内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期第一次学情诊断（4月月考）数学试题（PDF版含解析）

机密★启用前
达旗一中 2023-2024 春季学期高一年级第一次学情诊断
数 学
总分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。回答非选择题时，应使用 0.5 毫米的黑色墨水签
字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无
效，在试卷、草稿纸上答题无效。
一、单项选择题：本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分。
1 3i
1． （ ）
3 i
A． 1 B．1 C． i D．i
2．若 f x x x 2 x a 为奇函数，则 a的值为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
3． sin cos
5
，则 sin 2 4 （ ）
25 9 9 16
A． B． C． D．
16 32 16 9
a 1,2 a

4．已知 ，b x, 3 ，若 a b ，则 x （ ）
3 1
A．1 B． 1 C． D．
2 2

5．在
1
ABC中，D为 BC 的中点，E为 AC 边上的点，且 AE EC，则
3 ED （ ）
1 1
A． AB AC
1 2 1 1 1 2
B． AB AC2 3 C．
AB AC
2 4 D．
AB AC
2 4 2 3

6． ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，a2 c2 b2 ac，ac 4，则 AB BC （ ）
A． 3 B． 3 C．2 D． 2
7．在
1
ABC中，BC 3 10，sin B sinC sin A，且 ABC的面积为 sin A，则 A （ ）
3 2
π π π 2π
A． 6 B． 4 C． D．3 3
c
8．锐角 ABC中内角 A、B、C所对边分别为 a、b、c，若C 2B，则 的范围是（ ）
b
A． (0,2) B． ( 2, 3) C． ( 2, 2) D． (1, 3)
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二、选择题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分。每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知 a，b R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a c b c B． (a b)c 2 0 C． ac bc D． a2 b2 2ab
10．已知函数 f x Asin x A 0 0 π（ ， ， 2 ）的部分图象
如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．
π

3 B． A 4
π kπ π
C． f x 图象的对称中心为 ,0 D．直线 x 是 f x
12 2
图象的一条对称轴
6

11．记△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 B 6 ，c 6 3，且△ABC
有两解，则b的值可能是（ ）
A．3 3 B． 4 3 C．5 3 D．6 3
12．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ）
A．点 A 1,3 ，B 4, 1 3 4 ，与向量 AB共线的单位向量为 ,
5 5

B．非零向量a和b满足 a

b a b a ，则 与 a

b的夹角为30

C．已知平面向量a 1,2 ，b 2, t ，若向量a与b 的夹角为锐角，则 t 1

D．向量 AB (2 3, 2)， AC ( 1, 3)，则 AB在 AC上的投影向量的坐标为 3,3
三.填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.

13．向量“ a b”是向量“a / /b”的 条件.
sin cos
14．已知 3sin cos ，则 tan 的值为 .
15．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 sin2 C sin Asin B sin2 A sin2 B ，
c 2，且 S 3，则 aABC =

16. 已知非零向量a、b,满足 a 2，b 1，a,b ,且（c a）（ c b） 0，则 c的最大值为
3
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四.解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
y m2 4m 4 xm 217.（10 分）已知幂函数 在 0, 上为严格减函数.
(1)求实数m的值；
(2)若 (2a 1)m (a 3)m，求实数 a的取值范围.
18.（12 分）在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a，b，c，且 2a 3c cosB 3bcosC
(1)求 B ;
π
(2)BC 2 3，D为边 AB上一点， BD 1， ACD ，求 AC长.2
19.（12 分）已知函数 f x sin x cosx 3 cos2x 3 ．
2
(1)求函数 y f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)求函数 f x 在 0, π 上的单调递增区间．
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20.（12 分）已知在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其中
a 4, 4 3 cosC 3b c sin A.
(1)求 A；
2 2
(2)已知直线 AM 为 BAC的平分线，且与 BC 交于点 M，若 AM ，求 ABC的周
3
长.

