专题03四边形（考点串讲）-八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版）

(共86张PPT)
八年级沪教版数学下册期中考点大串讲
串讲03 四边形
技巧总结
01
02
04
05
03
目
录
易错易混
典例剖析
考点透视
考场练兵
首尾顺次
n边形
相邻两边
延长线
n
n
n
n
D
考点透视
不相邻
7
C
相等
相等
同一侧
C
D
(n－2)×180°
C
C
360°
B
相等
相等
互补
十
C
平行四边形
ABCD
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
相等
相等
5cm
125°
55°
125°
互相平分
21
全等
相等
2
2
8
3＜x＜13
相等
相等
118°　
互相平分
C
平行且相等
4
中点
平行
一半
3
B
直角
平行且相等
都是直角
互相平分且相等
2
等于斜边的一半
5
相等
B
三
C
邻边
两条对角线所在的直线
相等
互相垂直平分
平分
16
一半
24
有一组邻边相等
四条边相等
对角线互相垂直
四条边相等的四边形是菱形
直角
相等
互相垂直平分且相等
22.5°
相等
直角
矩形
菱形　
D
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium).在梯形中,平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底);不平行的两边叫做梯形的腰;两底之间的距离叫做梯形的高(如图 22 -46(1)).
如图 22 - 46(2)(3),有一个角是直角的梯形叫做直角梯形(right-angled trapezium);两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isoscelestrapezium),它们都是特殊的梯形.
知识点27：梯形
自我诊断35.在直角梯形ABCD中，AD//BC, ∠ A=90°,
AD=10cm，DC=13cm，BC=15cm，求AB的长。
作高,将梯形问题转化成直角三角形和矩形.
解：作DE⊥BC于点E ，则∠DEB=90°
∵ AD//BC，
∴ ∠A+ ∠ B=180 °
∵ ∠A=90 °
∴ ∠B=90 °
∵ ∠A=90 °,∠B=90 °,∠DEB=90°
∴四边形ABED是矩形
∴AD= BE，AB=DE
∵AD=10cm，BC=15cm
∴EC=BC-BE=BC-AD=5cm
在Rt△DEC中，
∵ ∠DEC=90°
∴
∴AB=12cm
自我诊断36.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,
∠D=2 ∠B,AD=10,AB=15,求CD的长。
平移一腰,将梯形问题转化成三角形和
平行四边形.
解：作CE //DA交AB于点E
∵ AB//DC， CE //DA
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE=DA， DC=AE， ∠D= ∠ 1
∵AD=10 ，∠D= 2∠ B
∴CE=10， ∠1= 2∠ B
∵ ∠1= ∠ B+ ∠ 2
∴∠2= ∠ B
∴EB= EC=10
∵AB=15
∴AE=AB-EB=5
∴CD=5
E
1
2
知识点28：等腰梯形的三种判定方法：
①两腰相等的梯形是等腰梯形。
②同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
③对角线相等的梯形是等腰梯形。
自我诊断37.已知：矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AE=FD。
求证：四边形EBCF等腰梯形。
证明：∵　四边形ABCD是矩形
∴ AB=DC，AD∥BC，
∠A=∠D=900
∵ AE=DF
∴ △ABE≌△DCF（SAS）
∴ EB=FC
又 ∵ EF∥BC,且EF≠BC,
∴四边形 EFCB是梯形
∴ 四边形EBCF是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）
A E F D
B C
　　梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
知识点29：梯形中位线定理：
∵AD ∥BC
　AM＝MB,DN＝NC
∴ MN ∥ BC
　MN＝（BC＋AD）
（梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半）
自我诊断38.一个梯形的上底长4 cm，下底长6 cm，则其中位线长为 cm；
自我诊断39.一个梯形的上底长10 cm，中位线长16 cm，则其下底长为 cm；
5
22
向量：既有大小、又有方向的量.
几何表示：
有向线段
A
B
符号语言： ，
模： ，
位置向量
自由向量
相等向量
相反向量
平行向量
向量的模型——位移
从始点A出发到终点B的过程中的位移为 .
位移由运动过程中的始点和终点确定，而与运动的路径无关.
