专题02代数方程（考点串讲） 课件（共55张PPT）-八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版）

(共55张PPT)
八年级沪教版数学下册期中考点大串讲
串讲02 代数方程
技巧总结
01
02
04
05
03
目
录
易错易混
典例剖析
考点透视
考场练兵
代数方程
整式方程
有理方程
无理方程
列方程（组）解应用题
分式方程
一元方程
多元方程组
二元一次方程组
一次方程
高次方程
二次方程
二元二次方程组
考点透视
化归思想与方法
特殊的
高次方程
低次方程
原方程的根
换元
因式分解
分式方程
整式方程
检验
原方程的根
去分母
换元
求解
求解
舍去增根
无理方程
有理方程
检验
原方程的根
去根号
求解
舍去增根
由两个二元二次方程组成的方程组
含一次方程的
二元二次方程组
回代求出另一
个未知数的值
原方程组的解
因式分解
代入消元求出一个未知数的值
特殊的二元二次方程组
1、字母系数方程的讨论
关于ax=b的解有三种情况
关于ax2=m的解的情况
解方程
典例剖析
2、特殊高次方程的解法
一般地,二项方程
可转化为
,转化为求一个数的n次方根
解关于x的双二次方程
换元法，y代替x2，转化为关于y的一元二次方程
方程可转化为等号左边是多项式，右边是零
用因式分解的方法可得A·B=0从而转化成 A = 0或 B = 0
1.方程x3+8=0的根是 ______ ．
【解析】解：(法1)方程可变形为x3=-8，
因为(-2)3=-8，
所以方程的解为x=-2．
故答案为：x=-2
(法2)方程可变形为x3=-8，
所以x= =-2．
故答案为：x=-2
x=-2
2.解方程：(2x-5)2-2(2x-5)-3=0．
【解析】解：(2x-5)2-2(2x-5)-3=0，
解：设2x-5=y,
则原方程可化为y2-2y-3=0，
∴(y-3)(y+1)=0．
解得y1=3，y2=-1．
当y=3时，即2x-5=3，解得x=4；
当y=-1时，即2x-5=-1，解得x=2．
所以原方程的解为：x1=2，x2=4．
使最简公分母为零
3、分式方程的解法
解分式方程的基本思路是：
通过“去分母”将分式方程转化为整式方程
解分式方程的一般步骤：
分式方程
同乘以最简公分母
整式方程
检验
舍去
写出方程的根
使最简公分母不为零
去分母的关键是确定最简公分母，
　在转化过程中要注意不要漏乘，不忘检验。
4、用换元法解分式方程
1.原方程可看作某一分式的二次方程.
2.原方程含有未知数的几个分式有互为倒数的关系.
特别注意：换元法解分式方程需要验根两次
第1次检验y的方程是否有增根
第2次是回代后的关于x两个方程是否有增根
题型一：直接换元
例题1
解方程：
技巧总结
题型二：倒数换元
例题2
解方程：
题型三：配方换元
例题3
解方程：
所以，原方程的根是
例题4
解方程组：
题型四：换元法解分式方程组
分析：
观察方程组中所含的分式，它们的分母是或联想“换元”的方法，如果把看作两个不同的“整体”，分别用代替，即设= ，转化为二元一次方程组进行求解.
8.
【解析】解：设 =a, =b,
∴原方程化为： ，
解得： ，
∴ =1， =2，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程组的解．
5、无理方程的解法
解无理方程的一般步骤：
是
开始
去根号
解有理方程
检验
具体方法:平方法
体现的数学思想：化归思想
无理方程有理化
结束
检验
写出原方程的根
舍去
不是
观察分析的方法也是解无理方程的一种好方法
3.解方程：
【解析】解：原方程两边同时平方得：3x+4=x2，
整理得：x2-3x-4=0，
因式分解得：(x+1)(x-4)=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∵3x+4≥0且x≥0，
∴x≥0，
则x=-1应舍去，
故原方程的解为：x=4．
6、有关增根的问题
增根产生的原因：
在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或
有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根
如何检验是否增根
将解分式方程转化成整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根
将解无理方程转化成有理方程的根代入原方程的左右两边，若使方程左右两边的值不相等的根为增根，否则为方程的根
4.若分式方程 有增根x=-1，求k的值．
【解析】解：两边都乘以x(x-1)(x+1)，得：(k-1)x-(x+1)=(x+1)(k-5)，
∵方程有增根x=-1，
∴代入整式方程，得：-(k-1)=0，
解得：k=1．
7、二元二次方程（组）
二·一型二元二次方程组
代入消元法、因式分解降次法和利用根与系数关系
二·二型二元二次方程组
因式分解法
5.解方程组： ．
【解析】解： ，
法一、由②，得x=1-y③，
把③代入①，得(1-y)2+4(1-y)×y+4y2=9，
整理，得y2+2y-8=0．
∴(y+4)(y-2)=0．
∴y1=-4，y2=2．
把y1=-4，y2=2分别代入③，得x1=5，x2=-1．
∴原方程的解为 ， ．
法二、由①，得(x+2y)2=9，
∴x+2y=3或x+2y=-3．
于是原方程组可化为 或 ．
解这两个方程组，得 ， ．
所以原方程组的解为： ， ．
6.解方程组： ．
【解析】解：由①，得x(x+y)=0，
∴x=0或者x+y=0．
由②，得(x2-2xy+y2)-1=0，
∴(x-y)2-1=0．
∴(x-y+1)(x-y-1)=0．
∴x-y+1=0或者x-y-1=0．
所以原方程组可变形为 或 或 或
解得 ， ， ， ．
所以原方程组的解为 ， ， ， ．
8、列方程（组）解应用题
审题
设元
找等量
关系
列方程
解方程
检验
作答
①检验是否是所列方程的解
②检验是否符合实际意义
增长率问题，工程问题，行程问题……
7.甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，那么可列方程为( ____ )
