第五章 相交线与平行线证明题提升训练（含解析）

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人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线证明题提升训练
1．已知：如图，，，求证：．

2．如图，已知，，，求．（请填空）
解：∵，
∴________（________________）
又∵，
∴（________________）
∴________（________________________）
∴________（________________________）
∵，
∴________（____________）
3．如图，．
(1)若是的角平分线，，求的度数；
(2)若，求证：．
4．根据解答过程填空：
已知：如图，，求证：．

证明：∵（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴．
∵（已知），
∴，（ ）
∴（ ），
∴（ ）．
5．如图，在中，，垂足为D，点E在上，在F在上．
(1)若，，与平行吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数．
6．如图，于点，于点，，求，的度数．
7．如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点F处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
8．如图，，，试说明．
9．如图所示，于点F，于点M，，．求证：．

10．如图，中，平分，，交于点．
(1)求证：；
(2)若， 求的度数．
11．如图，，，E、F分别是，上的点，连接，．

(1)求证：；
(2)若和分别平分和，求证：．
12．如图， ，， ．求证：．
13．如图，已知，，垂足分别为D，F，，求证：．
14．如图，是的角平分线，，．
(1)求证；
(2)若，则 ．
15．如图，，，，分别是边上的点，，．

(1)求证：；
(2)若，，请直接写出的度数．
16．如图，直线、交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
17．如图，点在一条直线上，与交于点．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，说明．
18．把下面的证明过程补充完整．
已知：如图：中，于点D，于点F，交于点G，交的延长线于点E，平分．求证：．
证明：∵于点D，于点F（已知）
∴，（____________）
∴（____________）
∴（____________）
∴______（____________）
______（两直线平行，同位角相等）
∵平分（已知）
∴（____________）
∴（____________）
19．如图，已知．
(1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若平分，试求的度数．
20．如图，已知平分，，求证：．
21．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
22．已知．
(1)如图1所示，判断，，之间的数量关系并说明理由；
(2)如图2所示，判断，，之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，设，，．请直接写出的大小；（用含的式子表示）．
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参考答案：
1．
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键熟练掌握平行线的判定及性质．首先证明，再根据平行线的性质得出，然后结合已知条件可得到，进而可判定，据此可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．； 两直线平行， 同位角相等； 等量代换； ； 内错角相等， 两直线平行； ； 两直线平行，同旁内角互补； ； 补角定义
【分析】此题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的判定与性质即可，解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定及其应用．根据题干提示完善推理过程与推理依据即可.
【详解】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵，
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵，
∴（补角的定义）；
3．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知，，由，可得，然后作答即可．
（2）由，可得，则，进而可证．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
4．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，找准平行线判定的条件是解题的关键．结合图形根据平行线的判定与性质依次填写理由即可．
【详解】证明：∵（邻补角定义），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴．
∵（已知），
∴，（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
5．(1)，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
6．，
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据垂直于同一直线的两直线平行得到，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
7．(1)，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）与平行，理由为：由，都与垂直，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由与平行，利用两直线平行同位角相等得到，由折叠得到，即可求出的度数．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
因为将纸片沿折叠，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，
所以，
因为，
所以，
因为将纸片沿折叠，
所以．
8．见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角的性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
先证明，得到，再根据，得到，从而根据平行线的判定定理得出结论．
【详解】证明：∵，（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
9．见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用．由垂直的性质得到，进而可证，根据平行线的判定得到，再由，可证，然后根据平行线的判定即可得到．
【详解】证明：∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（平行于同一直线的两直线互相平行）．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，
（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，即可得证；
（2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得出答案；
掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴的度数是．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．
（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义得出，，证明，根据，得出，根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
．

（2）证明：分别平分，
，，
又，
，
又，
，
．
12．见解析
【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定定理，并能正确识别同位角、同旁内角、内错角是解题关键．先根据已给的角度判断，从而可得，再根据等量代换可得，从而可证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由垂直于同一直线的两直线平行得到，则，进而得到，则，据此可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义：
（1）由角平分线定义，得，由两直线平行内错角相等，得到，，等量代换即可得证；
（2）由平行线的性质得到，再由平角的定义得到，据此可得答案．
【详解】（1）证明： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质和判定；
（1）由的对顶角+，可得，由平行线的性质，可得，，由平行线的判定定理即可得证，
（2）通过平行线的性质求出的度数，再结合，，可求的度数，最后求出的度数．
【详解】（1）证明：如图所示：
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
，
又，
，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得，设，则，结合可得关于的一元一次方程，解得的值，可求得，然后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
设，，
则，
即，解得，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
17．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：
（1）根据垂直于同一直线的两直线平行即可得到结论；
（2）先由平行线的性质得到，进而推出，则可证明，进而证明．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义；等量代换；
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义，根据题干信息逐步填写推理依据或推理步骤即可．
【详解】证明：∵于点D，于点F（已知），
∴，（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同位角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∴（等量代换）．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（1）根据证得，已知，等量代换得出，证得；
（2）根据证得，，根据平分得出，求出的度数，再根据垂直的定义求出即可．
【详解】（1），理由：
，
，
，
又，
，
．
（2），
，
又平分，
，
，
又，
20．证明见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键由角平分线的定义可得，再根据平行线的判定得到， 继而得到，即可得证．解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【详解】证明：∵平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定：
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
（1））作，如图，利用平行线的判定和性质解答即可得出结论；
（2）如图，过点P作，利用平行线的判定和性质解答即可得出结论；
（3）过点M作，过点N作，根据平行线的判定和性质可求得，，然后根据可得答案；
【详解】（1），理由如下：
如图，作，
，
，
，
，
即，
（2）理由如下：
如图，过点P作，
，
，
，，
，
（3）如图，过点M作，过点N作，
，
，
，，，
，，，
，，，
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