广东省深圳市罗湖高中2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·罗湖月考）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．8
2．（2024高二下·罗湖月考）已知函数的导函数为，且满足，则
A． B． C．2 D．
3．（2024高二下·罗湖月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数有最大值
C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点
4．（2024高二下·罗湖月考）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
5．（2024高二下·罗湖月考）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·哈尔滨开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·赣州期中）偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·罗湖月考）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．（2022高二下·白山期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
10．（2024高二下·罗湖月考）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
11．（2024高二下·罗湖月考）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2024高二下·罗湖月考）已知，则 ．
13．（2021高二下·洛阳月考）已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为 .
14．（2024高二下·罗湖月考）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，、、、分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起、、、，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为 时，三棱锥体积最大．
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·罗湖月考）已知数列{}满足．
（1） 求证：数列是等差数列；
（2） 求数列{}的通项公式．
16．（2024高二下·罗湖月考）已知函数，其图象上点处的切线的斜率是.
（1） 求实数a，b的值；
（2） 求在区间上的最大与最小值.
17．（2024高二下·罗湖月考）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．
（1） 求证：平面；
（2） 求平面与平面所成角的余弦值．
18．（2024高二下·罗湖月考）已知曲线C：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，．
（1） 若，且四边形是矩形，求的值；
（2） 若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若，求．
19．（2024高二下·罗湖月考）已知函数在处取得极值
（1） 求实数的值
（2） 求证：
（3） 证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】由题意可知：，
所以 .
故选：B.
【分析】根据题意结合 平均变化率 的定义分析求解.
2．【答案】D
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】因为 ，则，
令，则，解得，
则，所以 .
故答案为：D.
【分析】求得可得，令解得，即，可得结果.
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可知：在和上单调递减，在和上单调递增，
函数的极小值分别为、，其极大值为，故D错误；
对于A：由单调性可知，即函数有最小值，故A正确；
对于B：虽然确定的单调性，但不确定的解析式，
所以无法判断函数的最大值，故B错误；
对于C：虽然确定的单调性，但不确定的解析式，
即不能确定函数值的符号，所以无法确定零点，故C错误；
故答案为：A.
【分析】根据 与 的关系可知的单调性和极值，进而逐项分析判断.
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】将1与4捆绑成一个整体，共有种排法，
两个2之间插入1个数，共有种排法，
再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故答案为：C.
【分析】根据题意利用捆绑法、插空法，结合排列数分析求解.
5．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】因为 ，
由题意可知： ，即在区间上 恒成立，
因为在内单调递减，可得，
可得，所以 实数的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可知在区间上 恒成立，利用参变分离结合恒成立问题分析求解.
6．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：设，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性判断a、b、c的大小.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 .
故当 时，有 ， 为减函数.
又 为偶函数，故 也为偶函数，所以 在 时为增函数.
又 ， ，即 ，
即 ，故 ，结合定义域解得 或 .
故答案为：C
【分析】 根据题意，设，结合题意求导分析可得当 时，有 ， 为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得，解可得的取值范围，即可得答案．
8．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对两边取自然对数得，
对两边取自然对数，得，
即，
因为方程为两个同构方程，
则，解得，
设，
因为在内单调递增，可知在定义域上单调递增，
可知的解只有一个，可得，所以．
故答案为：A.
【分析】根据题意整理可得，结合同构方程可得，构建，结合函数单调性可知，即可得结果.
9．【答案】A,B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A符合题意；
对于B，由A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B符合题意；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C不符合题意；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D不符合题意．
故答案为：AB.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为，所以，
对于A：令，方程无解，
所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误；
对于B：令，解得，
所以曲线的切线斜率可以是，故B正确；
对于C：设切点，可得，
则切线方程为，
因为点在切线上，则，
整理得，且，解得，
故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D：设切点，可得，
则切线方程为，
因为点在切线上，则，整理得，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
可知存在使得，即有两个零点，
所以方程有且仅有两个实数根，
所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知：，对于AB：根据导数的几何意义分析判断；对于C：设切点，可得切线方程，代入点分析求解即可；对于D：设切点，可得切线方程为，代入点整理得，构建，利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，，
所以，所以C正确；
对于D：因为的定义域为，
且，所以是偶函数，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据导数的运算法则分析求解；对于BC：根据题意结合指数运算分析判断；对于D：根据题意结合函数奇偶性分析判断.
12．【答案】-1
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】由题意可得 .
故答案为：-1.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，
若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 .
故答案为： .
