答案和解析
1.D
2.B
3.A
4.B5.A
6.D7.C8.C
9.AC
10.ABD
11.BD
12.ABD
13.632
1
2
14.48015.号
16.2015
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了百分位数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题
因为6×60%=3.6，进而可以求解.
【解答】
解：因为6×60%=3.6，
故数据2,4,4,5,7,8的第60百分位数为5，
故选：D.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布的特点及概率的求解，属于基础题
测试的成绩c近似服从正态分布N(90,σ2)，分析出P(85≤c≤90)=P(90≤c≤95)=0.3，得到
P(c<85)=0.5-P(85≤c≤90)，即可求解.
【解答】
解：因为c近似服从正态分布N(90,σ2)，
所以P(85≤c≤90)=P(90≤c≤95)=0.3，
所以P(c<85)=0.5-P(85≤c≤90)=0.5-0.3=0.2，
所以该班体能测试成绩低于85分的人数估计为50×0.2=10（人）.
故选B.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题以实际问题为背景，考查线性回归方程的求解与应用，
结合题意求出a,b,然后进行求解即可.
第1页，共12页
【解答】
解，由条件可得：估计分别为6-=岩=-04，
1x2-n2
y=0.5,x=2,
故a=-6x=0.5-(-0.44)×2=1.38,
则y=-0.44x+1.38,
所以老张的恩格尔系数为-0.44×2.8+1.38=0.148.
故答案选A.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，属于基础题，
由双曲线的性质求解.
【解答】
解：由题意得双曲线的渐近线为y=士x,
而两条新近线的夹角为号故y=台x的倾斜角为号号故好=号或V3。
e=1+白2=9或2.
故选：B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，属于基础题，
由题意得，当x=1时，a0+a1+a2+…+an=3m,利用二项展开式的通项求出a0=C8·20=1,结合条
件求得n=6,得出二项式系数最大的项为C名·23x3,即可求出结果.
【解答】
解：由题可知，(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anx”,
当x=1时，a0+a1+a2+…+am=3”,
(1+2x)”的展开式中，通项为：Tr+1=C72'x”,
则常数项对应的系数为：a0,即r=0,得a0=C8·2°=1，
所以a1+a2+…+an=3n-1=728,解得：n=6,
则(1+2x)6展开式中二项式系数最大为：C名，
第2页，共12页呼和浩特第二中学高二 2024 年度 4 月月考数学试题
考试内容：立体几何、解析几何、计数原理、概率统计
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.一组数据为2，4，4，5，7，8，则这组数据的第60百分位数是( )
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5
2.某班50名同学参加体能测试，经统计成绩 近似服从 (90, 2)，若 (90 ≤ ≤ 95) = 0.3，则可估计该班
体能测试成绩低于85分的人数为 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 30
3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平
越高.某学校社会调查小组通过调查得到如下数据：
年个人消费总额 /万元 1 1.5 2 2.5 3
恩格尔系数 0.9 0.8 0.5 0.2 0.1
若 与 之间具有线性相关系，老张年个人消费支出总额为2.8万元，据此估计其恩格尔系数为 ( )
(参考数据：∑5
2
=1 5 · = 1.1，∑
5 2
=1 5 = 2.5；参考公式：对于一组数据
( 1, 1), ( 2, 2), . . . , ( , ),其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 =
∑ =1 ·
2 ， = )
∑ 2 =1
A. 0.148 B. 0.138 C. 0.248 D. 0.238
2 2
4.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的离心率 为 ( ) 3
2√ 3 2√ 3
A. B. 2或 C. √ 3 D. √ 3或2
3 3
5. 设(1 + 2 ) = + 2 0 1 + 2 + + , ( ∈ )若 1 + 2 + + = 728，则展开式中二项式
系数最大的项是( )
A. 160 3 B. 60 2 C. 240 4 D. 20 3
6.某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组．现由
甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，则
不同的报名方法有( )
A. 72 B. 100 C. 240 D. 150
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7.已知 ， 两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子 中，乙从盒子 中各
随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子 中;若2个球异色，则乙胜，且
将取出的2个球全部放入盒子 中.按上述规则重复两次后，盒子 中恰有8个球的概率是( )