21.（12 分）定义：已知两个非零向量 a与b的夹角为 .我们把数量 a b sin 叫做向

量 a与b的叉乘 a b的模，记作 a b，即 a b a b sin .
r
(1)若向量 a 2, 4 ，b 3,1 ，求 a b；

(2)若平行四边形 ABCD的面积为 4，求 AB AD ；
22.（12 分）已知锐角 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a sin
A C
b sin A，
2
c 2．
(1)求角 B；
(2)求 ABC面积的取值范围．
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达旗一中高一年级第一次月考参考答案
1．C【分析】根据复数的除法结合虚数单位的性质，即可求得答案.
1 3i i 2 3i i 3 i
【详解】由题意得 i，
3 i 3 i 3 i
2．D【分析】根据题意，结合 f 2 f 2 0，列出方程，即可求得 a的值.
【详解】由函数 f x x x 2 x a 为奇函数，可得 f 2 f 2 0，
可得8 2 a 0，解得a 2，
经检验，当a 2时， f x x x 2 x 2 x(x2 4)，
满足 f x f x ，符合题意，所以 a 2.
3．C【分析】根据同角三角函数的关系平方求解，结合二倍角公式求解即可.
5
【详解】∵ sin cos ，平方可得1 sin 2
25 sin 2 9
4 16，∴ ，16
4．A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】 a b x 1, 1 ，由 a a b 得 a a b 1 x 1 2 1 0，
解得 x 1.

AD 1
1 1
5．A【分析】根据已知可推得 AB AC ， AE AC2 2 4 .然后根据 ED AD AE，即可得出答案.
【详解】
1 1
因为 D为 BC 的中点，所以 AD AB AC2 2 .

又因为， AE
1
EC，所以 AE
1
AC
4 .3
1 1 1 1 1
所以， ED AD AE AB AC AC AB AC2 2 4 2 4 .
6．D【分析】根据余弦定理可得 B
π

3，进而根据数量积的定义即可求解.
a2 c2 b2 1
【详解】由余弦定理得cosB ．
2ac 2
又因为 B (0, π)
π
，所以 B 3，

故 AB BC ac cos(π B) 2．
故选：D．
试卷第 1页，共 8页
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7．D【分析】先利用正弦定理角化边可得b c 10，再由三角形面积公式可得bc 1，最后根据余弦定
理求解即可.
【详解】设 ABC中角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，
10
因为 sin B sinC sin A，所以由正弦定理可得b c 10 a 10，
3 3
S 1 1又 ABC bc sinA sinA 解得bc 1，2 2
2 2 2 b c 2 2bc a 2
所以由余弦定理可得 cos A b c a 10 2 9 1 ，
2bc 2bc 2 2
因为 A 0, π 2π，所以 A 3 ，
8．B【分析】由锐角三角形的性质，先求出角的范围，结合正弦定理进行转化求解即可
c b c sinC sin2B 2sinBcosB
【详解】由正弦定理得 ，又C 2B，所以 2cosBsinC sinB b sinB sinB sinB ，
因为 A B
π π
C ，所以3B A π，即 A=π 3B，因为A为锐角，所以 < B <6 3，
π π π 2 3
又0 C 2B 2，所以
< B < ，所以 cosB ，即 2 2cosB 3，
6 4 2 2
c
故 2, 3b的取值范围是 ．
9．BD【分析】举例说明判断 AC；利用不等式性质推理判断 BD.
【详解】对于 A，取 a 2,b 1，满足 a b，取 c 1，有 a c 1 2 b c ，A错误；
对于 B，由 a b，得 a b 0，而 c2 0，因此 (a b)c2 0，B正确；
对于 C，取c = 0，ac 0 bc，C错误；
对于 D，由 a b，得 a2 b2 2ab (a b)2 0 ，因此 a2 b2 2ab，D正确.
10．BC【分析】利用 f x 部分图象，求出 f x 的解析式，结合三角函数的性质即可求解.
T 11π 5π π 2π
【详解】对于 A，由图象可知 T π， 2，
2 12 12 2 T
5π 5π π π
又图象过 , 0 ，则 2 kπ,k Z，又 12 12 2 ，则
，A错误；
6
π
对于 B，又图象过 0,2 ，则 Asin 6 2，故 A 4，B正确；
对于 C，所以 f x 的解析式为 f x 4sin π 2x 6 ，
π kπ
由 2x
π
kπ,k Z，得 x ,k Z6 12 2 ，
所以 f x π kπ 图象的对称中心为 , 0 ， k Z，C正确，
12 2
f π 对于 D， 4sin
2 π π π

4sin
2
6 6
6 6 ，
试卷第 2页，共 8页
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所以直线 x
π
不是 f x 6 图象的一条对称轴，D错误.
3 3
11．BC【分析】利用正弦定理及条件可得sinC 1,b c 6 3，进而即得.
b

【详解】因为 B 6 ， c 6 3，
6 3 1
所以 sinC c sin B 2 3 3 ，
b b b
3 3
因为△ABC 有两解，则sinC 1,b c 6 3，
b
即3 3 b 6 3．
12．AC【分析】对于 A，根据共线向量及单位向量的概念运算即可判断；对于 B，利用向量数量积的运

算法则，结合夹角公式即可判断；对于 C，检验a / /b的情况即可判断；对于 D，利用投影向量的公式即
可判断.

