC中，OA2=AC2+OC2， 即R2=82+（R-4）2，
解得：R=10.
故答案为：A.
【分析】设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于点C，E为弧AB的中点，由垂径定理可得OE⊥AB，AC=BC=AB=8cm，设⊙O的半径为R，则OC=（R-4）cm，在Rt△OAC中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程即可求解.
8．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2ax-9经过（-3，m）和（5，m），
∴，
解得：a=1，m=7，
∴y=x2-2x-8=(x-1)2-9，
∵二次函数的二次项系数为1＞0，
∴函数有最低点，且最低点的坐标为 （1，-9）.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线经过两个点（-3，m）和（5，m），可得关于m、a的方程组，解方程组求出a及m的值，然后将二次函数的解析式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·阎良开学考）一元二次方程的根为 ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得：x2=4，
开平方得：x=±2，
∴原方程的根为：
x1=-2，x2=2.
故答案为：x1=-2，x2=2.
【分析】此方程缺一次项，故利用直接开平方法求解即可.
10．（2021·滨城模拟）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】九
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
【分析】设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，因为，得出，用公式即可得出正多边形的边数。
11．（2024九下·阎良开学考）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀，重复上述过程，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，则口袋中白球的个数可能是 ．
【答案】12
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，
∴摸到红色、黑色小球的概率分别为0.25和0.45，
∴ 红球的个数为：0.25×40=10个，黑球的个数为：0.45×40=18个 ，
∴白球的个数为：40-10-18=12个.
故答案为：12.
【分析】根据用频率估计概率并结合题意可知摸到红色、黑色小球的概率分别为0.25和0.45，根据频数等于样本容量×概率可求得红球和黑球的个数，然后用样本容量减去红球和黑球的个数即可求解.
12．（2024九下·阎良开学考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为轴于点，连接，反比例函数与的两条边分别交于两点，若点是的中点，连接，则的面积为 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥OB于E，
∵点D为OA的中点，AB⊥OB
∴DE∥AB，DE是三角形OAB的中位线，
∵点A（-8，6），
∴ED=AB=3，OE=OB=4，
即D（-4，3），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-4×3=-12，则，
∵AB⊥OB交反比例函数的图象于点C，
∴S△BOC=×|-12|=6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DE⊥OB于E，结合已知易得DE是三角形OAB的中位线，由三角形的中位线定理可求得点D的坐标，把点D的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，进而根据反比例函数k的几何意义可得△BOC的面积.
13．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是线段的中点，则长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵Rt△ACD中，AC=6，
∴CD=ACsin∠BAC=6×=3，
∵点E是A1C的中点，
∴CE=AC=3，
当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点C、E、D三点共线时DE最小，即PE最小，最小值=CD-CE=3-3.
故答案为：3-3.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出∠BAC的度数，由线段中点定义可得CE的值，解直角三角形ACD可求出CD的值，当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点C、E、D三点共线时DE最小，且最小值=CD-CE可求解.
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（2024九上·苍溪期末）解方程：．
【答案】解：，
整理得：，
这里，，，
∴，
∴，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先把一元二次方程转化为一般形式，然后用公式法求得方程的解即可。
15．（2024九下·阎良开学考）如图，为的直径，是上的一点，连接，若，求的长．（结果保留）
【答案】解：，
，
，
的长．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠BOC的度数，然后根据弧长公式L=计算即可求解.
16．（2024九下·阎良开学考）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若停止后指针指向分割线，则重新转）．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【答案】（1）解：当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是．
（2）解：当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域的共有3种结果，根据概率公式计算即可求解；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中均等指针指向的数小于或等于5的区域共有4种结果，根据概率公式计算即可求解.
17．（2024九下·阎良开学考）如图，是半圆的直径，是半圆的一条半径，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，点即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质可知：只需过点P作AB的平行线与圆O相交于点C，则点C即为所求.
18．（2024九下·阎良开学考）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．若，连接，求的度数．
【答案】解：，
．
绕点顺时针旋转得到，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，由旋转的性质可得∠DCE=∠ACB，CB=CE，然后由等边对等角和三角形内角和定理可求出∠CBE的度数.
19．（2024九下·阎良开学考）北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座1922星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为．
（1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的有12种，
所以小明和小亮选择不同模块的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）直接用概率公式计算即可求解；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的有12种，然后用概率公式计算即可求解.
20．（2024九下·阎良开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．
（1）以为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，点的对应点分别为；
（2）在（1）的条件下，写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：点B1的坐标为（1，3）.
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）中的作图即可求解.
21．（2024九下·阎良开学考）若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度．
【答案】（1）解：由题意得，
则，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，有，
解得，
注水的速度为50升/分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据工作总量=工作效率×工作时间可求解；
（2）由题意把t=24代入（1）中的解析式计算即可求解.