A. B.
C. D.
【解析】解：设工作总量为1，工程期限为x天，
C
那么甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效率为 ．
根据题意，所列方程为 ，
化简得 ．
故选：C．
8.某商店以每件20元的价格购进一批文具盒，然后以每只30元的价格出售，结果每周可以售出400只，后来经过市场调查发现：当单价每提高0.5元，每周销售量会少10只，如果某一周销售这种文具盒的总利润是4500元，那么这周每只文具盒的售价为多少元？
【解析】解：设这周每只文具盒的售价为x元，
由题意知：(x-20) ，
整理得x2-70x+1225=0，
解得x1=x2=35，
即这周每只文具盒的售价为35元．
9.近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
【解析】解：设甲计划每年缴纳养老保险金x万元，则乙计划每年缴纳养老保险金(x-0.1)万元，
根据题意得： - =4，
整理得：10x2-11x+3=0，
解得：x1=0.5，x2=0.6，
经检验，x1=0.5，x2=0.6均为所列方程的解，x1=0.5不符合题意，舍去，x2=0.6符合题意．
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
10.A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度．
【解析】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千米/时，
根据题意得： - =3，
整理得：x2+20x-2400=0，
解得：x1=40，x2=-60，
经检验，x1=40，x2=-60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=-60不符合题意，舍去．
答：汽车原计划的速度为40千米/时．
1.下列各题下列各题解方程的过程错在哪里？ 的
（1）解关于x的方程：
bx2+1=2(b≠0)
解：bx2=1
x2= —
∴x=±
b
1
需要讨论
易错易混
（2）解方程：
x+1
2x
——
－ —
1
x
=2
甲同学：方程左右两边同乘以
x(x+1)得
2 x －x－1= 2
x= 3
检验：当x= 3时，x(x+1) ≠0
∴原方程的根为x= 3
常数也要乘以公分母
注意变号
乙同学：方程左右两边同乘以 x(x+1)得
2x －x＋1＝2x(x＋1)
2x2＋x－1=0
解得x1= — ，x2=－1
1
2
经检验：x=－1是增根，舍去
∴原方程的根为
x= —
2
1
2.下列各题解方程的过程错在哪里？
（3）解方程：
解：原方程可化为
方程两边同乘以3x(x-1)得
3x－(x－1)=x
解得x= ﹣1
检验：当x=﹣1时，3x(x﹣1) ≠0
∴原方程的根为x=﹣1
代入原方程的最简公分母进行检验
3.下列各题解方程的过程错在哪里？
（4）解方程：
解：原方程化为
方程左右两边同时平方得
x2－5x + 6 = 2
x2－5x＋4=0
∴x1=1，x2=4
(x－1)(x－4)=0
∴原方程的根为x1=1，x2=4
(x－2)(x－3)
2
=
检验：当 时，原方程左边=右边
x1=1，x2=4
要代入原无理方程进行检验
4.下列各题解方程的过程错在哪里？
（5）解方程组：
5x2－y2=11
2x－y=1
①
②
解：由②得y=2x－1③
将③代入①得5x2－(2x－1)2=11
即x2＋4x－12=0
解得x1=2，x2=﹣6
把x=2代入①得y=±3
把x=﹣6代入①得y=±13
∴原方程组的解为
x1=2
y1=3
x2=2
y2=﹣3
x1=﹣6
y1=13
x1=﹣6
y1=﹣13
回代二元一次方程求另一个未知数
5.下列各题解方程的过程错在哪里？
1.下列方程中，属于二项方程的是( ____ )
A.2x3+9=0
B.x3+5x=0
C.x4+2x2=1
D. +4=0
【解析】解：2x3+9=0，符合二项方程的结构特点，故A属于二项方程；
x3+5x=0，由于等号左边没有常数项，故B不属于二项方程；
x4+2x2=1，该方程共三项不是两项，故C不属于二项方程；
+4=0，由于该方程不是整式方程，故D不属于二项方程．
A
考场练兵
故选：A．
2.下列方程或方程组中，有实数解的是( ____ )
A.x2+y=-1 B.