知识点30：平面向量
一、向量加法的运算（作图）法则：
二、向量减法的运算（作图）法则：
1、三角形法则，（起点和终点重合）
2、多边形形法则（首尾依次相连接）
1、三角形法则（共起点，尾相连）
3、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
2、平行四边形法则（共起点，做平行四边形）
以共起点为起点的对角线向量，就是a，b的和向量；
与被减向量共终点的对角线向量，就是a，b的差向量。
知识点31：平面向量的加减
自我诊断40.不画图怎样直接计算：
______________
______________
______________
“共”“起”点
“减”到“被”
向量减法的要领是什么？
A
C
典例剖析
不唯一，如DE＝EC
32cm或34cm
C
AB＝BC或AC⊥BD
A
B
易错易混
B
C
(3,2)或(－3,2)或(5，－2)
技巧1：特殊平行四边形的证明与计算
技巧总结
C
A
B
技巧2：四边形中的图形变换
C
B
5
6
40°
B
技巧3：解决梯形问题的基本思路和方法：
通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决。
常画的辅助线有以下几种：
B
A
D
C
E
作一腰平行线
B
A
D
C
E
F
作高线
E
B
A
D
C
延长两腰
B
C
D
A
O
E
作对角线的平行线
1.一个多边形的内角和是540°，这个多边形是( ____ )
A.五边形
B.六边形
C.七边形
D.八边形
【解析】解：设多边形的边数是n,则
(n-2) 180°=540°，
解得n=5，
∴这个多边形是五边形，
故选：A．
A
考场练兵
2.下列等式中不正确的是( ____ )
A.
B.-(- )=
C.( + )+ = +( + )
D. +(- )= -
【解析】解：A、 ，符合题意；
B、-(- )= ，不符合题意；
C、( + )+ = +( + )，不符合题意；
A
D、 +(- )= - ，不符合题意．
故选：A．
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( ____ )
A.AB=AD且AC⊥BD
B.AC⊥BD且AC和BD互相平分
C.∠BAD=∠ABC且AC=BD
D.AC=BD且AB=AD
【解析】解：A、AB=AD且AC⊥BD，是菱形，不符合题意；
B、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意；
C、∠BAD=∠ABC且AC=BD不能判断四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D
D、AC=BD且AB=AD四边相等，是正方形，符合题意；
故选：D．
4.已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为( ____ )
A.4.5 B.5.5 C.6 D.6.5
【解析】解：如图，过D作DE∥AB，∴BE=AD，AB=DE，
∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，
当梯形的两底长分别为4和8，腰分别为5和7，
即DE=5，BE=4，
C
∴CE=4，
∵4+5＞7，∴DE，CE，CD能构成三角形，
∴中位线长= (4+8)=6，
当梯形的两底长分别为5和8，腰分别为4和7，DE，CE，CD不能构成三角形，其他情况也是一样，
综上所述，中位线长可以为6，故选：C．
5.如果O是正方形ABCD对角线AC、BD的交点，那么向量 、 、 、 是( ____ )
A.相等向量 B.相反向量
C.平行向量 D.模相等的向量．
【解析】解：∵O是正方形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴OA=OC=OB=OD，
∴| |=| |=| |=| |，
D
∵ 、 、 、 的方向不同，
∴ 、 、 、 是模相等的量，
故选：D．
6.四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′=30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是( ____ )
A. B. C. D.1
A
【解析】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：则∠D'MA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠DAD′=30°，∴∠D'AM=90°-30°=60°，∴∠AD'M=30°，
∴AM= AD'，D'M= AM= AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M= AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比= = ，故选：A．
7.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，那么阴影部分的面积是 ____ ．
【解析】解：设AP与EF相交于O点．∵四边形ABCD为菱形，
45
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
∴菱形ABCD的面积= AC BD=90，
∴图中阴影部分的面积为90÷2=45．
故答案为：45．
8.已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ____ ．
【解析】解：因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：AB=10，AC=12．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6，
∴BO=8，BD=16．
∴面积S= AC×BD=12×16× =96．
故答案为96．
96
9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B=60°，BC=6cm,则梯形ABCD的周长为 ____ ．
【解析】解：∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，∠DAB=∠B=60°，
∴AB=2BC=12，∠DAC=30°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC=30°，
30
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=6，
∴等腰梯形的周长为：AB+BC+CD+AD=12+6+6+6=30．
故答案为：30．
10.如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，设 ，用向量 、 表示向量 =　　．
【解析】解：∵点D是边AC的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ =- ，
故答案为：- ．
11.如图，在 ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠B=50°，则∠FAE的度数是 _____ ．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠B=50°，
∴∠C=180°-∠B=130°，
