辽宁省沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 426.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 15:13:12 | ||
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文档简介
沈阳市第120中学2023-2024学年高二下学期第二次质量监测
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有g 顶是符合题目要求的．
1．求值：（ ）
A． B． C． D．1010
2．等差数列和的前n项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设等差数列的前n项和为，，，，则正整数（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知数列满足，，令，若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是公比不为1的等比数列的前n项和，则“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，，且（，），设（[x]表示不超过实数x的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．
11．对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12．已知，则__________．
13．已知，记，…，，…，则__________．
14．数列满足，前16项和为540，则__________．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知函数，．
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值．
16．（本小题15分）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（本小题15分）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选-某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
18．（本小题17分）过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
19．（本小题17分）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，问：是否存在实数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
参考答案及评分标准
一、单选题：
BDAC CBAC
二、多选题：
BC，BCD，BD
三、填空题：
1024，，7
四、解答题：
15．【答案】解：（1）由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率，
从而切线方程为，即．
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意．
16．【答案】解：（1）由题意设等差数列的公差为d，等比数列的公比，
则由题意有，，解得，，
所以和的通项公式分别为，，；
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为，．
17．【答案】解：（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，
所以，；
（2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，，则上式化为，即，
解得，即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
18．【答案】解：（1）易知为等比数列，．
（2）利用二项式定理，易证．
（3）错位相减后即证．
19．【答案】解：（1）．
由，得．
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，．
（2）由，得．当时，，得．
所以．
（3）假设数列是单调递增数列，则对恒成立．
①当时，由，得；
②当时，．
若，，则恒成立，
而单调递增，当时取最小值，得；
若，，则恒成立，
而单调递减，当时取最大值，得．
综上所述，存在实数，且的取值范围是．
数 学
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题；本题共8小题，满分40分．每小题给出的选项中，只有g 顶是符合题目要求的．
1．求值：（ ）
A． B． C． D．1010
2．等差数列和的前n项和分别记为与，若，则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列是等比数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设等差数列的前n项和为，，，，则正整数（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知数列满足，，令，若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是公比不为1的等比数列的前n项和，则“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数m，n，使得，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，，且（，），设（[x]表示不超过实数x的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．
11．对于无穷数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有（ ）
A．若数列单调递增，则数列单调递增
B．若数列是常数列，，则数列是周期数列
C．若，则数列没有最小值
D．若，则数列有最大值
三、填空题：本题共3小题，满分15分．
12．已知，则__________．
13．已知，记，…，，…，则__________．
14．数列满足，前16项和为540，则__________．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知函数，．
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值．
16．（本小题15分）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（本小题15分）牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选-某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加．
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，）
18．（本小题17分）过点作曲线（，常数，）的切线．切点为，点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为，点在x轴上的投影是点；……依此类推，得到一系列点，，…，，设点的横坐标为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：．
19．（本小题17分）已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，问：是否存在实数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
参考答案及评分标准
一、单选题：
BDAC CBAC
二、多选题：
BC，BCD，BD
三、填空题：
1024，，7
四、解答题：
15．【答案】解：（1）由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率，
从而切线方程为，即．
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意．
16．【答案】解：（1）由题意设等差数列的公差为d，等比数列的公比，
则由题意有，，解得，，
所以和的通项公式分别为，，；
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为，．
17．【答案】解：（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列，
所以，；
（2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，，则上式化为，即，
解得，即，所以，，
即，所以，
所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入．
18．【答案】解：（1）易知为等比数列，．
（2）利用二项式定理，易证．
（3）错位相减后即证．
19．【答案】解：（1）．
由，得．
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，．
（2）由，得．当时，，得．
所以．
（3）假设数列是单调递增数列，则对恒成立．
①当时，由，得；
②当时，．
若，，则恒成立，
而单调递增，当时取最小值，得；
若，，则恒成立，
而单调递减，当时取最大值，得．
综上所述，存在实数，且的取值范围是．
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