C. D.
【解析】解：A、当x=1，y=-2时，x2+y=12+(-2)=-1，故x2+y=-1有实数解，符合题意；
B、两边同时乘x2-4得：x=-2，当x=-2时，x2-4=0，故 没有实数解，不符合题意；
A
C、由二次根式有意义的条件可得：x-1≥0，1-x≥0，解得x=1，此时左边≠右边，故 没有实数解，不符合题意；
D、由 得： ，整理得：x2+6x+12=0，Δ=62-4×1×12=-12＜0，方程x2+6x+12=0无解，故 没有实数解，不符合题意；故选：A．
3.甲乙两地间公路长300千米，为适应经济发展，甲地通往乙地的客车的速度比原来每小时增加了40千米，时间缩短了1.5小时．若设客车原来的速度为每小时x千米，则下列方程中符合题意的是( ____ )
A. B.
C. D.
【解析】解：由题意，得
C
．
故选：C．
4.方程 =0的根为 _____ ．
【解析】解：根据题意得x-4=0或x+2=0，
解得x=4或x=-2，
经检验x=4为原方程的解．
故答案为x=4．
x=4
5.当m= ____ 时，关于x的方程 会产生增根．
【解析】解： ，
5+m=1-x+2，
x=-2-m,
当x-2=0时，原方程会产生增根，
即当x=2时，原方程会产生增根，
∴-2-m=2，
解得：m=-4．
故答案为：-4．
-4
6.方程x3+8=0的根是 ______ ．
【解析】解：(法1)方程可变形为x3=-8，
因为(-2)3=-8，
所以方程的解为x=-2．
故答案为：x=-2
(法2)方程可变形为x3=-8，
所以x= =-2．
故答案为：x=-2
x=-2
7.将二元二次方程x2-5xy+6y2=0化为两个一次方程为 ____________________ ．
【解析】解：∵x2-5xy+6y2=0，
∴(x-2y)(x-3y)=0，
∴x-2y=0，x-3y=0．
故答案为：x-2y=0，x-3y=0．
x-2y=0，x-3y=0
8.方程 的解为 _____ ．
【解析】解： ，
方程两边平方得：x+2=x2，
x2-x-2=0，
(x-2)(x+1)=0，
x-2=0或x+1=0，
x1=2，x2=-1，
经检验x=-1不是原方程的解，x=2是原方程的解．
故答案为：x=2．
x=2
9.方程x3-3x2-4x=0的根是 　　．
【解析】解：∵x3-3x2-4x=0，
∴x(x2-3x-4)=0，
∴x=0或x2-3x-4=(x+1)(x-4)=0，
解得x1=0，x2=-1，x3=4．
故答案为：x1=0，x2=-1，x3=4．
10.方程x4-16=0的根是 ____ ．
【解析】解：∵x4-16=0，
∴(x2+4)(x+2)(x-2)=0，
∴x=±2，
∴方程x4-16=0的根是±2，
故答案为±2．
±2
11.某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程：　　．
【解析】解：设他原计划平均每天读x页书，根据题意得：
，
故答案为： ．
12.解方程： ．
【解析】解：去分母得：(x+2)2-16=x-2，
整理得：x2+4x+4-16=x-2，即x2+3x-10=0，
分解因式得：(x-2)(x+5)=0，
解得：x=2或x=-5，
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
当x=-5时，(x+2)(x-2)≠0，
∴x=2是增根，分式方程的解为x=-5．
13. ．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴x2+4x+4=16x-16，
∴x2-12x+20=0，
∴(x-2)(x-10)=0
解得x1=2，x2=10．
14.解方程组： ．
【解析】解： ，
方法1：将方程①的左边分解因式，方程①可变形为(x-3y)2=4．
即x-3y=2或x-3y=-2，
将它们与方程②分别组成方程组，得
(I) 或(II) ，
解方程组(I)，得 ，
解方程组(II)，得 ，
所以，原方程组的解是 ， ；
方法2：由方程②，得x=-4-3y③，
把③代入①，得(-4-3y)2-6(-4-3y)y+9y2=4．
整理，得3y2+4y+1=0，
解这个方程，得 ，y2=-1，
把 代入③，得x1=-3，
把y2=-1代入③，得x2=-1，
所以，原方程组的解是 ， ．
15.在△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,BC=12cm,动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/s,点N的速度为3m/s,点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止，问经过几秒，△MCN的面积为36cm2？
【解析】解：设经过x秒，△MCN的面积为36cm2，依题意有
×3x(16-2x)=36，
解得x1=2，x2=6
经检验x2=6不符合题意，舍去．
则x=2．
答：经过2秒，△MCN的面积为36cm2．
16.甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校10千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了15分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【解析】解：设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行(x+2)千米，
由题意得， ，
解得：x1=-10，x2=8，
经检验：x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10，不符合题意，
故舍去，
则甲平均每小时骑行8+2=10千米．
答：甲平均每小时骑行10千米，乙平均每小时骑行8千米．