【分析】 对f (x)求导，对a分类讨论，求出极值点，可得关于a的不等式，从而得解.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】连接交于点，则，点为的中点，
连接，则为直角三角形，
设正方形的边长为，则，，
设重合于点P如图所示：
则，可得，
且锥体的高，
所以锥体的体积，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以当时，取得最大值，
即当，体积取到最大值，
可得 正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为，可得，锥体的体积，构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
15．【答案】（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2
（2）解：由（1）可得：，
解得．
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【分析】 (1) 根据题中递推公式结合等差数列定义分析证明；
(2) 根据等差数列通项公式分析求解.
16．【答案】（1）解：
由题意得，解得
（2）解：由（1），，
由解得：或
令，则或，
令，则，
所以在和上递增，在上递减，
所以；
．
所以，.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，根据题意结合导数的几何意义分析求解；
(2) 利用导数判断 在区间上 的单调性，进而判断最值.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，则且，
又且，且．为平行四边形，
．
又平面，平面，平面．
（2）解：取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过点作直线的垂线交于点，分别以所在直线
为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
为直径，，
，，．
在等腰梯形中，，，所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，取，
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面所成的角为，则，
平面与平面所成角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 取的中点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量求面面夹角.
18．【答案】（1）解：当时，：是椭圆，，
因为四边形是矩形，所以，，
由椭圆定义得，
所以
（2）解：已知如图所示：
设，则，，设，
则，与相减得，所以，
所以．所以，
所以是双曲线，．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 当时，：是椭圆，根据椭圆的定义和性质分析求解；
(2) 设，根据题意利用点差法分析可得，结合双曲线的性质分析求解.
19．【答案】（1）解：由题知，，
为的极值点，
即，解得：
经检验，符合题意。故
（2）证明：由（1）知，，定义域为，
则，
令，得：；令得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，故恒成立
（3）证明：因为，可化为，此不等式恒成立，
令，则有，即，
，
即，
即.
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，结合极值的性质可得，分析运算即可；
(2) 由（1）知，，定义域为，求导，利用导数判断的单调性和最值，即可证明；
(3) 由（2）可得，令，可得，利用累加法分析证明.
1 / 1广东省深圳市罗湖高中2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·罗湖月考）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】由题意可知：，
所以 .
故选：B.
【分析】根据题意结合 平均变化率 的定义分析求解.
2．（2024高二下·罗湖月考）已知函数的导函数为，且满足，则
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】函数的值；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】因为 ，则，
令，则，解得，
则，所以 .
故答案为：D.
【分析】求得可得，令解得，即，可得结果.
3．（2024高二下·罗湖月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有最小值 B．函数有最大值
C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】由题意可知：在和上单调递减，在和上单调递增，
函数的极小值分别为、，其极大值为，故D错误；
对于A：由单调性可知，即函数有最小值，故A正确；
对于B：虽然确定的单调性，但不确定的解析式，
所以无法判断函数的最大值，故B错误；
对于C：虽然确定的单调性，但不确定的解析式，
即不能确定函数值的符号，所以无法确定零点，故C错误；
故答案为：A.
【分析】根据 与 的关系可知的单调性和极值，进而逐项分析判断.
4．（2024高二下·罗湖月考）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】将1与4捆绑成一个整体，共有种排法，
两个2之间插入1个数，共有种排法，
再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故答案为：C.
【分析】根据题意利用捆绑法、插空法，结合排列数分析求解.
5．（2024高二下·罗湖月考）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】因为 ，
由题意可知： ，即在区间上 恒成立，
因为在内单调递减，可得，
可得，所以 实数的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意分析可知在区间上 恒成立，利用参变分离结合恒成立问题分析求解.
6．（2023高三上·哈尔滨开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：设，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性判断a、b、c的大小.
7．（2020高二下·赣州期中）偶函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，则 .
故当 时，有 ， 为减函数.
又 为偶函数，故 也为偶函数，所以 在 时为增函数.
又 ， ，即 ，
即 ，故 ，结合定义域解得 或 .
故答案为：C
【分析】 根据题意，设，结合题意求导分析可得当 时，有 ， 为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得，解可得的取值范围，即可得答案．
8．（2024高二下·罗湖月考）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构 形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对两边取自然对数得，
对两边取自然对数，得，
即，
因为方程为两个同构方程，
则，解得，
设，
因为在内单调递增，可知在定义域上单调递增，
可知的解只有一个，可得，所以．
故答案为：A.