∵AE⊥BC、AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠FAE=360°-∠AEC-∠AFC-∠C=50°，
故答案为：50°．
50°
12.一个多边形的内角和是2880°，则这个多边形是 ____ 边形．
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n-2)×180°=2880°，
∴n=18．
故答案为：18．
18
13.我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为 和4，那么它的最大的内角为 _____ 度．
【解析】解：如图所示：
在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2 ，BC=4时，∠BAD最大；
由勾股定理得：AC= =2 ，
∴AC=AB，
∴∠B=45°，
135
∴∠BAD=180°-∠B=135°．
故答案为：135．
14.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD边于点E，若△EDC的周长为15厘米，则平行四边形ABCD的周长为 ____ 厘米．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O点为AC中点．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE．
∴△EDC的周长=CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=15．
∴平行四边形ABCD周长为2×15=30．
30
故答案为：30．
15.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，对角线AC与BD相交于点O，且BD=BC，那么∠AOB= ____ 度．
【解析】解：如图，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC= AB，AF= AB，
∴AF= BC．
75
又∵DE=AF，
∴DE= BC= BD，
∴ = ，
∴sin∠1= ，
∴∠1=30°，
∴∠BOC=180°-30°-45°=105°，
∴∠AOB=180°-∠BOC=180°-105°=75°，
故答案为：75．
16.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，如果AB=2，EF=3，那么CD= ____ ．
【解析】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF= (AB+CD)，
∴CD=2EF-AB=6-2=4．
故答案为：4．
4
17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF=3，则AD的长为 ____ ．
【解析】解：∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴ ，
∴CD=6，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，
∴AD=CD=6．
故答案为：6．
6
18.对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，且△ABC的面积为m.如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么m的取值范围 　　．
【解析】解：∵△ABC的面积为m,
∴△ABC的BC边上的为高 ，
如图：当高取最小值时，△ABC为等边三角形，
点A与M或N重合，
____
如图：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵等边三角形ABC，BC=4，
∴∠ABC=60°，BC=4，∠BAD=30°．
∴BD=2，
∴AD= BD=2 ，
∴ =2 ，即m=4 ．
如图：
___
当高取最大值时，菱形为正方形，
∴点A在MN的中点，∴ =4，
∴m=8，∴4 ≤m≤8，
故答案为：4 ≤m≤8．
19.如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE=CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
∴BE=CD；
(2)∵BE=AB，BF平分∠ABE，
∴AF=EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF(ASA)，
∴DF=CF，
又∵AF=EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
20.已知：如图矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，设 ， ．
(1)填空： =　　；(用a、b的式子表示)
(2)在图中求作 ．
(不要求写出作法，只需写出结论即可．)
【解析】解：(1)∵ ， ， ，
∴ = ，
故答案为： ；
(2)如图所示， 即为所求；
__
21.如图，已知在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内任意一点，点D、G、E、F分别是AB，AC，OB，OC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若∠A=2∠BDE，求证：四边形DEFG是矩形．
【解析】证明：(1)∵点D、G、E、F分别是AB，AC，OB，OC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，DG= BC，
同理：EF∥BC，EF= BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，EF是△OBC的中位线，
∴DG∥BC，DG= BC，EF∥BC，EF= BC，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADG=∠AGD，
∵∠ADG+∠AGD+∠A=180°，即2∠ADG+∠A=180°，
∴∠ADG+ ∠A=90°，
∵∠A=2∠BDE，∴∠BDE= ∠A，
∴∠ADG+∠BDE=90°，
∴∠EDG=180°-∠ADG-∠BDE=180°-90°=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
22.如图，已知 ABCD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．
(1)求证：四边形DECF是矩形；
(2)设DE边与AB相交于点G，连结CG、BD，若CG=BD，求证：∠FDC=∠BGE．
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CF∥DE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形；
(2)如图，
____
∵BG∥CD，CG=BD，
∴四边形DGBC为等腰梯形，
∴DG=CB，
∵AD=BC，
∴AD=DG，
∵∠ADG=∠FDG=90°，
∴∠DAG=∠DGA=45°，
∴∠BGE=∠DGA=45°，
∵AB∥DC，
∴∠CDG=∠DGA=45°，
∴∠FDC=∠FDE-∠CDG=90°-45°=45°，
∴∠FDC=∠BGE．