22．（2024九下·阎良开学考）陕西肉夹馍全国闻名，某小吃店平均每天可卖出150个肉夹馍，卖出1个肉夹馍的利润是6元．经调查发现，每个肉夹馍每降价0.5元，平均每天可多卖出25个，为了使每天获取的利润更多，该小吃店决定把零售单价适当下调．在不考虑其他因素的条件下，求降价多少元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多？
【答案】解：设每个肉夹馍应降价元，
根据题意可得，
整理，得，
解得，
当时，卖出的肉夹谟为（个），
当时，卖出的肉夹馍为（个）．
，
．
答：降价2元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每个肉夹馍应降价元，根据题中的相等关系“每天获取的利润=每个的利润×每天卖出的个数”即可列出关于x的方程，解方程即可求解.
23．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线（是常数）．
（1）求证：该抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）若点在该抛物线上，且，求的取值范围．
【答案】（1）证明：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）解：由题意可得，
．
，
，
解得．
的取值范围是．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式可将抛物线的顶点坐标用含m的代数式表示出来，然后将顶点坐标代入解析式y=-x2+x+2的左右两边，整理可知左右两边的值相等，于是可知顶点在函数y=-x2+x+2的图象上；
（2）由题意把点B、C的坐标分别代入抛物线的解析式，将a、b用含m的代数式表示出来，根据a＞b可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的范围.
24．（2024九下·阎良开学考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则．
，
，则．
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：，
，
4，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ECD=∠BOC，根据角的构成和垂线的定义可得∠OCE=90°，根据圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CH=DH=CD，在Rt△OCH中，用勾股定理可求出OH的值，然后根据线段的构成AH=OA+OH求出AH的值，在Rt△ACH中，用勾股定理即可求解.
25．（2024九下·阎良开学考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点处建有垂直于水平线的城墙，且，点在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
点的横坐标为75．
将代入，得．
，
．
，
石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可将抛物线的解析式设为顶点式，把点C的坐标代入解析式计算即可求解；
（2）由题意易得点D的横坐标为75，于是把x=75代入（1）中的解析式计算求出y的值，根据线段的构成BD=AB+AD可求出BD的值，将BD的值与20比较大小即可判断求解.
26．（2024九下·阎良开学考）【定义新知】
如图1，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，满足，则称是的“幸运角”．
（1）【问题探究】如图2，是的直径，弦是上的一点，连接交于点，连接．
①是的“幸运角”吗？请说明理由；
②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数；
（2）【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长．
【答案】（1）解：①是的“幸运角”．
理由：是的直径，弦，
，
．
，
，
是的“幸运角”．
②所对的圆心角为，
．
，
，
，
的“幸运角”的度数为．
（2）解：连接，如图3，
的“幸运角”为，
．
由（1）知，
，则．
，
，
．
设，则，
，
解得：，
或．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）①∠CPD是弧CD的“幸运角”；理由：由垂径定理和线段的垂直平分线的性质以及等边对等角可得∠CPA=∠EPA，结合对顶角相等和角的构成可得∠DPB=∠CPA，即∠CPD是弧CD的“幸运角”；
②根据圆周角定理可得∠CED=，结合①的结论即可求解；
（2）连接CO、DO，根据（1）的结论可得∠COD=90°，用勾股定理可求得CD的值，设PE=PC=x，则PD=8-x，在Rt△PCD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△PCE中，用勾股定理即可求解.