【分析】根据题意整理可得，结合同构方程可得，构建，结合函数单调性可知，即可得结果.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．（2022高二下·白山期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
【答案】A,B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A符合题意；
对于B，由A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B符合题意；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C不符合题意；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D不符合题意．
故答案为：AB.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2024高二下·罗湖月考）已知函数（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是
B．曲线的切线斜率可以是3
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】因为，所以，
对于A：令，方程无解，
所以曲线的切线斜率不可以是，故A错误；
对于B：令，解得，
所以曲线的切线斜率可以是，故B正确；
对于C：设切点，可得，
则切线方程为，
因为点在切线上，则，
整理得，且，解得，
故过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D：设切点，可得，
则切线方程为，
因为点在切线上，则，整理得，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
可知存在使得，即有两个零点，
所以方程有且仅有两个实数根，
所以过点且与曲线相切的直线有且只有条，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知：，对于AB：根据导数的几何意义分析判断；对于C：设切点，可得切线方程，代入点分析求解即可；对于D：设切点，可得切线方程为，代入点整理得，构建，利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
11．（2024高二下·罗湖月考）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，，
所以，所以C正确；
对于D：因为的定义域为，
且，所以是偶函数，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据导数的运算法则分析求解；对于BC：根据题意结合指数运算分析判断；对于D：根据题意结合函数奇偶性分析判断.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2024高二下·罗湖月考）已知，则 ．
【答案】-1
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】由题意可得 .
故答案为：-1.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
13．（2021高二下·洛阳月考）已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，
若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 .
故答案为： .
【分析】 对f (x)求导，对a分类讨论，求出极值点，可得关于a的不等式，从而得解.
14．（2024高二下·罗湖月考）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，、、、分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起、、、，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为 时，三棱锥体积最大．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】连接交于点，则，点为的中点，
连接，则为直角三角形，
设正方形的边长为，则，，
设重合于点P如图所示：
则，可得，
且锥体的高，
所以锥体的体积，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以当时，取得最大值，
即当，体积取到最大值，
可得 正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为，可得，锥体的体积，构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·罗湖月考）已知数列{}满足．
（1） 求证：数列是等差数列；
（2） 求数列{}的通项公式．
【答案】（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2
（2）解：由（1）可得：，
解得．
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【分析】 (1) 根据题中递推公式结合等差数列定义分析证明；
(2) 根据等差数列通项公式分析求解.
16．（2024高二下·罗湖月考）已知函数，其图象上点处的切线的斜率是.
（1） 求实数a，b的值；
（2） 求在区间上的最大与最小值.
【答案】（1）解：
由题意得，解得
（2）解：由（1），，
由解得：或
令，则或，
令，则，
所以在和上递增，在上递减，
所以；
．
所以，.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，根据题意结合导数的几何意义分析求解；
(2) 利用导数判断 在区间上 的单调性，进而判断最值.
17．（2024高二下·罗湖月考）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．
（1） 求证：平面；
（2） 求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，则且，
又且，且．为平行四边形，
．
又平面，平面，平面．
（2）解：取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过点作直线的垂线交于点，分别以所在直线
为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：
为直径，，
，，．
在等腰梯形中，，，所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，，取，
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面所成的角为，则，
平面与平面所成角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1) 取的中点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量求面面夹角.
18．（2024高二下·罗湖月考）已知曲线C：（且）的左、右焦点分别为，，直线与交于点，．
（1） 若，且四边形是矩形，求的值；
（2） 若是上与，不重合的点，且直线，的斜率分别为，，若，求．
【答案】（1）解：当时，：是椭圆，，
因为四边形是矩形，所以，，
由椭圆定义得，
所以
（2）解：已知如图所示：
设，则，，设，
则，与相减得，所以，
所以．所以，
所以是双曲线，．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 当时，：是椭圆，根据椭圆的定义和性质分析求解；
(2) 设，根据题意利用点差法分析可得，结合双曲线的性质分析求解.
19．（2024高二下·罗湖月考）已知函数在处取得极值
（1） 求实数的值
（2） 求证：
（3） 证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
【答案】（1）解：由题知，，
为的极值点，
即，解得：
经检验，符合题意。故
（2）证明：由（1）知，，定义域为，
则，
令，得：；令得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，故恒成立
（3）证明：因为，可化为，此不等式恒成立，
令，则有，即，
，
即，
即.
【知识点】对数的性质与运算法则；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，结合极值的性质可得，分析运算即可；
(2) 由（1）知，，定义域为，求导，利用导数判断的单调性和最值，即可证明；
(3) 由（2）可得，令，可得，利用累加法分析证明.
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