【详解】对于 A，因为 A 1,3 ，B 4, 1 ，则 AB 3, 4 ， AB 5，

AB 3 4 , 所以与向量 AB共线的单位向量为 5 5 AB ，故 A错误；
2 2
对于 B，因为 a b a b ，所以 b

a b ，
2 2 2
则 b a b 2a b

，化简得2a b a
2
，
2 2 2
所以 a b a b

2a b 3 a 2，即 a b 3 a ，

又 a

a b 3 a 2 a b a 22 ，
r r r 3 r 2r r r a a b a
所以 cos a,a 3 b r r r
2
r 2 ，
a a b 3 a 2
r r r r r r
因为0 a,a b 180 ，所以 a,a b 30 ，故 B正确；

对于 C，因为a 1,2 ，b 2, t ，

当a / /b时， t 2 2 0，得 t 4，

经检验，当 t 4时， a,b同向共线，即此时 a ,b 的夹角不为锐角，故 C错误；
uuur 2 uuur uuur
AC 1 2
2
对于 D，因为 3 4， AB AC 2 3 1 2 3 4 3，
uuur uuur uuur
AB AC AC 4 3
所以 AB在 AC上的投影向量的坐标为 uuur uuur 1, 3 3,34 AC AC ，故 D正确.
13．充分不必要【分析】向量相等指向量的大小和方向都相等，进而可得结果
试卷第 3页，共 8页
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【详解】向量“ a b”指 a,b的大小和方向都相等，

故向量“ a b”是向量“a / /b”的充分非必要条件，
14．2【分析】
利用正余弦的齐次式法求得 tan ，再利用正切的倍角公式即可得解.
【详解】
sin cos tan 1
因为 3 cos 3 tan 2sin cos ，等式左边分子、分母同时除以 得， tan 1 ，解得 ，
π
15．2【分析】由正弦定理可得 c2 ab a2 b2，由余弦定理求得C S3 ，由 ABC
3及弦定理求得ab和 a2 b2
的值，从而求出 a的值.
【详解】 sin2 C sin Asin B sin2 A sin2 B，由正弦定理可得 c2 ab a2 b2，
a2 b2 c2cosC 1 , C (0, π), C π ，
2ab 2 3
S 1 ABC absinC 3, ab 42 ，
由余弦定理，c2 a2 b2 2abcos
π
3 ，得 a
2 b2 8，解得 a b 2.
16. 7 3（原创题）
2
试卷第 4页，共 8页
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1
17．(1) 3 (2) 3, 4,
2
【分析】（1）根据幂函数定义先求出m，在根据幂函数性质检验m的值是否满足题意；
（2）根据幂函数性质求解即可.
2 m 2
【详解】（1）因为函数 y m 4m 4 x 是幂函数，
所以m2 4m 4 1，得m 3或m 1，
因为幂函数在 0， 上为严格减函数，所以m 1不符合题意，
所以m 3.
3 3
（2）由（1）可得 2a 1 a 3
设函数 y x 3，
因为函数 y x 3在 ,0 , 0, 上严格单调递减，
2a 1 0 1
所以2a 1 a 3 0或0 2a 1 a 3或 a 3 0 ，得a 4或
3 a
2 .
1
所以实数 a的取值范围是 3, 4, .
2
18．(1) B

21
6 ; (2) .2
【详解】（1）由正弦定理得： 2sinA 3sinC cosB 3sinBcosC，
2sinAcosB 3sinCcosB 3sinBcosC 3sin B C 3sinA ，
3
显然sinA 0则 cosB ，
2
又 B 0, π B π，故 6；

（2）因为BC 2 3， BD 1， B 6 ，
根据余弦定理得:
CD2 BC2 BD2 2 BC BD cos B 1 12 2 1 2 3 3 7，∴CD 7 .
2
cos BDC DB
2 DC2 BC2 1 7 12 2 7
所以 ，
2DB DC 2 1 7 7
cos ADC cos BDC 2 7所以 ，
7
2

sin ADC 1 2 7
21
所以 ，
7 7
所以 tan ADC 3 ，
2
试卷第 5页，共 8页
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所以 AC CD tan ADC 7 3 21 .
2 2
f x sin 2x π 11π19．(1)
x 5π kπ 5π ，对称轴方程为 k Z ； (2) 0,