1 / 1陕西省西安市阎良区重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·阎良开学考）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．小明跑步的速度是30米/秒 B．冬冬一分钟跳绳66下
C．等腰三角形中有两边相等 D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6
2．（2024九下·阎良开学考）下面是四种火锅的平面设计图，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·阎良开学考）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
4．（2024九下·阎良开学考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·阎良开学考）已知点在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．6 B． C．． D．
7．（2024九下·阎良开学考）如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·阎良开学考）一元二次方程的根为 ．
10．（2021·滨城模拟）如图， 、 、 、 为一个正多边形的顶点， 为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的边数为 ．
11．（2024九下·阎良开学考）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀，重复上述过程，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，则口袋中白球的个数可能是 ．
12．（2024九下·阎良开学考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为轴于点，连接，反比例函数与的两条边分别交于两点，若点是的中点，连接，则的面积为 ．
13．（2024九下·阎良开学考）如图，在中，，点是线段上一动点，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是线段的中点，则长度的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（2024九上·苍溪期末）解方程：．
15．（2024九下·阎良开学考）如图，为的直径，是上的一点，连接，若，求的长．（结果保留）
16．（2024九下·阎良开学考）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若停止后指针指向分割线，则重新转）．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
17．（2024九下·阎良开学考）如图，是半圆的直径，是半圆的一条半径，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2024九下·阎良开学考）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．若，连接，求的度数．
19．（2024九下·阎良开学考）北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座1922星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为．
（1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．
20．（2024九下·阎良开学考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．
（1）以为旋转中心，将顺时针旋转得到，画出，点的对应点分别为；
（2）在（1）的条件下，写出点的坐标．
21．（2024九下·阎良开学考）若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度．
22．（2024九下·阎良开学考）陕西肉夹馍全国闻名，某小吃店平均每天可卖出150个肉夹馍，卖出1个肉夹馍的利润是6元．经调查发现，每个肉夹馍每降价0.5元，平均每天可多卖出25个，为了使每天获取的利润更多，该小吃店决定把零售单价适当下调．在不考虑其他因素的条件下，求降价多少元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多？
23．（2024九下·阎良开学考）已知抛物线（是常数）．
（1）求证：该抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）若点在该抛物线上，且，求的取值范围．
24．（2024九下·阎良开学考）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求的长．
25．（2024九下·阎良开学考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点处建有垂直于水平线的城墙，且，点在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
26．（2024九下·阎良开学考）【定义新知】
如图1，是上两点，且在直径的上方，若直径上存在一点，连接，满足，则称是的“幸运角”．
（1）【问题探究】如图2，是的直径，弦是上的一点，连接交于点，连接．
①是的“幸运角”吗？请说明理由；
②设所对的圆心角为，请用含的式子表示的“幸运角”的度数；
（2）【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径，的“幸运角”为，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：A、 小明跑步的速度是30米/秒，是不可能事件，此选项不符合题意；
B、冬冬一分钟跳绳66下是随机事件，此选项符合题意；
C、等腰三角形中有两边相等是必然事件，此选项不符合题意；
D、任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一 一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为；C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+9=0的根，
∴12+m+9=0，
解得：m=-10.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可将x=1代入原方程可得关于m的方程，解方程即可求解.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=88°，
∴∠ADC=∠AOC=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-44°=136°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠ADC=∠AOC，然后根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC=180°可求解.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中， k＜0，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质“当k＜0时，函数的图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，反比例函数y随x的增大而增大”可求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴AB=，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，
∴BC=DE=1，AD=AB=，∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，
BD.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得BC=DE，AD=AB，∠BAD=90°，在Rt△ABC中，用勾股定理求出AB的值，在Rt△ABD中，用勾股定理即可求出BD的值.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于点C，
由题意得；AB=16cm，CE=4cm，E为弧AB的中点，
∴OE⊥AB，AC=BC=AB=8cm，
设⊙O的半径为R，则OC=（R-4）cm，
在Rt△OAC中，OA2=AC2+OC2， 即R2=82+（R-4）2，
解得：R=10.
故答案为：A.
【分析】设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于点C，E为弧AB的中点，由垂径定理可得OE⊥AB，AC=BC=AB=8cm，设⊙O的半径为R，则OC=（R-4）cm，在Rt△OAC中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程即可求解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2ax-9经过（-3，m）和（5，m），
∴，
解得：a=1，m=7，
∴y=x2-2x-8=(x-1)2-9，
∵二次函数的二次项系数为1＞0，
∴函数有最低点，且最低点的坐标为 （1，-9）.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线经过两个点（-3，m）和（5，m），可得关于m、a的方程组，解方程组求出a及m的值，然后将二次函数的解析式配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
9．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项得：x2=4，
开平方得：x=±2，
∴原方程的根为：
x1=-2，x2=2.
故答案为：x1=-2，x2=2.
【分析】此方程缺一次项，故利用直接开平方法求解即可.
10．【答案】九
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
【分析】设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，因为，得出，用公式即可得出正多边形的边数。
11．【答案】12
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在0.25和0.45，
∴摸到红色、黑色小球的概率分别为0.25和0.45，
∴ 红球的个数为：0.25×40=10个，黑球的个数为：0.45×40=18个 ，
∴白球的个数为：40-10-18=12个.
故答案为：12.
【分析】根据用频率估计概率并结合题意可知摸到红色、黑色小球的概率分别为0.25和0.45，根据频数等于样本容量×概率可求得红球和黑球的个数，然后用样本容量减去红球和黑球的个数即可求解.
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥OB于E，
∵点D为OA的中点，AB⊥OB
∴DE∥AB，DE是三角形OAB的中位线，
∵点A（-8，6），
∴ED=AB=3，OE=OB=4，
即D（-4，3），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-4×3=-12，则，
∵AB⊥OB交反比例函数的图象于点C，
∴S△BOC=×|-12|=6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DE⊥OB于E，结合已知易得DE是三角形OAB的中位线，由三角形的中位线定理可求得点D的坐标，把点D的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，进而根据反比例函数k的几何意义可得△BOC的面积.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵Rt△ACD中，AC=6，
∴CD=ACsin∠BAC=6×=3，
∵点E是A1C的中点，
∴CE=AC=3，
当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点C、E、D三点共线时DE最小，即PE最小，最小值=CD-CE=3-3.