1 17 17 1
A. B. C. D.
2 35 70 16
| |
8.已知平面上两定点 、 ，则所有满足 = ( > 0且 ≠ 1)的点 的轨迹是一个圆心在 上，半径为
| |
| 2| | |的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体
1
1 1 1 1表面上动点 满足| | = 2| |，则点 的轨迹长度为( )
4 4 √ 3
A. 2 B. + √ 3 C. + D. (2 + √ 3)
3 3 2
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。
9.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列
说法正确的是( )
4
A. 从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
9
5
B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
9
216
C. 从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
625
54
D. 从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
125
10.设等差数列{ }的前 项和为 ，且满足 16 > 0， 17 < 0，则下列结论正确的是 ( )
A. 8 > 0， 9 < 0 B. | 8| > | 9|
C. { }的前 项和中 9最大 D.
1， 2， ， 16中最大的项为 8
1 2 16 8
2 2
11.已知椭圆 : + = 1( > > 0)的左右焦点分别为 ， ，长轴长为4，点 (√ 2, 1)在椭圆内部，点
2 2 1 2
在椭圆上，则以下说法正确的是 ( )
1 √ 2 √ 6
A. 离心率的取值范围为(0, ) B. 当离心率为 时，| 1| + | |的最大值为2 + 2 4 2
1 1
C. 存在点 使得 1 2 = 0 D. + 的最小值为1 | 1| | 2|
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12.如图，在平行四边形 中， = 1， = 2，∠ = 60°，
沿对角线 将△ 折起到△ 的位置，使得平面 ⊥平面
，下列说法正确的有 ( )
A. 平面 ⊥平面
B. 三棱锥 四个面都是直角三角形
√3
C. 与 所成角的余弦值为
4
√21
D. 过 的平面与 交于 ，则△ 面积的最小值为
7
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分。
1
13.( + + √ 2)5的展开式中的常数项是 ．
2
14.将 ， ， ， ， ， 六个字母排成一排，且 ， 均在 的同侧，则不同的排法共有 种. (用数字
作答)
2
15.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为 ，且各局比
3
赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为 ．
1 2 1 1
16.已知数列{ }满足： = 1， = ， = + ( ∈
1 2 )，则 2 2015 = ． +1 +2
三、解答题：本题共 6小题，共 70分。
17.（10 分）2024年春节期间，电影《飞驰人生 2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成
绩．某平台为了了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平台所有参与评价的观众
中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示(单位：人)：
好评 差评 合计
男性 80 200
女性 90
合计 400
⑴把2 × 2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为对该部影片的评价与性别有关；
⑵若将样本频率视为总体概率，从平台参与评价给出“好评”的所有观众中随机抽取3人，用随机变量 表示
被抽到的女性观众的人数，求 的分布列和数学期望．
2
( )
参考公式： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
参考数据：
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0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（12 分）已知数列{ }的前 项和为 ，数列{
}是以 9为首项，1为公差的等差数列．
⑴求数列{ }的通项公式；
⑵求数列{| |}的前 项和 ．
19.(12分)已知过点 ( 4,0)的动直线 与抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)相交于 ， 两点．
1
⑴当直线 的斜率是 时， = 4 .求抛物线 的方程；
2
⑵设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围．
20.（12 分）一只昆虫的产卵数 与温度 有关，现收集了6组观测数据于下表中.由散点图可以发现样本点分
布在某一指数函数曲线 = 1
2 的周围．
温度 / 21 23 25 27 29 31
产卵数 /个 7 11 21 24 66 114
令 = ln ，经计算有：
6 6 6 6
∑ 2 ∑ ∑ ∑( )
=1 =1 =1 =1
26 40.5 19.50 6928 526.60 70
⑴试建立 关于 的回归直线方程并写出 关于 的回归方程 = 2 1 ．
⑵若通过人工培育且培育成本 ( )与温度 和产卵数 的关系为 ( ) = (ln 9.97) + 180(单位：万元
)，则当温度为多少时，培育成本最小？
注：对于一组具有线性相关关系的数据( 1, 1)，( 2, 2)，…，( , )，其回归直线 = + 的斜率和
截距的最小二乘公式分别为
∑ =1 =
∑
, =
=1( )
2
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21.（12 分）某市举办了党史知识竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个
小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参
3 4
赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 ， ，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的
4 5
3 2
概率分别是 ， ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
5 3
⑴若该单位获得决赛资格的小组个数为 ，求 的分布列与数学期望；
⑵已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答
正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢
到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率.
22.(12 分)如图，在三棱锥 中， = 2， = 2√2， = ， , , , 的中点分别为
√22
, , , ， = ， = 2 , ⊥ .
2
⑴求 的长；
⑵证明：平面 ⊥平面 ；
⑶求平面 和平面 夹角的余弦值.
P
D
E
B O C
F
A
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