3 12 2 12
和 , π 12
π
【分析】（1）直接对 f x 的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式 f x sin 2x 3 ，进而得到其图
象的对称轴方程；
π
（2）先考虑 sin x的单调递增区间，然后令 2x 3属于该区间即可解得
f x 的单调区间.
3 1 3 1 3 π
【详解】（1） f x sin x cos x 3 cos 2x sin 2x 2cos 2x 1 sin 2x cos 2x sin 2 x ，2 2 2 2 2 3
2x π π由 kπ k Z 5π kπ，解得 x k Z ；
3 2 12 2
5π kπ
所以，函数 y f x 图象的对称轴方程为 x k Z ；
12 2
（2）当 x 0, π 时，有 2x π π , 5π f x 3 3 3 ，要使 单调递增，
π
则需要 2x
π π 3π π 5π
，或 2x
3 3 2 2 3 3 ，
0 5π 11π解得 x ，或 x π12 ；12
故函数 f x 在 0,π 5π 11π 上的单调递增区间为 0, 12 和 , π12 ．
20．(1) A
π

3 (2) 2 6 4
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于b,c的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）根据题意可得 3acosC csin A 3b ，
由正弦定理得 3 sin AcosC sin AsinC 3 sinB，
又 3 sin B 3 sin A C 3 sin AcosC 3 cos AsinC ，
故sin AsinC 3 cos AsinC，
又sinC 0，所以sin A 3cos A，则 tan A 3，
因为 A (0, π)
π
，所以 A 3 .
（2）因为 S ABC S ABM S MCM ，
1 bcsin BAC 1 AM c sin BAM 1所以 AM b sin CAM，
2 2 2
试卷第 6页，共 8页
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又 AM平分 BAC
1 π
，所以 BAM CAM BAC ，
2 6
1 bc 3 1 2 2 1 1 2 2 1所以 c b ，
2 2 2 3 2 2 3 2
3bc 2 2
2 2
则 (b c) ，即bc (b c)
3 3 3
由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos BAC，即16 b2 c2 bc，
所以16 b c 2 3bc b c 2 2 2 b c ，解得b c 2 6（负值舍去），
3
故 ABC的周长为 2 6 4.
21．(1)14 (2)4

【分析】（1）利用向量数量积的运算求得 a , b , cos ，从而利用新定义即可得解；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；

（3）利用新定义与向量数量积的定义求得 a,b的夹角，从而得到 a b，再利用向量数量积的运算法则与
基本不等式即可得解.
r
【详解】（1）因为 a 2, 4 ，b 3,1 ，

则 a b 2 3 4 1 2， a 4 16 2 5, b 9 1 10

所以 cos
a b
2 2 ，
| a || b | 2 5 10 10

因为 是向量 a,b的夹角，所以 [0, π]，

因此 sin 1 cos2 7 2 ，故 a b a b sin 2 5 10 7 2 14 .
10 10
（2）因为平行四边形 ABCD 的面积为 4，

所以 AB AD sin BAD 4，所以 AB AD 4.
B π 322．(1) 3； (2) ( ,2 3).2
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答.
（2）利用正弦定理将 a表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.
a sin A C b sin A sin Asin(π B【详解】（1）在锐角 ABC中，由正弦定理及 得： ) sinB sin A，
2 2 2
试卷第 7页，共 8页
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B B B π B B 1 B π
而 sin A 0，则 cos sin B 2sin cos ，又0 B ， cos 02 2 2 2 ，因此
sin ，即 ，
2 2 2 2 6
B π所以 3 .
π A C 2π π π π（2）在锐角 ABC
π
中，由（1）知， B 3，有
，令 A ，则C
3 3 3
， ，
6 6
π
a c sin A
1 1 2sin( )S ac sinB 3 2sin π由正弦定理得 ， ABC的面积
sinC 2 2 sin( π ) 3
3
3( 3 cos 1 sin )
2 2 3( 3 tan ) 6 3，
3 cos 1 3 tan 3 tan sin
2 2
π π由 3得- < tan 3 2 3 3 tan 4 3 3< ， ，于是得 S 2 3，
6 6 3 3 3 3 2
ABC ( 3所以 面积的取值范围是 ,2 3).
2
试卷第 8页，共 8页
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答案第 1页，共 1页
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