故答案为：3-3.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出∠BAC的度数，由线段中点定义可得CE的值，解直角三角形ACD可求出CD的值，当点P在AB上运动到点D，△ABC绕点C旋转时，点C、E、D三点共线时DE最小，且最小值=CD-CE可求解.
14．【答案】解：，
整理得：，
这里，，，
∴，
∴，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】首先把一元二次方程转化为一般形式，然后用公式法求得方程的解即可。
15．【答案】解：，
，
，
的长．
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠BOC的度数，然后根据弧长公式L=计算即可求解.
16．【答案】（1）解：当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是．
（2）解：当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域的共有3种结果，根据概率公式计算即可求解；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字2，3，4，5，6，7区域的机会是均等的，共有6种均等的结果，其中均等指针指向的数小于或等于5的区域共有4种结果，根据概率公式计算即可求解.
17．【答案】解：如图所示，点即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质可知：只需过点P作AB的平行线与圆O相交于点C，则点C即为所求.
18．【答案】解：，
．
绕点顺时针旋转得到，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】在三角形ABC中，用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，由旋转的性质可得∠DCE=∠ACB，CB=CE，然后由等边对等角和三角形内角和定理可求出∠CBE的度数.
19．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的有12种，
所以小明和小亮选择不同模块的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）直接用概率公式计算即可求解；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的有12种，然后用概率公式计算即可求解.
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：点B1的坐标为（1，3）.
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C三点绕点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）中的作图即可求解.
21．【答案】（1）解：由题意得，
则，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，有，
解得，
注水的速度为50升/分钟．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据工作总量=工作效率×工作时间可求解；
（2）由题意把t=24代入（1）中的解析式计算即可求解.
22．【答案】解：设每个肉夹馍应降价元，
根据题意可得，
整理，得，
解得，
当时，卖出的肉夹谟为（个），
当时，卖出的肉夹馍为（个）．
，
．
答：降价2元时，能保证该小吃店每天获取的利润是1000元且卖出的肉夹馍更多．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每个肉夹馍应降价元，根据题中的相等关系“每天获取的利润=每个的利润×每天卖出的个数”即可列出关于x的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）证明：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的顶点在函数的图象上；
（2）解：由题意可得，
．
，
，
解得．
的取值范围是．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式可将抛物线的顶点坐标用含m的代数式表示出来，然后将顶点坐标代入解析式y=-x2+x+2的左右两边，整理可知左右两边的值相等，于是可知顶点在函数y=-x2+x+2的图象上；
（2）由题意把点B、C的坐标分别代入抛物线的解析式，将a、b用含m的代数式表示出来，根据a＞b可得关于m的不等式，解不等式即可求出m的范围.
24．【答案】（1）证明：连接，则．
，
，则．
，
，
，即，
是的切线；
（2）解：，
，
4，
，
．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ECD=∠BOC，根据角的构成和垂线的定义可得∠OCE=90°，根据圆的切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CH=DH=CD，在Rt△OCH中，用勾股定理可求出OH的值，然后根据线段的构成AH=OA+OH求出AH的值，在Rt△ACH中，用勾股定理即可求解.
25．【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
点的横坐标为75．
将代入，得．
，
．
，
石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可将抛物线的解析式设为顶点式，把点C的坐标代入解析式计算即可求解；
（2）由题意易得点D的横坐标为75，于是把x=75代入（1）中的解析式计算求出y的值，根据线段的构成BD=AB+AD可求出BD的值，将BD的值与20比较大小即可判断求解.
26．【答案】（1）解：①是的“幸运角”．
理由：是的直径，弦，
，
．
，
，
是的“幸运角”．
②所对的圆心角为，
．
，
，
，
的“幸运角”的度数为．
（2）解：连接，如图3，
的“幸运角”为，
．
由（1）知，
，则．
，
，
．
设，则，
，
解得：，
或．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）①∠CPD是弧CD的“幸运角”；理由：由垂径定理和线段的垂直平分线的性质以及等边对等角可得∠CPA=∠EPA，结合对顶角相等和角的构成可得∠DPB=∠CPA，即∠CPD是弧CD的“幸运角”；
②根据圆周角定理可得∠CED=，结合①的结论即可求解；
（2）连接CO、DO，根据（1）的结论可得∠COD=90°，用勾股定理可求得CD的值，设PE=PC=x，则PD=8-x，在Rt△PCD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△PCE中，用勾股定理即可求解.
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