辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
l．在等差数列中，，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
2．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件 C． D．
3．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为（ ）
A．0.5 B． C． D．1
4．己知随机变量的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．己知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（ ）
A．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后分两种情况：放回和不放回；在这两种情况下，第2次摸到红球的概率不同
B．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为
C．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为
D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
6．考察下列两个问题：①己知随机变量，且，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，若表示不超过x的最大整数，，则数列的前2024项和（ ）
A．1012 B．1011 C．2024 D．2025
8．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，己知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A． B．中的最小值为
C．使的n的最大值为32 D．
10．设为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲嬴得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（ ）
A． B． C． D．单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算______
13．已知是一个随机试验中的两个事件，若，则________
14．在数列中，若存在常数t，使得恒成立，则称数列为“数列”若数列为“数列”，且，数列为等差数列，且则_____（写出通项公式）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）己知数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前6项和．
16．（15分）今年是共建“一带一路”倡议提出十周年，某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束，若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，己知甲同学参与了问卷调查，请回答下面的问题
（1）在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为多少？
（2）若甲获得奖品，则甲先抽取哪个颜色小球的机会最小？说明理由
17．（15分）我国规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效，某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 40 p
注射疫苗 60 q
总计 100 100 200
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒"的小白鼠的概率为．
（1）求列联表中的数据的值；
（2）能否有把握认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，设抽到未注射疫苗的小白鼠X只，请写出X的分布列与期望．
附：．
18．（17分）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，己知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为．
（1）若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少要参加多少轮竞赛．
19．（17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有一A元）概率为，请回答下列问题：
（1）请直接写出与的数值．
（2）证明是一个等差数列，并写出公差d．
（3）当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考答案
一、选择题 1~5 BCCAD 6～8 CDB
二、多选题 9．ABD 10．BCD 11．CD
三、填空题 12．0 13．3 14．
四、解答题
15．（1）……6分
（2）151……7分
16．设，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
（1）在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：
……5分
（2）由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
……8分
则……10分
……12分
，……14分
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小……15分
17．（1）由题意，易得，4分
（2）由
得，……9分
所以没有把握认为注射此种疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，
12分
分布列为
X 1 2 3
P
由题意可知
……15分
18．（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件A，则事件A包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题．
；……6分
（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
……10分
又
当且仅当时，等号成立，
，
令则
开口向下，对称轴：当时，……14分
设要进行n轮竞赛，则解得：
至少要进行7轮竞赛．……17分
19（1）当时，赌徒已经欠债元，因此．
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率．……4分
（2）记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件，
，
即，
所以，
所以是一个等差数列，……7分
设，则，
累加得，故，
得……10分
（3），由得，即，
当时，，
当时，，……15分
当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债．……17分